广东省茂名市第四中学2020年高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省茂名市第四中学2020年高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知点A （﹣1，0）、B （1，3），向量=（2k ﹣1，2），若⊥，则实数k 的值为（ ）
A ．
﹣2 B ． ﹣1
C ． 1
D ． 2
B 略
2. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种
B ．30种
C ．24种
D ．6种
参考答案：
B
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．
【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节， 先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=36种方法，
再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，
故总的方法种数为：36﹣6=30 故选：B ．
3. 已知命题，使；命题，，则下列判断正确的是
（ ） A ．为真 B ．为假 C ．为真 D ．为
假
参考答案：
B
试题分析：根据正弦函数的值域可知命题为假命题，设，则，所以在
上单调递增，所以，即在上恒成立，所以命题为真命题，为假命题，故
选B.
4. 设等比数列的前项和为，若，，则公比
A ．1 B.2 C ．4 D ．8 参考答案： C
5. 命题“所有能被2整除的整数是偶数”的否定是（ ）
A ．所有不能被2整除的整数都是偶数
B ．所有能被2整除的整数都不是偶数
C ．存在一个不能被2整除的整数都是偶数
D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数
参考答案：
D
略
6. 执行如图所示的程序框图，如果输入a=3，b=2，那么输出a 的值为（ ）
A ．16
B ．256
C ．log 3626
D ．6561
参考答案：
D
【考点】EF ：程序框图．
【专题】11 ：计算题；27 ：图表型；4B ：试验法；5K ：算法和程序框图． 【分析】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．
【解答】解：当a=3，b=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=81， 当a=81时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=6561， 当a=6561时，满足退出循环的条件，
故输出的a值为6561，
故选：D．
7. 在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是 ( ）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
8. 若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则复数z所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．
【解答】解：由（3﹣4i+z）i=2+i，得
3﹣4i+z=，
∴z=﹣2+2i．
∴复数z所对应的点的坐标为（﹣2，2），位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．9. 对于函数，下列说法正确的是
A．函数图象关于点对称
B．函数图象关于直线对称
C．将它的图象向左平移个单位，得到的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象
参考答案：
B
10. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：
4
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为
A． 3 B． 3．15 C．3．5
D． 4．5
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:
（1）非负性:，当且仅当时取等号；
（2）对称性:；
（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.
今给出四个二元函数:
①；②③；④.
能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .
参考答案：
①
略
12. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=4﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）= ．
参考答案：
2m
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据两函数的对称中心均为（0，2）可知出x 1+x 2+x 3+…+x m
=0，y1+y2+y3+…+y m=×4=2m，从
而得出结论．
【解答】解：∵f（﹣x）=4﹣f（x），f（﹣x）+f（x）=4，
∴f（x）的图象关于点（0，2）对称，
∵y==2+也y关于点（0，2）对称，
∴x1+x2+x3+…+x m=0，y1+y2+y3+…+y m=×4=2m，
故答案为2m．
13. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方
程为，曲线C的参数方程，（为参数）.则曲线C上的点
到直线l的距离的最小值为________.
参考答案：
【分析】
把参数方程，设极坐标化为直角坐标方程，求出弦心距，则即为所求，得到答案．
【详解】直线的极坐标方程为，即为，
化为直角坐标方程，
把曲线C的参数方程（为参数），可得普通方程，
表示以(1,2)为圆心，半径为的圆，
则圆心到直线的距离为，
所以曲线C上的点到直线的距离的最小值为．
14. 一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图12－18，截下部分的母线
最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．
图12－18
参考答案：
15. 某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数
学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图17－3)．根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数
学考试中成绩小于60分的学生数是________．
参考答案：
600
16. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，，则
△ABC 面积的取值范围是
．
参考答案：
∵中A 、B 、C成等差数列，
∴．
由正弦定理得，
∴，
∴
，
∵为锐角三角形，
∴，解得．
∴，
∴，
∴，
故面积的取值范围是．
17. 下列命题结论中错误的有．①命题“若x=，则sinx=”的逆命题为真命题
②设a，b是实数，则a＜b是a2＜b2的充分而不必要条件
③命题“?x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x2+x+1＞0”
④函数f（x）=lnx+x﹣在区间（1，2）上有且仅有一个零点．
参考答案：
①②③
【考点】命题的真假判断与应用；充要条件．
【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．
【分析】写出原命题的逆命题，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；写出原命题的否定，可判断③；判断函数的零点个数，可判断④．
【解答】解：命题“若x=，则sinx=”的逆命题为“若sinx=，则x=”，为假命题，故①错误；
设a，b是实数，则a＜b时，a2＜b2不一定成立，a2＜b2时，a＜b不一定成立，
故a＜b是a2＜b2的既不充分而不必要条件，故②错误；
命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x2+x+1≥0”，故③错误；
函数f（x）=lnx+x﹣在区间（1，2）上单调递增，且f（1）?f（2）=?（ln2+）＜0，故函数
f（x）=lnx+x﹣在区间（1，2）上有且仅有一个零点，故④正确；
故错误的结论有：①②③，
故答案为：①②③
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了四种命题，充要条件，存在性命题的否定，零点存在定理，难度中档．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲
线与曲线在第一象限的交点，且．
(1)求曲线的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于，两点，若的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．
参考答案：
解：（1）依题意，，,利用抛物线的定义可得，
点的坐标为………2分
,又由椭圆定义得.…4分
，所以曲线的标准方程为；……6分
（2）（方法一）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，设直线方程为
与联立得
由①……8分
由韦达定理得
将M(,)代入整理得②…10分将②代入①得令则
且………12分
（方法二）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，
将的坐标代入椭圆方程中，得
两式相减得
，……7分，直线的斜率，………8分
由，，解得，或
（舍）
由题设，，……10分
即. ………12分
19. 随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰，今年新春伊始，各医院产科就已经一片忙碌，至今热度不减，卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”，在人民医院，共有50个宝宝降生，其中25个是“二孩”宝宝；博爱医院共有30个宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．
（1）根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？
