(人教版)杭州八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点复习

一、选择题
1．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ）
A ．52
-
B ．52
C ．5
D ．-5B
解析：B 【分析】 把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y 的一次项的系数为0，可求出a 的值．
【详解】
()2y a +()5y -=5y-y 2+10a-2ay=-y 2+(5-2a)y+10a ，
∵多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，
∴5-2a=0，
∴a=
52
． 故选B ．
【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y 的一次项的系数为0，得到关于a 的方程．
2．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D ．7D 解析：D
【分析】 由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），即可解出n ＝5，从而求出m 值即可．
【详解】
解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），
整理得n ＝5，
则有m ﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m ＝2，
∴m +n ＝5+2＝7，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键． 3．已3,2x y a a ==，那么23x y a +=（ ）
A ．10
B ．15
C ．72
D ．与x ，y 有关C 解析：C
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.
【详解】
a 2x+3y =(a x )2(a y )3=32⨯23=9⨯8=72，
故选：C
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键. 4．下列运算正确．．
的是（ ） A ．246x x x ⋅=
B ．246()x x =
C ．3362x x x +=
D ．33(2)6x x -=- A 解析：A
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．
【详解】
A 选项246x x x ⋅=，选项正确，故符合题意；
B 选项248()x x =，选项错误，故不符合题意；
C 选项3332x x x +=，选项错误，故不符合题意；
D 选项33(2)
8x x -=-，选项错误，故不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．
5．若关于x 的方程250x a b ++=的解是3x =-，则代数式6210a b --的值为（ ） A ．6-
B ．0
C ．12
D ．18A 解析：A
【分析】
将方程的解代回方程得56a b +=，再整体代入代数式求值即可．
【详解】
解：把3x =-代入原方程得650a b -++=，即56a b +=，
则()62106256126a b a b --=-+=-=-．
故选：A ．
【点睛】
本题考查代数式求值和方程解的定义，解题的关键是掌握方程解的定义，以及利用整体代入的思想求值．
6．如图，对一个正方形进行了分割，通过面积相等可以证明下列哪个式子（ ）
A ．22()()x y x y x y -=-+
B ．222()2x y x xy y +=++
C ．222()2x y x xy y -=-+
D ．22()()4x y x y xy +=-+ B
解析：B
【分析】 观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．
【详解】
解：图中大正方形的边长为：x y +，其面积可以表示为：2
()x y + 分部分来看：左下角正方形面积为2x ，右上角正方形面积为2
y ，
其余两个长方形的面积均为xy ，
各部分面积相加得：222x xy y ++， 222()2x y x xy y ∴+=++
故选：B ．
【点睛】
本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式，是解题的关键．
7．下列计算一定正确的是（ ）
A ．235a b ab +=
B ．()235610a b a b -=
C ．623a a a ÷=
D ．()222a b a b +=+ B
解析：B
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可．
【详解】
A 、2a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；
B 、（-a 3b 5）2=a 6b 10，故选项B 符合题意；
C 、a 6÷a 2=a 4，故选项C 不符合题意；
D 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故选项D 不合题意．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．数151025N =⨯是（ ）
A ．10位数
B ．11位数
C ．12位数
D ．13位数C
解析：C
【分析】
利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．
【详解】 ()1015105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，
∴N 是12位数，
故选：C ．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．
9．若|a |=13，b|=7，且a +b>0，则a -b 的值是( )．
A ．6或20
B ．20 或-20
C ．6或-6
D ．-6或20A 解析：A
【分析】
先求出a b ，的值，根据条件+a b >0，确定=13a ，b=7±，分类代入-a b 求值即可．
【详解】
|a |=13，=13a ±，|b|=7，b=7±，
∵+a b >0，
∴=13a ，b=7±，
当=13a ，b=7时，=1376a b --=，
当=13a ，7b =-时，=13+720a b -=，
则6a b -=或20．
故选择：A ．
【点睛】
本题考查条件限定求值问题，会根据限定条件求出字母的值，掌握分类思想求代数式的值是解题关键．
10．已知21102x y ⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭，则代数式2xy−（x ＋y ）2=（ ） A ．34 B ．54- C ．12- D ．54
B 解析：B
【分析】
直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，进而代入得出答案．
【详解】
∵|x ＋1|＋（y−
12）2＝0， ∴x ＋1＝0，y−12
＝0， 解得：x ＝−1，y ＝
12， ∵2xy−（x ＋y ）2＝2xy−x 2−y 2−2xy ＝−x 2−y 2，
∴当x ＝−1，y ＝12
时， 原式＝−（−1）2−（
12）2＝−1−14
＝−54． 故选：B ．
【点睛】 此题主要考查了非负数的性质，和完全平方公式，正确得出x ，y 的值是解题关键．
二、填空题
11．计算：248(21)(21)(21)(21)1+++++=___________．216【分析】在原来的算式前面乘上(2-1)根据平方差公式进行计算即可求解【详解】原式======216故答案是：216【点睛】本题主要考查有理数的运算掌握平方差公式是解题的关键 解析：216
【分析】
在原来的算式前面乘上(2-1)，根据平方差公式，进行计算，即可求解．
【详解】
原式=248(21)(21)(21)(21)(21)1-+++++
=2248(21)(21)(21)(21)1-++++
=448(21)(21)(21)1-+++
=88(21)(21)1-++
=16(21)1-+
=216．
故答案是：216．
