初一上学期数学期末试卷带答案
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初一上学期数学期末试卷带答案
一、选择题
1.已知a +b =7,ab =10,则代数式(5ab +4a +7b )+(3a –4ab )的值为( )
A .49
B .59
C .77
D .139
2.计算32a a ⋅的结果是( )
A .5a ;
B .4a ;
C .6a ;
D .8a .
3.如图,直线AB ∥CD ,∠C =44°,∠E 为直角,则∠1等于( )
A .132°
B .134°
C .136°
D .138°
4.96.已知a <0,-1<b <0,则a ,ab ,ab 2之间的大小关系是( )
A .a >ab >ab 2
B .ab >ab 2>a
C .ab >a >ab 2
D .ab <a <ab 2
5.下列变形不正确的是( )
A .若x =y ,则x+3=y+3
B .若x =y ,则x ﹣3=y ﹣3
C .若x =y ,则﹣3x =﹣3y
D .若x 2=y 2,则x =y 6.方程312x -=的解是( )
A .1x =
B .1x =-
C .1
3x =- D .13
x = 7.若OC 是∠AOB 内部的一条射线,则下列式子中,不能表示“OC 是∠AOB 的平分线”的是( )
A .∠AOC=∠BOC
B .∠AOB=2∠BO
C C .∠AOC=12
∠AOB D .∠AOC+∠BOC=∠A OB 8.如果+5米表示一个物体向东运动5米,那么-3米表示( ). A .向西走3米 B .向北走3米 C .向东走3米 D .向南走3米
9.2019年3月15日,中山市统计局发布2018年统计数据,我市常住人口达3 310 000人.数据3 310 000用科学记数法表示为( )
A .3.31×105
B .33.1×105
C .3.31×106
D .3.31×107 10.如图,小明将自己用的一副三角板摆成如图形状,如果∠AOB=155°,那么∠COD 等于
( )
A .15°
B .25°
C .35°
D .45°
11.下列调查中,调查方式选择正确的是( )
A .为了了解1 000个灯泡的使用寿命,选择全面调查
B .为了了解某公园全年的游客流量, 选择抽样调查
C .为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径,选择全面调查
D .为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂,选择全面调查
12.如图,已知点C 在线段AB 上,点M 、N 分别是AC 、BC 的中点,且AB =8cm ,则MN 的长度为( )cm .
A .2
B .3
C .4
D .6 二、填空题
13.如图,是一个正方体的表面展开图,则原正方体中“国”字所在的面相对的面上标的字是_____.
14.如图,数轴上点A 与点B 表示的数互为相反数,且AB =4则点A 表示的数为
______.
15.甲乙两个足够大的油桶各装有一定量的油,先把甲桶中的油的一半给乙桶,然后把乙桶中的油倒出18
给甲桶,若最终两个油桶装有的油体积相等,则原来甲桶中的油是乙桶中油的______倍。
16.已知a ,m ,n 均为有理数,且满足5,3a m n a -=-=,那么m n -的值为 ______________.
17.定义-种新运算:22a b b ab ⊕=-,如21222120⊕=-⨯⨯=,则
(1)2-⊕=__________.
18.因原材料涨价,某厂决定对产品进行提价,现有三种方案:方案一,第一次提价10%,第二次提价30%;方案二,第一次提价30%,第二次提价10%;方案三,第一、二次提价均为20%.三种方案提价最多的是方案_____________.
19.16的算术平方根是 .
20.若a a -=,则a 应满足的条件为______.
21.小马在解关于x 的一元一次方程3232
a x x -=时,误将- 2x 看成了+2x ,得到的解为x =6,请你帮小马算一算,方程正确的解为x =_____.
22.如图,∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=140°,则∠BOC=_______.
23.如图,点O 在直线AB 上,射线OD 平分∠AOC ,若∠AOD=20°,则∠COB 的度数为_____度.
24.设一列数中相邻的三个数依次为m ,n ,p ,且满足p=m 2﹣n ,若这列数为﹣1,3,﹣2,a ,b ,128…,则b=________.
三、压轴题
25.阅读理解:如图①,若线段AB 在数轴上,A 、B 两点表示的数分别为a 和
b (b a >),则线段AB 的长(点A 到点B 的距离)可表示为AB=b a -.
