广东省梅州市东石中学2020年高三数学文联考试卷含解析

广东省梅州市东石中学2020年高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集，集合，，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
2. 函数的图象大致是（）
参考答案：
A
3. 设为椭圆与双曲线的公共的左、右焦点，它
们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且，
若椭圆的离心率．则双曲线的离心率的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案：
A
略
4. 设，则的大小关系（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
5. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则
C．若，则C．若，则
参考答案：
C
略
6. 某程序框图如图2所示，现将输出值依次记为：
若程序运行中输出的一个数组是
则数组中的（）
A．32 B．24 C．18 D．16
参考答案：
A
7.
函数y=+x的反函数图像是( )
参考答案：
答案：B
8. 在△中，内角，，的对边分别是，，，若，
，则角等于
A． B． C． D．
参考答案：
A【知识点】解三角形 C8
由正弦定理可知，所以可得，
又，，所以A=，所以A正确.
【思路点拨】本题可先根据正弦定理求出三角形边之间的关系式，再利用余弦定理求出角A的余弦值，最后找到正确结果.
9. 在⊿ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2+b2=ab+c2,则角C为（）
A．30°B．45°C．150°D．135°参考答案：
B
10. 若复数是纯虚数，则的值为（）A．B．C．D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图已知线段AB的长度为2，它的两个端点在⊙O的圆周上运动，则
=。

参考答案：
2
12. 已知关于的不等式的解集为．
（1）当时，求集合；
（2）当时,求实数的范围．
参考答案：
（1）（-∞，1）∪（1,5）；（2）
试题分析：（1）把a=1代入不等式中，求出解集即可得到集合M；（2）因为3∈M且5?M，先把x=5代入不等式求出a的范围，然后取范围的补集，又因为3属于集合M，所以把x=3代入不等式中，求出关于a的不等式的解集即可得到a的取值范围；与求出a的范围联立求出公共解集即可．
试题解析：（1）当时，
（2）
不成立．
又
不成立
综上可得，
考点：一元二次不等式的解法．
13. 平面向量与的夹角为60°，,则等于
参考答案：
14. 抛物线上有一动弦AB ，中点为M，且弦AB 的长为3，则点
M 的纵坐标的最小值为．
参考答案：
解：设直线的方程为，联立，化为，
由题意可得△．
，．
，
，
中点的纵坐标:
．
故答案为：．
15. 等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k =________．
参考答案：
法1：有题意知,即，所以，又，所以。

法2：利用方程组法求解。

16. 已知函数．若，则a的最大整数值为______．
参考答案：
3
【分析】
令，．，．利用导数研究函数的单调性极值即
可得出．
【详解】解：令，．
，.
令，.
当，即时，在单调递增，恒成立；
当，即时，
可得函数在单调递减，在单调递增．
∴时，函数取得极小值即最小值．
∴.
令，，
时，.
可得时，函数单调递减．
∴时，．时，，时，.
∴满足的的最大整数值为3；
综上，a的最大整数值为3，故答案为：3．
【点睛】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能
力与计算能力，属于中档题．
17. 函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函
数在D上为非减函数。

设函数为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条
件：
① ；② ；③当时，恒成立。

则。

参考答案：
1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率找出a与b的关系式，再根据△EGF2的周长求出a与b的值，即可确定出椭圆C方程；
（Ⅱ）根据题意得到直线AB斜率存在，设出直线AB方程，以及A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立直线AB解析式与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，根据不等式求出k的范围，进而确定出t的范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e==，
∴e2===，即a2=2b2，又△EGF2的周长为4，即4a=4，
∴a2=2，b2=1．
∴椭圆C的方程为+y2=1；
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0．
设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，
由△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，得k2＜．
根据韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，
∵+=t，
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
x==，
y==[k（x1+x2）﹣4k]=，
∵点P在椭圆C上，∴16k2=t2（1+2k2），
∵|﹣|＜，∴|x1﹣x2|＜，
∴（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜，
∴（1+k2）[﹣4?]＜，
∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，
∴k2＞，
∴＜k2＜．
∵16k2=t2（1+2k2），∴t2==8﹣，
又＜1+2k2＜2，∴＜t2=8﹣＜4，
∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2，
∴实数t的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．
点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，椭圆的简单性质，以及椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键．
19. 已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，
或或，解得：﹣≤x≤；
（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，
即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，
由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值为|a+6|，
∴或，
解得：a≥﹣．
【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．
20. （本小题满分12分）梯形中，，，
，如图①；现将其沿折成如图②的几何体，使得.
（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅱ）求二面角的余弦值.
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，，
.在中，∵，∴，
∴两两垂直，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图）.
设平面的法向量为，，，
，取
设直线与平面成的角为，
则
直线与平面成的角为（Ⅱ）设平面的法向量为，
令
由（Ⅰ）知平面的法向量为令.
由图知二面角为锐角，
∴二面角大小的余弦值为.
21. （本题满分14分）如图，已知平面，∥，是正三角形，
且.
（1）设是线段的中点，求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
参考答案：
（I）证明：取CE中点N,连接MN,BN
则MN∥DE∥AB且MN=DE=AB
∴四边形ABNM为平行四边形∴AM∥BN ………....4分
∴AM∥平面BCE ………………………....6分
（Ⅱ）解：取AD中点H,连接BH，
∵是正三角形，
∴CH⊥AD …....8分
又∵平面∴CH⊥AB
∴CH⊥平面ABED ....10分
∴∠CBH为直线与平面所成的角………....12分设AB=a,则AC=AD=2a , ∴BH= a BC= a
cos∠CBH=………………....14分
略22. （本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，
负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（I）求第局甲当裁判的概率；
（II）求前局中乙恰好当次裁判概率.
参考答案：。