【点睛】
本题主要考查有理数的运算，掌握平方差公式，是解题的关键．
12．若已知x +y ＝﹣3，xy ＝4，则3x +3y ﹣4xy 的值为_____．﹣25【分析】将3x+3y ﹣4xy 变形为3（x+y ）﹣4xy 再整体代入求值即可【详解】解：∵x+y ＝﹣3xy ＝4∴3x+3y ﹣4xy ＝3（x+y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25故 解析：﹣25
【分析】
将3x +3y ﹣4xy 变形为3（x +y ）﹣4xy ，再整体代入求值即可．
【详解】
解：∵x +y ＝﹣3，xy ＝4，
∴3x +3y ﹣4xy ＝3（x +y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25，
故答案为：﹣25．
【点睛】
此题考查已知式子的值求代数式的值，将代数式变形为已知式子的形式是解题的关键． 13．若2a 与()2
3b +互为相反数，则2-=b a ______．-8【分析】根据题意得到+=0根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2b=-3代入2b-a 计算即可
【详解】由题意得：+=0∵00∴a-2=0b+3=0∴a=2b=-3∴2b-a=-6-2=8故答 解析：-8
【分析】
根据题意得到2a +2(3)b +=0，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2，b=-
3，代入2b-a 计算即可．
【详解】
由题意得：2a +2(3)b +=0
∵2a ≥0，2(3)b +≥0，
∴a-2=0，b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴2b-a=-6-2=8，
故答案为：-8．
【点睛】
此题考查相反数的定义，绝对值的非负性及偶次方的非负性，求代数式的值，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a 和b 的值是解题的关键．
14．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．
【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方
形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式
解析：22ab a b --+
【分析】
可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．
【详解】
解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，
这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米，
∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）．
故答案是：22ab a b --+．
【点睛】
本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．
15．已知香蕉，苹果，梨的价格分别为a ，b ，c （单位：元/千克）、用20元正好可以买三种水果各1千克：买1千克香蕉，2千克苹果，3千克梨正好花去42元，若买b 千克香需w 元，则w =___________．（结果用含c 的代数式表示）【分析】根据题意得：通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到得a 和c 的关系式经计算即可得到答案【详解】根据题意得：∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了三元一次方程组整式运算的知识；解题的
解析：222644c c -+-
【分析】
根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=，通过计算得到b 和c 的关系式；再将b 和c 的关系式代入到20a b c ++=，得a 和c 的关系式，经计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：20a b c ++=，2342a b c ++=
∴204223a b c b c =--=--
∴222b c =-
∴20202222a b c c c c =--=-+-=-
∴()()2
222222644w a b c c c c =⨯=--=-+- 故答案为：222644c c -+-．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握三元一次方程组、整式乘法运算的性质，从而完成求解．
16．要使()()
22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项，则m 的值是______．-6【分析】结合题意根据整式乘法的性质计算即可得到答案【详解】∵的展开式中不含项∴∴∴故答案为：-6【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质从而完成求解
解析：-6
【分析】
结合题意，根据整式乘法的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵()()
22524x x x mx -+--的展开式中不含2x 项
∴()224520x x mx x ⨯-+⨯+⨯= ∴4100m -++=
∴6m =-
故答案为：-6．
【点睛】
本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解． 17．计算：32(2)a b -＝________．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘
解析：624a b
【分析】
积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．
【详解】
32(2)a b -=624a b ，
故答案为：624a b ．
【点睛】
此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
18．下列说法：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；
②若2210m m +-=，则2425m m ++的值为7；
③若a b >，则a 的倒数小于b 的倒数；
④在直线上取A 、B 、C 三点，若5cm AB =，2cm BC =，则7cm AC =．
其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC 三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可
解析：②
【分析】
①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A 、B 、C 三点的位置关系，要画图，分情况讨论．
【详解】
①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；
②∵2210m m +-=，
∴()2242522172077m m m m ++=+-+=⨯+=，故②正确；
③∵a ＞b ，取a=1，b=－1， ∴11a =，11b
=-，11a b >，故③错误； ④当点C 位于线段AB 上时，AC=AB －BC=5－2=3cm ；
当点C 位于线段AB 的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm ，
则AC 的长为3cm 或7cm ，故④错误；
综上可知，答案为：②．
【点睛】
本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．
19．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．1【分析】根据一元一次方程的定义可求出m 的值在将m 代入代数式计算即可【详解】原方程可整理为根据题意可知且所以所以故答案为：1
【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值利用一元一次方程的定义求出