请用上面材料中的知识解答下面的问题:如图②,一个点从数轴的原点开始,先向左移动2cm 到达P 点,再向右移动7cm 到达Q 点,用1个单位长度表示1cm .
(1)请你在图②的数轴上表示出P ,Q 两点的位置;
(2)若将图②中的点P 向左移动x cm ,点Q 向右移动3x cm ,则移动后点P 、点Q 表示的数分别为多少?并求此时线段PQ 的长.(用含x 的代数式表示);
(3)若P 、Q 两点分别从第⑴问标出的位置开始,分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动,设运动时间为t (秒),当t 为多少时PQ=2cm ?
26.已知AOD α∠=,OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线.
(1)如图1,当160α=︒,若OM 平分AOB ∠,ON 平分BOD ∠,求MON ∠的大小;
(2)如图2,若OM 平分AOC ∠,ON 平分BOD ∠,20BOC ∠=︒,60MON ∠=︒,求α.
27.如图1,线段AB 的长为a .
(1)尺规作图:延长线段AB 到C ,使BC =2AB ;延长线段BA 到D ,使AD =AC .(先用尺规画图,再用签字笔把笔迹涂黑.)
(2)在(1)的条件下,以线段AB 所在的直线画数轴,以点A 为原点,若点B 对应的数恰好为10,请在数轴上标出点C ,D 两点,并直接写出C ,D 两点表示的有理数,若点M 是BC 的中点,点N 是AD 的中点,请求线段MN 的长.
(3)在(2)的条件下,现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动,甲从点D 处开始,在点C ,D 之间进行往返运动;乙从点N 开始,在N ,M 之间进行往返运动,甲、乙同时开始运动,当乙从M 点第一次回到点N 时,甲、乙同时停止运动,若甲的运动速度为每秒5个单位,乙的运动速度为每秒2个单位,请求出甲和乙在运动过程中,所有相遇点对应的有理数.
28.(1)探究:哪些特殊的角可以用一副三角板画出?
在①135︒,②120︒,③75︒,④25︒中,小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________;(填序号)
(2)在探究过程中,爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图,他先用三角板画出了直线EF ,然后将一副三角板拼接在一起,其中45角(AOB ∠)的顶点与60角(COD ∠)的顶点互相重合,且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动,将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α,当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.
①当OB 平分EOD ∠时,求旋转角度α;
②是否存在2BOC AOD ∠=∠?若存在,求旋转角度α;若不存在,请说明理由.
29.已知,如图,A 、B 、C 分别为数轴上的三点,A 点对应的数为60,B 点在A 点的左侧,并且与A 点的距离为30,C 点在B 点左侧,C 点到A 点距离是B 点到A 点距离的4倍.
(1)求出数轴上B 点对应的数及AC 的距离.
(2)点P 从A 点出发,以3单位/秒的速度向终点C 运动,运动时间为t 秒.
①当P 点在AB 之间运动时,则BP = .(用含t 的代数式表示)
②P 点自A 点向C 点运动过程中,何时P ,A ,B 三点中其中一个点是另外两个点的中点?求出相应的时间t .
③当P 点运动到B 点时,另一点Q 以5单位/秒的速度从A 点出发,也向C 点运动,点Q 到达C 点后立即原速返回到A 点,那么Q 点在往返过程中与P 点相遇几次?
直.接.写.出.相遇时P 点在数轴上对应的数
30.如图,数轴上有A、B、C三个点,它们表示的数分别是25
-、10
-、10.
(1)填空:AB=,BC=;
(2)现有动点M、N都从A点出发,点M以每秒2个单位长度的速度向右移动,当点M 移动到B点时,点N才从A点出发,并以每秒3个单位长度的速度向右移动,求点N移动多少时间,点N追上点M?
(3)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动.试探索:BC-AB的值是否随着时间的变化而改变?请说明理由.
