高二数学北师大版选修4-5课件2.1 柯西不等式

2.一般形式的柯西不等式 (1)定理 2: 2 2 2 2 设 a1,a2,…,an 与 b1,b2,…,bn 是两组实数,则有(������1 + ������2 +…+������������ )(������1 +
2 2 ������2 +…+������������ )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量(a1,a2,…,an)与向量(b1,b2,…,bn)共线时,等号 成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式): 2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是两组实数,则有(������1 + ������2 + ������3 )· (������1 + ������2 + 2 ������3 )≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时等号成立.
第二章
几个重要的不等式
§1
柯西不等式
课程目标 1.认识简单形式的柯西不等式的 几种形式,理解它们的几何意义. 2.会证明一般形式的柯西不等式, 并能利用柯西不等式来解决有关 问题.
学习脉络
1.简单形式的柯西不等式
简单形式的 柯西不等式 代数形式(定理 1) 表达式 (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2 向量形式 |α||β|≥|α· β| α 与 β 共线 等号成立的条件
点拨(1)三维形式的柯西不等式是二维形式的柯西不等式的推广,是二维
形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背 景到空间向量的几何背景的拓展. (2)根据从特殊到一般的认识过程,由二维和三维形式的柯西不等式,类比猜想 出一般形式的柯西不等式.
探究一
探究二
探究三
利用柯西不等式证明不等式
探究一
探究二
探究三
【例题 1】设 a,b∈R+,且 a+b=2.
������2 求证: 2-������ ������ + ≥2. 2-������
2 2
思路分析:利用柯西不等式证明不等式,需要先观察不等式的结构特点,
������2 ������ 本题可以看作求 + 的最小值,因而需出现(a2+b2)(c2+d2)的结构.把 2-������ 2-������ 2 ������2 ������ + 视为其中的一个括号内的部分,另一部分可以是(2-a)+(2-b). 2-������ 2-������
+ 2-������·
������ 2-������
=(a+b)2=4,
当且仅当 a=b=1 时等号成立.
������2 ������ ∴ + 2-������ 2-������
2
≥
4 =2, (2-������)+(2-������)
∴原不等式成立.
点评根据题设条件,综合利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换
ad=bc
点拨定理 1 的几点说明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以二维形式 的柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即 ad=bc. (2)二维形式的柯西不等式反映了 4 个实数之间的特定数量关系,不仅在排 列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学和物理中有重要作用. (3)根据二维形式的柯西不等式,我们还可以得到如下的常用结论: ① ������2 + ������ 2 · ������ 2 + ������ 2 ≥|ac+bd|; ② ������2 + ������ 2 · ������ 2 + ������ 2 ≥|ac|+|bd|; ③ac+bd≤ ������2 + ������ 2 · ������ 2 + ������ 2 . 其中,①式中当且仅当 ad=bc 时等号成立,②式中当且仅当|ad|=|bc|时等号 成立.
利用柯西不等式证明不等式时,有时需要将数学表达式进行适当变形, 常见的变形技巧有下面几种: (1)结构的巧变 应用柯西不等式证题的关键是要善于构造两组数: a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn.柯西不等式的左端的乘积中的每一项恰好是每组 2 2 2 2 2 2 数平方之和,即(������1 + ������2 +…+������������ )(������1 + ������2 +…+������������ ),右端正好是这两组数对应 项的乘积之和的平方,即(a1b1+a2b2+…+anbn)2. (2)常数的巧拆 在运用柯西不等式时,根据题中的数字特征,对常数进行巧拆是一种常 用技巧.
自主思考怎样理解柯西不等式? 提示:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,二 维形式的柯西不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关 系,或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要
仔细体会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、 联系,要有一定的认识. “二维”是根据向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量:横纵坐 标,因此“二维”就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关 系.
探究一
探究二
探究三
(3)位置的巧换 柯西不等式中的量 ai,bi 具有广泛的选择余地,任意两个元素 ai,aj(或 bi,bj)的交换,可以得到不同的不等式,因此,在证明时根据需要重新安排各量 的位置,按照特定的顺序对应,这种形式上的变更往往给解题带来意想不到 的方便. (4)项的巧添 有些问题表面上看不能应用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或 值为常数的项,就可以运用柯西不等式来解.
探究一
探究二
探究三
证明:根据柯西不等式,有 [(2-a)+(2-b)] ≥ 2-������·
������ 2-������ ������2 2-������
+
������ 2-������
222源自=[( 2-������ )2+( 2-������)2]·
2
������ 2-������
+
������ 2-������