解析：1
【分析】
根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在将m 代入代数式计算即可．
【详解】
原方程可整理为22(1)(1)80m x m x --++=．
根据题意可知210m -=且10m +≠，
所以1m =． 所以2008200811111m m --=--=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值．利用一元一次方程的定义求出m 的值是解答本题的关键．
20．分解因式：2a 2﹣8＝______．2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【详解】解：2a2-8=2（a2-4）=2（a+2）（a-2）故答案为：2（a+2）（a-2）【点睛】本题考查了用提
解析：2（a+2）（a-2）
【分析】
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：2a 2-8，
=2（a 2-4），
=2（a+2）（a-2）．
故答案为：2（a+2）（a-2）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
三、解答题
21．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个22
⨯的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？
（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．
（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．
解析：（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析
【分析】
（1）根据题意列出算式11×5-4×12，再进一步计算即可；
（2）如换为3，4，10，11，按要求计算即可；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再进一步计算即可得．
【详解】
（1）11×5-4×12=55-48=7，
故答案为：7；
（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；
设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，
则(a+1)(a+7)-a(a+8)
=a2+7a+a+7-a2-8a
=7．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
22．阅读材料：把形2
++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫
ax bx c
配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即()2222a ab b a b ±+=±．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：244a a -+=__________．
（2）先化简，再求值：()()()33242a b a b a b ab ab +-+-÷，其中a b 、满足
2226100a a b b ++-+=．
（3）若a b c 、、分别是ABC ∆的三边，且222426240a b c ab b c ++---+=，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．
解析：（1）()22a -；（2）25-；（3）△ABC 为等边三角形，理由见解析．
【分析】
（1）根据完全平方公式即可因式分解；
（2）先将原式化成最简式，然后将2226100a a b b ++-+=，分成两个完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出a 、b 的值，代入最简式中计算即可；
（3）将已知等式化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵()22442a a a -+=-，
故答案为：()22a -；
（2）()()()33242a b a b a b ab ab +-+-÷
=()2222222a b ab a b ab -+-÷
=222222223a b a b a b -+-=-
∵2226100a a b b ++-+=，
∴()()22
130a b ++-=， ∴13a b =-=，，
把13a b =-=，代入上式得：()2
22223213322725a b -=⨯--⨯=-=-； （3）△ABC 为等边三角形，理由如下：
∵222426240a b c ab b c ++---+=，
∴()()()2221310a b c b -+-+-=， ∴01010a b c b -=-=-=，，，
∴1a b c ===，
∴△ABC 为等边三角形．
【点睛】
此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点与非负数的应用．
23．所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称
M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y
++是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．
①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+； ④21025y y --；⑤21236x x ++；⑥
2124949
a a -+ （2）已知a 、
b 、
c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．
（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．
解析：（1）②⑤⑥；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解
【分析】
（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；
（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；
（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．
【详解】
（1）②24x =2(2)x ；⑤21236x x ++=2(6)x +；⑥2124949a a -+=21(7)7
a -是完全平方式，
①2244a a b ++；③22x xy y -+； ④21025y y --不是完全平方式，
各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，
故答案为：②⑤⑥；
（2）∵22222()a b c c a b ++=+，
∴()()2222220a ac c
b b
c c -++-+=， ∴()()220a c b c -+-=，
∴a-c=0且b-c=0，
∴a=b=c ，
∴ABC ∆是等边三角形；
（3）∵原式=2(8)(4)64x x x +++
=22(8)(816)64x x x x ++++
=222(8)16(8)64x x x x ++++
=2
2(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦ =()2
288x x ++，
∴多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
24．某园林公司现有A 、B 两个区，已知A 园区为长方形，长为()x y +米，宽为()x y -米；B 园区为正方形，边长为(3)x y +米．
（1）请用代数式表示A 、B 两园区的面积之和并化简；
（2）现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11)x y -米，宽减少(2)x y -米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x ，y 的值；