31.阅读下列材料,并解决有关问题:
我们知道,
(0)
0(0)
(0)
x x
x x
x x
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子,例如化简式子|1||2|
x x
++-时,可令10
x+=和20
x-=,分别求得1
x=-,2
x=(称
1-、2分别为|1|
x+与|2|
x-的零点值).在有理数范围内,零点值1
x=-和2
x=可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况:
(1)1
x<-;(2)1
-≤2
x<;(3)x≥2.从而化简代数式|1||2|
x x
++-可分为以下3种情况:
(1)当1
x<-时,原式()()
1221
x x x
=-+--=-+;
(2)当1-≤2
x<时,原式()()
123
x x
=+--=;
(3)当x≥2时,原式()()
1221
x x x
=++-=-
综上所述:原式
21(1)
3(12)
21(2)
x x
x
x x
-+<-
⎧
⎪
=-≤<
⎨
⎪-≥
⎩
通过以上阅读,请你类比解决以下问题:
(1)填空:|2|
x+与|4|
x-的零点值分别为;
(2)化简式子324
x x
-++.
32.已知:如图,点M是线段AB上一定点,12
AB cm
=,C、D两点分别从M、B 出发以1/
cm s、2/
cm s的速度沿直线BA向左运动,运动方向如箭头所示(C在线段AM上,D在线段BM上)
()1若4
AM cm
=,当点C、D运动了2s,此时AC=________,DM=________;(直接填空)
()2当点C、D运动了2s,求AC MD
+的值.
()3若点C 、D 运动时,总有2MD AC =,则AM =________(填空)
()4在()3的条件下,N 是直线AB 上一点,且AN BN MN -=,求MN AB
的值.
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一、选择题
1.B
解析:B
【解析】
【分析】
首先去括号,合并同类项将原代数式化简,再将所求代数式化成用(a+b )与ab 表示的形式,然后把已知代入即可求解.
【详解】
解:∵(5ab+4a+7b )+(3a-4ab )
=5ab+4a+7b+3a-4ab
=ab+7a+7b
=ab+7(a+b )
∴当a+b=7,ab=10时
原式=10+7×7=59.
故选B .
2.A
解析:A
【解析】
此题考查同底数幂的乘法运算,即(0)m n m n a a a
a +⋅=>,所以此题结果等于325a a +=,
选A ; 3.B
解析:B
【解析】
过E 作EF ∥AB ,求出AB ∥CD ∥EF ,根据平行线的性质得出∠C=∠FEC ,∠BAE=∠FEA ,求出∠BAE ,即可求出答案.
解:
过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠C=∠FEC,∠BAE=∠FEA,
∵∠C=44°,∠AEC为直角,
∴∠FEC=44°,∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°,
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°,
故选B.
“点睛”本题考查了平行线的性质的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键.
4.B
解析:B
【解析】先根据同号得正的原则判断出ab的符号,再根据不等式的基本性质判断出ab2及a的符号及大小即可.
解:∵a<0,b<0,
∴ab>0,
又∵-1<b<0,ab>0,
∴ab2<0.
∵-1<b<0,
∴0<b2<1,
∴ab2>a,
∴a<ab2<ab.
故选B
本题涉及到有理数的乘法及不等式的基本性质,属中学阶段的基础题目.
5.D
解析:D
【解析】
【分析】
根据等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母),等式仍成立;等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母),等式仍成立.
【详解】
解:A、两边都加上3,等式仍成立,故本选项不符合题意.
B、两边都减去3,等式仍成立,故本选项不符合题意.
C、两边都乘以﹣3,等式仍成立,故本选项不符合题意.
D、两边开方,则x=y或x=﹣y,故本选项符合题意.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质.解题的关键是掌握等式的基本性质,等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母),等式仍成立;等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母),等式仍成立.
6.A
解析:A
【解析】
试题分析:将原方程移项合并同类项得:3x=3,解得:x=1.
故选A.
考点:解一元一次方程.
7.D
解析:D
【解析】
A. ∵∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,正确,故本选项错误;
B. ∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,正确,故本选项错误;
C. ∵∠AOC=1
2
∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,正确,故本选项错误;
D. ∵∠AOC+∠BOC=∠AOB,
∴假如∠AOC=30°,∠BOC=40°,∠AOB=70°,符合上式,但是OC不是∠AOB的角平分线,故本选项正确.
故选D.
点睛:本题考查了角平分线的定义,注意:角平分线的表示方法,①OC是∠AOB的角平分线,②∠AOC=∠BOC,③∠AOB=2∠BOC(或2∠AOC),④∠AOC(或
∠BOC)=1
2
∠AOB.
