翼教版八年级数学上册模型构建专题共顶点的等腰三角形

模型构建专题：共顶点的等腰三角形
——明模型，悉结论◆类型一共直角顶点的等腰直角
三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE
均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？
若垂直，请说明理由；若不垂直，
则只要写出结论，不用写理由．
◆类型二共顶点的等边三角形
2．如图①，等边△ABC中，D 是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC和△DBE
均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，
∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC
－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD ＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.
(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD ⊥CE .
2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC ＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC
＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝
60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠
ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△
EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，
∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝
60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝
∠ACB ，∴AE ∥BC .
易错专题：求二次函数的最值或函
数值的范围
——类比各形式，突破给定范
围求最值
◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值
1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为________．
2．已知二次函数y＝3x2－12x ＋13，则函数值y的最小值是【方法12】( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
3．函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．
◆类型二限定自变量的取值范围求最值
4．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是【方法12】( ) A．0，－4 B．0，－3 C．－3，－4 D．0，0
5．已知0≤x≤
3
2
，则函数y＝x2＋x＋1( )
A．有最小值
3
4
，但无最大值
B ．有最小值34，有最大值1
C ．有最小值1，有最大值194
D ．无最小值，也无最大值
6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )
A ．1，－29
B ．3，－29
C ．3，1
D ．1，－3
7．已知0≤x ≤12，那么函数y
＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．
◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围 8．从y ＝2x 2－3的图像上可以
看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( ) A ．－1≤y ≤5 B ．－5≤y ≤5 C ．－3≤y ≤5 D ．－2≤y ≤1 9．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( ) A ．y ≥3 B ．y ≤3 C ．y ＞3 D ．y ＜3 10．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值C
A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m
11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．
◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．9
13．已知二次函数y＝ax2＋4x ＋a－1的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
14．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
15．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.
16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.
参考答案与解析
1．5 2.C
3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132
＋13，∴该抛
物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，13.∵－3＜
0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13.
4．A 5.C
6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B. 7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y 随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22
＋2＝－2.5.
8．C
9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.
10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x
＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m .
11．－72≤y ≤21 解析：二次
函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21. 12．A 13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C. 14．D 解析：第一种情况：当
二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32
＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，
即a ＝5.综上所述，a ≤5.故选D.
15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x ＝3a 4.∵a ≥4，∴x ＝3a 4≥3.
∵抛物线开口向上，在对称轴的左
侧，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，函数取最小值－23时，x ＝3.把x ＝3代入y ＝2x 2－3ax ＋4中，得18－9a ＋4＝－23，解得a ＝5. 16．－4≤m ≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x ＝－2对称，∴－a 2×1＝－2，∴a ＝4，∴y ＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1.当y ＝1时，x ＝－2；当y ＝5时，x ＝0或－4.∵当m ≤x ≤0时，y 有最大值5，最小值1，∴－4≤m ≤－2.。