河南省师范大学附属中学2014高中数学 3.1.2 空间向量的数乘运算同步练习 理(普通班)新人教A

河南省师范大学附属中学2014高中数学 3.1.2 空间向量的数乘运
算同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1
一、选择题
1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b
3
2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )
A ．共面
B ．不共面
C ．共线
D ．无法确定
3．i ∥\ j ，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC → B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13
OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12
OC → D ．以上皆错 5．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →
等于( )
A.AA ′→＋12AB →＋12AD →
B.12AA ′→＋12AB →＋12
AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16
AD → 6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N
为BC 中点，则MN →等于( )
A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12c C.12a ＋12 b －23c D.23a ＋23b －12
c 二、填空题
7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12
i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝
________.
8．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →
的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.
三、解答题
9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →
共面．
10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j ，证明这三个向量共面．
3.1.2 答案
1-6 DAABDB 7. －13i ＋2j ＋7k 8.－32 －61 61
9.[解析] →A1B ＝→AB －→AA1，→A1M ＝→A1D1＋→D1M ＝→AD －21→AA1，→AN ＝32→AC ＝32(→AB ＋→AD )．
∴→A1N ＝→AN －→AA1＝32(→AB ＋→AD )－→AA1
＝32(→AB －→AA1)＋32(→AD －21→AA1)
＝32→A1B ＋32→A1M .
∴→A1N 与→A1B ，→A1M 共面．
10.[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，
∵i ，j ，k 不共面，∴2λ＝13λ＋7μ＝－2，∴21，
故存在实数λ＝21，μ＝－21，使a ＝λb ＋μc ，
故a ，b ，c 共面．。