8.A
解析:A
【解析】
∵+5米表示一个物体向东运动5米,
∴-3米表示向西走3米,
故选A.
9.C
解析:C
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.
【详解】
解:3310000=3.31×106.
故选:C.
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
10.B
解析:B
【解析】
【分析】
利用直角和角的组成即角的和差关系计算.
【详解】
解:∵三角板的两个直角都等于90°,所以∠BOD+∠AOC=180°,
∵∠BOD+∠AOC=∠AOB+∠COD,
∵∠AOB=155°,
∴∠COD等于25°.
故选B.
【点睛】
本题考查角的计算,数形结合掌握角之间的数量关系是本题的解题关键.
11.B
解析:B
【解析】
选项A、C、D,了解1000个灯泡的使用寿命,了解生产的一批炮弹的杀伤半径,了解一批袋装食品是否含有防腐剂,都是具有破坏性的调查,无法进行普查,不适于全面调查,适用于抽样调查.选项B,了解某公园全年的游客流量,工作量大,时间长,需要用抽样调查.故选B.
12.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据MN=CM+CN=1
2
AC+
1
2
CB=
1
2
(AC+BC)=
1
2
AB即可求解.
【详解】
解:∵M、N分别是AC、BC的中点,
∴CM=1
2
AC,CN=
1
2
BC,
∴MN=CM+CN=1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(AC+BC)=
1
2
AB=4.
故选:C.
【点睛】
本题考查了线段中点的性质,找到MC与AC,CN与CB关系,是本题的关键
二、填空题
13.伟
【解析】
【分析】
根据在正方体的表面展开图中,相对的面之间一定相隔一个正方形即可解答.【详解】
解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
“伟”与“国”是相对面,
“人”与
解析:伟
【解析】
【分析】
根据在正方体的表面展开图中,相对的面之间一定相隔一个正方形即可解答.
【详解】
解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,
“伟”与“国”是相对面,
“人”与“中”是相对面,
“的”与“梦”是相对面.
故答案为:伟.
【点睛】
本题主要考查了正方体与展开图的面的关系,掌握相对的面之间一定相隔一个正方形是解答本题的关键.
14.-2
【解析】
【分析】
根据图和题意可得出答案.
【详解】
解:表示的数互为相反数,
且,
则A表示的数为:.
故答案为:.
【点睛】
本题考查的是数轴上距离的含义,解题关键是对数轴距离的理解.
解析:-2
【解析】
【分析】
根据图和题意可得出答案.
【详解】
解:,A B表示的数互为相反数,
且4
AB=,
则A表示的数为:2
-.
故答案为:2
-.
【点睛】
本题考查的是数轴上距离的含义,解题关键是对数轴距离的理解.
15.6
【解析】
【分析】
根据题意设原来乙桶中的油量为,甲桶中的油量为,则可列出方程求出答案. 【详解】
设原来乙桶中的油量为,甲桶中的油量为
第一次:把甲桶中的油倒出一半给乙桶,转移的油量为
甲桶剩
解析:6
【解析】
【分析】
根据题意设原来乙桶中的油量为1,甲桶中的油量为x,则可列出方程求出答案.
【详解】
设原来乙桶中的油量为1,甲桶中的油量为x
第一次:把甲桶中的油倒出一半给乙桶,转移的油量为1 2 x
甲桶剩余油量:
11
22 x x x -=
乙桶剩余油量:1
1 2
x+
第二次:把乙桶中的油倒出1
8
给甲桶,转移的油量为
1111
1
82168
x x
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
甲桶剩余油量:11191 2168168 x x x
⎛⎫
++=+
⎪
⎝⎭
乙桶剩余油量:
11177 1
2168168
x x x
⎛⎫⎛⎫
+-+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
此时甲乙桶中油量相等
∴
9177 168168 x x
+=+
∴6
x=
故原来甲桶中的油量是乙桶中的6倍
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用,解题关键在于转移油量之后,要减去,然后联立方程求出倍数关系即可.
16.2或8.
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质去掉绝对值符号,分类讨论解题即可
【详解】
∵|a-m|=5,|n-a|=3
∴a−m=5或者a−m=-5;n−a=3或者n−a=-3
当a−m=5,n
解析:2或8.
