湖南大学附中高三数学一轮复习单元训练：选考内容

湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：选考内容
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在ABC ∆中，//DE BC ，DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分，那么:DE BC =( )
A ． 1:2
B ． 1:3
C ．
D ． 1:1 【答案】C
2．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是( )
A ．[-5，7]
B ．[-4，6]
C ．(][),57,-∞-+∞U
D ．(][),46,-∞-+∞U
【答案】D
3．已知()23()f x x x R =+∈，若
()1f x a -<的必要条件是1(,0)x b a b +<>，则,a b 之间的关系是( )
A ．2a b < C ．2b a ≤ D ．2b a > 【答案】A
4．已知实数,,x y z 满足21x y z ++=，2
12222=++z y x ,则z 的取值范围是( ) A ．102
z ≤≤
B ． 104z <≤
C ．02z ≤≤
D ．01z <≤
【答案】A 5．已知点P 的极坐标是(1,π),则过点P 且垂直于极轴的直线方程是( )
A ．1ρ=
B ．ρ=cos θ
C ．1cos ρθ=-
D ．1cos ρθ
= 【答案】C
6．不等式|1||2|x x a -++≤的解集非空, 则实数a 的取值范围是( )
A ． 3a >
B ． 3a ≥
C ．4a ≤
D ．4a ≥
【答案】B 7．若点P(3,m)在以点F 为焦点的抛物线244x t y t
⎧=,⎨=⎩ (t 为参数)上,则|PF|等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
8．参数方程为
1
() 2
x
t
t
t
y
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
为参数表示的曲线是( )
A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线
【答案】D
9．极坐标方程4cos
ρθ
=化为直角坐标方程是( )
A．22
(2)4
x y
-+=B．224
x y
+=
C．22
(2)4
x y
+-=D．22
(1)(1)4
x y
-+-=【答案】A
10．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30︒到正方形AB C D
'''，图中阴影部分的面积为( )
A．
3
1-B．
3
C．
3
1-D．
1
2
【答案】A
11．如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则
()
PA PB PC
+⋅
u u u r u u u r u u u r
的最小值是( )
A．2
9
-
B．2
9
C．2D．2-
【答案】A
12．在极坐标系中与点
4
(6,)
3
A
π
重合的点是( )
A．(6,)
3
π
B．
7
(6,)
3
π
C．(6,)
3
π
-D．
2
(6,)
3
π
-
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13
．函数1
sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 。

【答案】]23,25[-- 14．（几何证明选讲选做题）如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点，若0
25DCP ∠=，则DPB ∠= .
【答案】025 15．已知数列{}n a 是等比数列，则行列式142
5
a a a a =____________． 【答案】0 16．如图， 0,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=____________．
【答案】2
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设函数()|1|||f x x x a =-+-. (Ⅰ）若1,a =-解不等式()3f x ≥； (Ⅱ）如果x R ∀∈,()2f x ≥,求a 的取值范围.
【答案】（1）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++，由()3f x ≥得：|1||1|3x x -++≥，
(法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为33{|}22x x x ≤-
≥或. (法二）不等式可化为123x x ≤-⎧⎨-≥⎩或1123x -<≤⎧⎨≥⎩或1
23
x x >⎧⎨≥⎩， ∴不等式的解集为33{|}22x x x ≤-
≥或. (2）若1a =， ()2|1|f x x =-，不满足题设条件；
若1a <，21,()()1,(1)2(1),(1)x a x a f x a a x x a x -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩
，()f x 的最小值为1a -；
若1a >，21,(1)()1,(1)2(1),()x a x f x a x a x a x a -++≤⎧⎪=-<<⎨⎪-+≥⎩
，()f x 的最小值为1a -.
所以对于x R ∀∈，()2f x ≥的充要条件是|1|2a -≥，从而a 的取值范围(,1][3,)-∞-+∞U .
(2）另解：()|1|||f x x x a =-+-|1||||(1)()||1|x x a x x a a -+-≥---=-
由题|1|2a -≥，解得(,1][3,)-∞-+∞U
18．如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P 。

(1）求证：2
PM PA PC =⋅；
(2）若圆O 的半径为23
，OA=3OM ，求MN 的长。

【答案】（1）连结ON ，∵ON=OB ，∴∠ONB=∠OBN ，
∵ PN 切圆O 于N ，∴∠ONP=90°。

∴∠MNP=∠ONP －∠ONB =90°－∠ONB ，
∵半径OB 垂直于直径AC ，
∴∠NMP=∠OMB=90°－∠OBN ，
∴∠MNP=∠NMP ，∴PN=PM 。

因为PN 与圆O 切于点N ，所以2
PN PA PC =⋅，
因此2PM PA PC =⋅。

(2）∵3，OA=23∴OM=2。

在Rt △OMB 中，∠MOB=90°，∴22(23)24BM
=+=， 232AM OA OM =-=，232CM OC OM =+=。

根据相交弦定理，得MN BM AM CM ⋅=⋅， ∴AM CM MN BM
⋅
=2)24==。

19．已知函数2()log (|1||2|f x x x a =++--）。

(1）当4a =时，求函数)(x f 的定义域；
(2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集不是空集，求a 的取值范围。

【答案】（1）当4a =时，2()log (|1||2|4f x x x =++--），
由题意知函数的定义域等价于不等式|1||2|x x ++-＞4的解集，
又不等式解集等价于下列三个不等式组解集的并集：
1124x x x ≤-⎧⎨---+>⎩或12124x x x -<<⎧⎨+-+>⎩或2124x x x ≥⎧⎨++->⎩
， 即132x x ≤-⎧⎪⎨<-⎪⎩或1234x -<<⎧⎨>⎩或252
x x ≥⎧⎪⎨>⎪⎩，所以32x <-或52x >。

因此函数)(x f 的定义域为3{|2x x <-或5}2x >。

(2） 不等式()1f x ≤2log (|1||2|x x a ⇔++--≤⇔)1|1||2|2x x a ++-≤+， Q x R ∈时，恒有|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，
所以min (|1||2|)3x x ++-=。

又不等式|1||2|2x x a ++-≤+的解集不是空集，
所以min (|1||2|)2x x a ++-≤+。

从而23a +≥，即1a ≥，因此a 的取值范围是[1，+∞）。

20．求曲线C :1xy =
在矩阵22A ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到的曲线C '的方程。

【答案】设00(,)P x y 为曲线1xy =上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点0
0(,)P x y '''，
则有0022222222x x
⎡⎤⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎢
⎥=⎢
⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
0０ y y ， 即0000002(),22(),x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩ 所以0000002(),22(),x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩ 又因为点P 在曲线1xy =上，所以001x y =，
故有220
02x y ''-= 即所得曲线方程222x y -=. 21．已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2A αβ=． 【答案】21111322
12143A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 设2321.,432x x A y y ααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦由得，从而321,43 2.
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得11,2,.2x y α-⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦
所以
22．如图，D ，E 分别是AB,AC 边上的点，且不与顶点重合，已知AB AD n AC m AE ,,,==为方程0142
=+-mn x x 的两根，
(1）证明 C,B,D,E 四点共圆；
(2）若6,4,90==︒=∠n m A ，求C,B,D,E 四点所在圆的半径。

【答案】（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E 四点共圆。

(Ⅱ）m=4, n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5。