②若A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C 、D 两种花投入的费用与收益如表：
-投入）
解析：（1）（x+y ）（x-y ）+（x+3y ）2；2x 2+6xy+8y 2；（2）①x=30，y=10；②相等
【分析】
（1）根据长方形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，最后再求和， （2）①根据整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．列方程组求解即可，
②计算出A 园区的净收益和B 园区的净收益，再比较大小．
【详解】
解：（1）（x +y ）（x -y ）+（x +3y ）2，
＝x 2-y 2+x 2+6xy +9y 2，
＝2x 2+6xy +8y 2；
（2）①由题意得，()()()()()()()()()112350211243980x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧⎡⎤⎡⎤++-----⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡
⎤++-+---++⎪⎣⎦⎩＝＝，
整理得，12350270x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解得：x ＝30，y ＝10，
答：x ＝30，y ＝10．
②A 园区整改后长为12x 米，宽为y 米，
A 园区的净收益（22-12）×12xy ＝36000元，
B 园区的净收益为（26-16）（x +3y ）2＝36000元，
∴B 园区的净收益等于A 园区的净收益．
【点睛】
本题考查二元一次方程组、整式的加减、多项式乘以多项式的计算方法等知识，正确的列
出多项式，并化简是解决问题的关键．
25．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．
（1）用含a b 、的代数式分别表示1S 、2S ；
（2）若10,23a b ab +==，求12S S +的值；
（3）当1229S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ． 解析：（1）S 1＝a 2-b 2，S 2＝2b 2-ab ；（2）31；（3）
292 【分析】
（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a 、b 的代数式分别表示S 1、S 2； （2）根据S 1+S 2＝a 2-b 2+2b 2-ab ＝a 2+b 2-ab ，将a +b ＝10，ab ＝23代入进行计算即可； （3）根据S 3＝
12（a 2+b 2﹣ab ），S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝29，即可得到阴影部分的面积S 3． 【详解】
解：（1）由图可得，S 1＝a 2-b 2，S 2＝2b 2-ab ；
（2）S 1+S 2＝a 2-b 2+2b 2-ab ＝a 2+b 2-ab ，
∵a +b ＝10，ab ＝23，
∴S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝（a +b ）2-3ab ＝100-3×23＝31；
（3）由图可得，S 3＝a 2+b 2-
12b （a +b ）-12a 2＝12（a 2+b 2-ab ）， ∵S 1+S 2＝a 2+b 2-ab ＝29，
∴S 3＝12×29＝292
． 【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
26．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是________；
（2）根据（1）中的结论，若95,4
x y x y ⋅+==，则x y -=________； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)m -(2020)m -的值．
解析：（1）（a +b ）2-（a -b ）2＝4ab ；（2）±4；（3）-3
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a +b ）2-（b -a ）2＝（a +b ）2-（a -b ）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案； （2）根据（1）中的结论，可知（x +y ）2-（x -y ）2＝4xy ，将x +y ＝5，x •y 94=
代入计算即可得出答案；
（3）将等式（2019-m ）+（m -2020）＝-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a +b ）2-（b -a ）2＝（a +b ）2-（a -b ）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a +b ）2-（a -b ）2＝4ab ，
故答案为：（a +b ）2-（a -b ）2＝4ab ；
（2）根据（1）中的结论，可知（x +y ）2-（x -y ）2＝4xy ，
∵x +y ＝5，x •y ＝94
， ∴52-（x -y ）2＝4×
94， ∴（x -y ）2＝16
∴x -y ＝±4，
故答案为：±4；
（3）∵（2019-m ）+（m -2020）＝-1，
∴[（2019-m ）+（m -2020）]2＝1，
∴（2019-m ）2+2（2019-m ）（m -2020）+（m -2020）2＝1，
∵（2019-m ）2+（m -2020）2＝7，
∴2（2019-m ）（m -2020）＝1-7＝-6；
∴（2019-m ）（m -2020）＝-3．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键． 27．观察下列各式：
2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-；()
324(1)11x x x x x -+++=-；
请根据这一规律计算：
（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++⋅⋅⋅++；
（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++．
解析：（1）11n x +-；（2）1621-．
【分析】
（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；
（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可．
【详解】
（1）()12(1)1n n n x x x x x ---+++⋅⋅⋅++
11n x +=-；
（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++
1514132(21)(222221)=-+++⋅⋅⋅+++
1621=-．
【点睛】
本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
28．计算：（1）2(1)(1)(2)x x x +--+ （2）(34)(34)x y x y -++- 解析：（1）3x +；（2）22
9816-+-x y y ．
【分析】
（1）先分别利用完全平方公式和多项式乘多项式运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得到结果；
（2）原式变形后，运用平方差公式和完全平方公式计算即可求出结果．
【详解】
计算：⑴ 原式2221(2)x x x x =++-+- 22212x x x x =++--+
3x =+，
（2）原式[3(4)][3(4)]x y x y =--+-
229(4)x y =--
229816=-+-x y y ．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，掌握运算法则及灵活运用乘法公式是解题的关键．。