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质去掉绝对值符号,分类讨论解题即可
【详解】
∵|a-m|=5,|n-a|=3
∴a−m=5或者a−m=-5;n−a=3或者n−a=-3
当a−m=5,n−a=3时,|m-n|=8;
当a−m=5,n−a=-3时,|m-n|=2;
当a−m=-5,n−a=3时,|m-n|=2;
当a−m=-5,n−a=-3时,|m-n|=8
故本题答案应为:2或8
【点睛】
绝对值的性质是本题的考点,熟练掌握其性质、分类讨论是解题的关键
17.8
【解析】
【分析】
根据题意原式利用题中的新定义计算将-1和2代入计算即可得到结果.
【详解】
解:因为;
所以
故填8.
【点睛】
本题结合新定义运算考查有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解
解析:8
【解析】
【分析】
根据题意原式利用题中的新定义计算将-1和2代入计算即可得到结果.
【详解】
解:因为22a b b ab ⊕=-;
所以2
(1)222(1)28.-⊕=-⨯-⨯=
故填8.
【点睛】
本题结合新定义运算考查有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.三
【解析】
【分析】
由题意设原价为x ,分别对三个方案进行列式即可比较得出提价最多的方案.
【详解】
解:设原价为x ,
两次提价后方案一:;
方案二:;
方案三:.
综上可知三种方案提价最多的是方
解析:三
【解析】
【分析】
由题意设原价为x ,分别对三个方案进行列式即可比较得出提价最多的方案.
【详解】
解:设原价为x ,
两次提价后方案一:(110%)(130%) 1.43x x ++=;
方案二:(130%)(110%) 1.43x x ++=;
方案三:(120%)(120%) 1.44x x ++=.
综上可知三种方案提价最多的是方案三.
故填:三.
【点睛】
本题考查列代数式,根据题意列出代数式并化简代数式比较大小即可.
19.【解析】
【分析】
【详解】
正数的正的平方根叫算术平方根,0的算术平方根还是0;负数没有平方根也没有算术平方根
∵
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4
解析:【解析】
【分析】
【详解】
正数的正的平方根叫算术平方根,0的算术平方根还是0;负数没有平方根也没有算术平方根
∵2
(4)16±=
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4 20.【解析】
【分析】
根据绝对值的定义和性质求解可得.
【详解】
解:,
,
故答案为.
【点睛】
本题考查绝对值,解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和性质.
解析:a 0≥
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义和性质求解可得.
【详解】
解:a a
-=,
a0
∴≥,
故答案为a0
≥.
【点睛】
本题考查绝对值,解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和性质.21.3
【解析】
【分析】
先根据题意得出a的值,再代入原方程求出x的值即可.【详解】
∵方程的解为x=6,
∴3a+12=36,解得a=8,
∴原方程可化为24-2x=6x,解得x=3.
故答案为3
解析:3
【解析】
【分析】
先根据题意得出a的值,再代入原方程求出x的值即可.
【详解】
∵方程32
3
2
a x
x
+
=的解为x=6,
∴3a+12=36,解得a=8,
∴原方程可化为24-2x=6x,解得x=3.
故答案为3
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的解,熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关键.22.40°
【解析】
解:由角的和差,得:∠AOC=∠AOD-∠COD=140°-90°=50°.由余角的性质,得:∠COB=90°-∠AOC=90°-50°=40°.故答案为:40°.
解析:40°
【解析】
解:由角的和差,得:∠AOC=∠AOD-∠COD=140°-90°=50°.由余角的性质,得:
∠COB=90°-∠AOC=90°-50°=40°.故答案为:40°.
23.140
【解析】
【分析】
解:∵OD 平分∠AOC ,
∴∠AOC=2∠AOD=40°,
∴∠COB=180°﹣∠COA=140°
故答案为:140
解析:140
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵OD 平分∠AOC ,
∴∠AOC =2∠AOD =40°,
∴∠COB =180°﹣∠COA =140°
故答案为:140
24.-7
【解析】
【分析】
先根据题意求出a 的值,再依此求出b 的值.
【详解】
解:根据题意得:a=32-(-2)=11,
则b=(-2)2-11=-7.
故答案为:-7.
【点睛】
本题考查探索与表
解析:-7
【解析】
【分析】
先根据题意求出a 的值,再依此求出b 的值.
