高中数学提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及答案

高中数学提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）
A ．()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
B ．()f x 是周期为2π的函数
C ．()f x 有对称轴
D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点
【答案】BD 【分析】
先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】
因为[][]
()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,
3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，22
()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，而
cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数，故A 错误.
由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩
可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.
若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，
所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛
⎫-
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20
cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨
+=-⎩
， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π
2
a
或32a π=.
若π
2
a
，则2
1
116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而2
711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫
=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
若32a π=，则2
191116
2226f f π
π⎛⎛⎛⎫⎛⎫
=+-=-+≠-
⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】
方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.
2．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1
y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-
D ．22sin 12cos y x =-
【答案】CD 【分析】
对原式进行切化弦，整理可得：2
2
2
2
2
2
sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】
∵2
2
tan 2tan 10x y --=，2222
sin sin 210cos cos x y
x y
-⋅-=， 整理得222222
sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，
∴(
)(
)
(
)
2
2
22
22
2
1cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即2
2
2
2
2
2
2
1cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即2
2
2
sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】
此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.
3．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）
A ．()f x 的图象过点10,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()f x 的最大值为M
C ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减 D ．5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】
已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,2
2
k k k Z π
πππ⎛
⎫
+
+
∈ ⎪⎝
⎭
上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】 由题可知2T π
πω=
=，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
当0x =时，()0sin 20sin 662
M
f M M ππ⎛
⎫
=⨯+
== ⎪⎝
⎭，故选项A 错误； 因为()sin 26f x M x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确；
由解析式可知()f x 在3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈ 即2,63x k k ππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣⎦
上单调递减，当0k =时，选项C 正确； 由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26
x k π
π+=，即212
k x ππ
=
- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.
4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则下列
关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）
A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3
π-
B ．函数()f x 的图像在y 3
C ．函数56f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 【答案】ABC 【分析】
首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】
根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362
T πππ
=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
． 令()2cos 06f x x π⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭，得62
x k ππ
π-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=
+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3
π
-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6
f x x x ππ⎛⎫
-
=-=- ⎪⎝
⎭
，因此函数56f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
是偶函数，故C 正确； 令226
k x k π
πππ-≤-
≤，k Z ∈，得52266
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,
6ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）
A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0
B ．该函数图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D ．()2cos 3
6x f x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】
根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，
若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，
23
T ππ
ω∴=
=， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛
⎫-
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则
sin 16πϕ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭.
0ϕπ<<，56
6
6π
π
πϕ∴-
<-
<
，则62
ππϕ-=，23π
ϕ∴=，
()22sin 2sin 2cos 333623
6f x x x x π
πππππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；
对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
，A 选项正确； 对于B 选项，由
()36x k k Z ππ
π+
=∈，解得()1
32
x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；
对于C 选项，当71,23x ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦
时，3618x ππππ-≤+≤，
所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只
需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把
ω化为正数．
6．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
），在
,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）
A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=
B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2
π
【答案】ABD 【分析】
根据条件先求函数的解析式，
对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；
对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】
因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上既无最大值，也无最小值，
所以,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，
即函数的周期2233T π
π
≥⨯
=
，即223
ππω≥，则03ω<≤
因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以06212
π
π+
=为函数的一条对称轴；
则1223
πππ
ωϕωϕπ+=
+=①② 由①②解得：=2=
3
π
ωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π
-==,则21x x -必为2
π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π
=-
时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,12
12x k k π
πππ⎡⎤∈+
+
⎢⎥⎣
⎦
时，322,2322x k k πππππ⎡⎤
+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;
对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44
T π
=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】
（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；
（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或
cos y x =的性质解题.
7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2
C π
>
，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理
sin sin a b
A B
=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.
2
C π
>，222
cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知
222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02
A π
<<
时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫
<⇔-<
⎪⎝⎭
，即2
2
A B A B π
π
->⇒+<
，即2
C π
>
，则ABC 为钝角三角形，若2
A π
>
，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛
⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当
2
A π
=
是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，
故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，
0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.
8．已知函数()
()tan (0)6
ωωπ
=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则1
2
ω=
B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()
π0()
6
π+∈Z k k ，
C ．当2ω=时，π2π
()()125
-<f f D ．若()f x 在区间()
π
3π，上单调递增，则203
ω<≤ 【答案】AD 【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】
解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则1
2
ω=，故A 选项正确；
对于B 选项，当1ω=时，()
()tan 6f x x π
=-，所以令,6
2
k x k Z π
π
-
=
∈，解得：,6
2
k x k Z π
π=
+
∈，所以函数的对称中心的坐标为()
0()62k k π
π+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()
()tan 26f x x π
=-，
()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦
，
()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125
f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,2
6
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
+<-
<
+∈，解得：233k k x ππππ
ωωωω
-
+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-
++∈ ⎪⎝⎭
，因为()f x 在区间()
π3π，
上单调递增，所以33
,23k k Z k πππ
ωωπππ
ωω
⎧-+≤⎪⎪∈⎨
⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=
≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56
k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故2
03
ω<≤，故D 选项正确.
故选：AD 【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得2
13,3
k k k Z ω-+≤≤
+∈，再结
合233
T ππππω=
≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.
二、数列多选题
9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列
C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数
列 【答案】AB 【分析】
对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出
2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能
10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶
数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
2n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以
142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正
确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，所以122(2)n
n S n -=-≥，所以
12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =
则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等
比数列，则（ ）
A ．2n S n =
B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=
C ．11k =
D ．21n a n =- 【答案】ACD
【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到
122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =；
而713a =，故75275
a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
23171617k S S S S a =-=， 则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ．
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；
（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；
（3）利用裂项相消法，对12231011
111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.。