8个宝宝做健康咨询，若从这8个宝宝抽取两个宝宝进行体检．求这两个宝宝恰好都是来自人民医院的概率．
附：
参考答案：
【考点】独立性检验．
【分析】（1）计算K 2，与2.072比较大小得出结论．
（2）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取8个宝宝做健康咨询，人民医院5人，博爱医院3人，确定基本事件的情况，即可求出概率． 【解答】解：（1）
．
故没有90%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关．
（2）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取8个宝宝做健康咨询，人民医院5人，博爱医院3人，从这8个宝宝抽取两个宝宝进行体检，有=28种，这两个宝宝恰好都是来自人民医
院，有=10种，所以这两个宝宝恰好都是来自人民医院的概率P=
=
．
20. 已知函数f （x ）=ax 3﹣be x （a∈R，b∈R ），且f （x ）在x=0处的切线与x ﹣y+3=0垂直． （1）若函数f （x ）在[，1]存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； （2）若f′（x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求a 的取值范围； （3）在第二问的前提下，证明：﹣＜f′（x 1）＜﹣1．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为在上有解，令，故只需
，根据函数的单调性求出a 的范围即可；
（2）令h （x ）=f'（x ），则h （x ）=ax 2﹣e x
，问题转化为方程有两个根，设φ（x ）=，
根据函数的单调性求出a 的范围即可；
（3）求出f′（x 1）=（﹣1），x 1∈（0，1），令r （t ）=e t （﹣1），（0＜t ＜1），根据
函数的单调性证明即可．
【解答】解：因为f'（x ）=ax 2﹣be x ，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1… （1）由前可知，f'（x ）=ax 2﹣e x 根据题意：f'（x ）＞0在
上有解，即ax 2﹣e x ＞0在
上有解 …
即在上有解，令，故只需
所以，所以，当时，g'（x ）＜0，所以g （x ）在上单调递
减，
所以g（x）min=g（1）=e，所以 a＞e…
（2）令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣e x，所以h'（x）=2ax﹣e x
由题可知，h'（x）=0有两个根x1，x2，即2ax﹣e x=0有两个根x1，x2，
又x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，…
设φ（x）=，则φ′（x）=，当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．故要使方程2a=有两个根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞，
所以a的取值范围是（，+∞），
（3）由（2）得：0＜x1＜1＜x2…
且由h'（x1）=0，得2ax1﹣=0，所以a=，x1∈（0，1）…
所以f′（x1）=h（x1）=a﹣=（﹣1），x1∈（0，1），
令r（t）=e t（﹣1），（0＜t＜1），则r′（t）=e t（）＜0，
r（t）在（0，1）上单调递减，
所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣＜f′（x1）＜﹣1．…
21. 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）= 有实根，求实数b的最大值．
参考答案：
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a
（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求
（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．
方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求
方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p （x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x0）=0，从而可得函数g（x）的单
调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值
【解答】解：（1）=．…
因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…
即，解得a=0．…
又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…
（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，
所以在区间[3，+∞）上恒成立．…
①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…
②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…
令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…
因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，
解得．…
因为a＞0，所以．
由①可得，a=0时，符合题意；
综上所述，a的取值范围为[0，]．…
（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…
以下给出两种求函数g（x）值域的方法：
方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），
则，…
所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…
因此h（x）≤h（1）=0．
而x＞1，故b=x?h（x）≤0，
因此当x=1时，b取得最大值0．…
方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．
设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．
当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；
当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；
因为p（1）=0，故必有，又，
因此必存在实数使得g'（x0）=0，
∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；
当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；
又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．
因此当x=1时，b取得最大值0．…
22. （16分）已知数列{a n}的首项为1，设f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）．
（1）若{a n}为常数列，求f（4）的值；
（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；
（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n?（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．
参考答案：
考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；等比数列的性质．
专题：综合题；转化思想．
分析：（1）{a n}为常数列，a1=1，可求a n=1，代入f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）可求f （4）的值；
（2）根据题意可求a n=2n﹣1（n∈N*），f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，两端同时2倍，配凑二项式（1+2）n，问题即可解决；
（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，利用倒序相加法求得，最终转化为
（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，从而求得d=2，问题解决．
解答：解：（1）∵{a n}为常数列，∴a n=1（n∈N*）．
∴f（4）=C41+C42+C43+C44=15．
（2）∵{a n}为公比为2的等比数列，
∴a n=2n﹣1（n∈N*）．
∴f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，
∴1+2f（n）=1+2C n1+22C n2+23C n3+…+2n C n n=（1+2）n=3n，
故．
（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，设公差为d，则f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n﹣1C n n﹣1+a n C n n，
且f（n）=a n C n n+a n﹣1C n n﹣1+…+a k C n k+…+a2C n2+a1C n1，
相加得 2f（n）=2a n+（a1+a n﹣1）（C n1+C n2+…+C n k+…+C n n﹣1），
∴
=
=1+（n﹣1）d+[2+（n﹣2）d]（2n﹣1﹣1）．
∴f（n）﹣1=（d﹣2）+[2+（n﹣2）d]2n﹣1=（n﹣1）2n对n∈N*恒成立，
即（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，∴d=2．
故{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，它的通项公式为a n=2n﹣1．
点评：本题重点考查二项式定理的应用，解决的方法有倒序相加法求 f（n），难点在于综合分析，配凑逆用二项式定理，属于难题．。