【详解】
解:根据题意得:a=32-(-2)=11,
则b=(-2)2-11=-7.
故答案为:-7.
【点睛】
本题考查探索与表达规律——数字类规律探究. 熟练掌握变化规律,根据题意求出a 和b 是解决问题的关键.
三、压轴题
25.(1)见详解;(2)2x --,53x +,47x +;(3)当运动时间为5秒或9秒时,PQ=2cm.
【分析】
(1)根据数轴的特点,所以可以求出点P ,Q 的位置;
(2)根据向左移动用减法,向右移动用加法,即可得到答案;
(3)根据题意,可分为两种情况进行分析:①点P 在点Q 的左边时;②点P 在点Q 的右边时;分别进行列式计算,即可得到答案.
【详解】
解:(1)如图所示:
.
(2)由(1)可知,点P 为2-,点Q 为5;
∴移动后的点P 为:2x --;移动后的点Q 为:53x +;
∴线段PQ 的长为:53(2)47x x x +---=+;
(3)根据题意可知,
当PQ=2cm 时可分为两种情况:
①当点P 在点Q 的左边时,有
(21)72t -=-,
解得:5t =;
②点P 在点Q 的右边时,有
(21)72t -=+,
解得:9t =;
综上所述,当运动时间为5秒或9秒时,PQ=2cm.
【点睛】
本题要是把方程和数轴结合起来,既要根据条件列出方程,又要把握数轴的特点.解题的关键是熟练掌握数轴上的动点运动问题,注意分类讨论进行解题.
26.(1)80°;(2)140° 【解析】
【分析】
(1)根据角平分线的定义得∠BOM=12∠AOB ,∠BON=12
∠BOD ,再根据角的和差得∠AOD=∠AOB+∠BOD ,∠MON=∠BOM+∠BON ,结合三式求解;(2)根据角平分线的定
义∠MOC=
12∠AOC ,∠BON=12
∠BOD ,再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC ,∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC 结合三式求解.
【详解】
解:(1)∵OM 平分∠AOB ,ON 平分∠BOD ,
∴∠BOM=1
2
∠AOB,∠BON=
1
2
∠BOD,
∴∠MON=∠BOM+∠BON=1
2
∠AOB+
1
2
∠BOD=
1
2
(∠AOB+∠BOD).
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°,
∴∠MON=1
2
×160°=80°;
(2)∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,
∴∠MOC=1
2
∠AOC,∠BON=
1
2
∠BOD,
∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC,
∴∠MON=1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD -∠BOC=
1
2
(∠AOC+∠BOD )-∠BOC.
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠AOC=∠AOB+∠BOC,
∴∠MON=1
2
(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=
1
2
(∠AOD+∠BOC )-∠BOC,
∵∠AOD=α,∠MON=60°,∠BOC=20°,
∴60°=1
2
(α+20°)-20°,
∴α=140°.
【点睛】
本题考查了角的和差计算,角平分线的定义,明确角之间的关系是解答此题的关键.
27.(1)详见解析;(2)35;(3)﹣5、15、112
3
、﹣7
6
7
.
【解析】
【分析】
(1)根据尺规作图的方法按要求做出即可;
(2)根据中点的定义及线段长度的计算求出;
(3)认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性,分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间,然后计算出位置.
【详解】
解:(1)如图所示;
(2)根据(1)所作图的条件,如果以点A为原点,若点B对应的数恰好为10,则有
点C对应的数为30,点D对应的数为﹣30,MN=|20﹣(﹣15)|=35
(3)设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t,则
t=2235
22
MN⨯
==35(秒)
那么甲在总的时间t内所运动的长度为s=5t=5×35=175
可见,在乙运动的时间内,甲在C,D之间运动的情况为
175÷60=2……55,也就是说甲在C,D之间运动一个来回还多出55长度单位.①设甲乙第一次相遇时的时间为t1,有
5t1=2t1+15,t1=5(秒)
而﹣30+5×5=﹣5,﹣15+2×5=﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5.
②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间t2,有
5t2+2t2=25+30+5+10,t2=10(秒)
此时甲的位置:﹣15×5+60+30=15,乙的位置15×2﹣15=15
这时甲和乙所对应的有理数为15.
③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间t3,有
5t3﹣2t3=20,t3=20
3
(秒)
此时甲的位置:30﹣(5×20
3
﹣15)=11
2
3
,乙的位置:20﹣(2×
20
3
﹣5)=11
2
3
这时甲和乙所对应的有理数为112 3
④从时间和甲运行的轨迹来看,他们可能第四次相遇.设第四次相遇时经过的时间为t4,有
5t4﹣112
3
﹣30﹣15+2t4=11
2
3
,t4=9
16
21
(秒)
此时甲的位置:5×916
21
﹣45﹣11
2
3
=﹣7
6
7
,乙的位置:11
2
3
﹣2×9
16
21
=﹣7
6
7
这时甲和乙所对应的有理数为﹣76
7
.
四次相遇所用时间为:5+10+20
3
+9
16
21
=31
3
7
(秒),剩余运行时间为:35﹣31
3
7
=3
4
7
(秒)
当时间为35秒时,乙回到N点停止,甲在剩余的时间运行距离为5×34
7
=
525
7
=
176
7
.
位置在﹣76
7
+17
6
7
=10,无法再和乙相遇,故所有相遇点对应的有理数为﹣5、15、
112
3
、﹣7
6
7
.
【点睛】
本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识,重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置,具有比较大的难度.正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键.
28.(1)④;(2)①15α=︒;②当105α=,125α=时,存在2BOC AOD ∠=∠.
【解析】
【分析】
(1)根据一副三角板中的特殊角,运用角的和与差的计算,只要是15°的倍数的角都可以画出来;
(2)①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°,根据角平分线的定义得到∠EOB=12∠EOD=12
×120°=60°,于是得到结论; ②当OA 在OD 的左侧时,当OA 在OD 的右侧时,根据角的和差列方程即可得到结论.
【详解】
解:(1)∵135°=90°+45°,120°=90°+30°,75°=30°+45°,
∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差,故画不出;
故选④;
(2)①因为COD 60∠=,
所以EOD 180COD 18060120∠∠=-=-=.
因为OB 平分EOD ∠, 所以11EOB EOD 1206022
∠∠==⨯=. 因为AOB 45∠=,
所以αEOB AOB 604515∠∠=-=-=.
②当OA 在OD 左侧时,则AOD 120α∠=-,BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=,
所以()135α2120α-=-.
解得α105=.
当OA 在OD 右侧时,则AOD α120∠=-,BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=,
所以()135α2α120
-=-. 解得α125=.
综合知,当α105=,α125=时,存在BOC 2AOD ∠∠=.
【点睛】
本题考查角的计算,角平分线的定义,正确的理解题意并分类讨论是解题关键.
29.(1)30,120(2)①30﹣3t②5或20③﹣15或﹣48
34
【解析】
【分析】
(1)根据A点对应的数为60,B点在A点的左侧,AB=30求出B点对应的数;根据AC=4AB求出AC的距离;
(2)①当P点在AB之间运动时,根据路程=速度×时间求出AP=3t,根据BP=AB﹣AP 求解;
②分P点是A、B两个点的中点;B点是A、P两个点的中点两种情况讨论即可;
③根据P、Q两点的运动速度与方向可知Q点在往返过程中与P点相遇2次.设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇.第一次相遇是点Q从A点出发,向C点运动的途中.根据AQ ﹣BP=AB列出方程;第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中.根据CQ+BP=BC
列出方程,进而求出P点在数轴上对应的数.
【详解】
(1)∵A点对应的数为60,B点在A点的左侧,并且与A点的距离为30,
∴B点对应的数为60﹣30=30;
∵C点到A点距离是B点到A点距离的4倍,
∴AC=4AB=4×30=120;
(2)①当P点在AB之间运动时,
∵AP=3t,
∴BP=AB﹣AP=30﹣3t.
故答案为30﹣3t;
②当P点是A、B两个点的中点时,AP=1
2
AB=15,
∴3t=15,解得t=5;
当B点是A、P两个点的中点时,AP=2AB=60,
∴3t=60,解得t=20.
故所求时间t的值为5或20;
③相遇2次.设Q点在往返过程中经过x秒与P点相遇.第一次相遇是点Q从A点出发,向C点运动的途中.
∵AQ﹣BP=AB,
∴5x﹣3x=30,
解得x=15,
此时P点在数轴上对应的数是:60﹣5×15=﹣15;
第二次相遇是点Q到达C点后返回到A点的途中.
∵CQ+BP=BC,
∴5(x﹣24)+3x=90,
解得x=105
4
,
此时P点在数轴上对应的数是:30﹣3×105
4
=﹣48
3
4
.
综上,相遇时P点在数轴上对应的数为﹣15或﹣48
3
4
.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,行程问题相等关系的应用,线段中点的定义,进行分类讨论是解题的关键.
30.(1) AB=15,BC=20;(2) 点N移动15秒时,点N追上点M;(3) BC-AB的值不会随着时间的变化而改变,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据数轴上点的位置求出AB与BC的长即可,
(2)不变,理由为:经过t秒后,A、B、C三点所对应的数分别是-24-t,-10+3t,10+7t,表示出BC,AB,求出BC-AB即可做出判断,
(3)经过t秒后,表示P、Q两点所对应的数,根据题意列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,分三种情况考虑,分别求出满足题意t的值即可.
【详解】
解:(1)AB=15,BC=20,
(2)设点N移动x秒时,点N追上点M,由题意得:
15
32
2
x x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
,
解得15
x=,
答:点N移动15秒时,点N追上点M.
(3)设运动时间是y秒,那么运动后A、B、C三点表示的数分别是
25y
--、103y
-+、107y
+,
∴BC()()
107103204
y y y
=+--+=+,AB()()
10325154
y y y
=-+---=+,
∴BC-AB()()
2041545
y y
=+-+=,
∴BC-AB的值不会随着时间的变化而改变.
【点睛】
本题主要考查了整式的加减,数轴,以及两点间的距离,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题中等量关系和数轴上点,
31.(1) 2
x=-和4
x= ;(2)
35(4)
11(43)
35(3)
x x
x x
x x
--<-
⎧
⎪
+-≤<
⎨
⎪+≥
⎩
【解析】
【分析】
(1)令x+2=0和x-4=0,求出x的值即可得出|x+2|和|x-4|的零点值,
(2)零点值x =3
和x =-4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:x <-4、-4≤x <3和x ≥3.分该三种情况找出324x x -++的值即可.
【详解】
解:(1)2x =-和4x =,
(2)由30x -=得3,x =由40x +=得4x =-,
①当4x <-时,原式()()32435x x x =---+=--,
②当4-≤3x <时,原式()()32411x x x =--++=+,
③当x ≥3时,原式()()32435x x x =-++=+,
综上所述:原式()35(4)11(43)353x x x x x x ⎧--<-⎪=+-≤<⎨⎪+≥⎩
, 【点睛】
本题主要考查了绝对值化简方法,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值化简方法.
32.(1)2AC cm =,4DM cm =;(2)6AC MD cm +=;(3)4AM =;(4)13
MN AB =或1. 【解析】
【详解】
(1)根据题意知,CM=2cm ,BD=4cm .
∵AB=12cm ,AM=4cm ,∴BM=8cm ,∴AC=AM ﹣CM=2cm ,DM=BM ﹣BD=4cm . 故答案为2,4;
(2)当点C 、D 运动了2 s 时,CM=2 cm ,BD=4 cm .
∵AB=12 cm ,CM=2 cm ,BD=4 cm ,∴AC+MD=AM ﹣CM+BM ﹣BD=AB ﹣CM ﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm ;
(3)根据C 、D 的运动速度知:BD=2MC .
∵MD=2AC ,∴BD+MD=2(MC+AC ),即MB=2AM .
∵AM+BM=AB ,∴AM+2AM=AB ,∴AM=
13
AB=4. 故答案为4;
(4)①当点N 在线段AB 上时,如图1.
∵AN ﹣BN=MN .
又∵AN ﹣AM=MN ,∴BN=AM=4,∴MN=AB ﹣AM ﹣BN=12﹣4﹣4=4,
∴MN AB =412=13
;
②当点N在线段AB的延长线上时,如图2.
∵AN﹣BN=MN.
又∵AN﹣BN=AB,∴MN=AB=12,
∴MN
AB
=
12
12
=1.
综上所述:MN
AB
=
1
3
或1.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点.。