高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解导学案 新人教A版必修1

2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
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复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？
对于函数()y f x =，我们把使 的实数x 叫做函数()y f x =的零点.
方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴 ⇔函数()y f x = . 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.
复习2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：二分法的思想及步骤
问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. 解法：
第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln 26y x x =+-的零点所在区间？如何找出这个零点？
新知：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()f a f b <0的函数()y f x =，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：
给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε；
②求区间(,)a b 的中点1x ；
③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；
④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．
※ 典型例题
例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.
变式：求方程237x x +=的根大致所在区间.
※ 动手试试
练1. 求方程3log 3x x +=的解的个数及其大致所在区间.
练2.求函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1）
练3. .
三、总结提升
※学习小结
①二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.
※知识拓展
高次多项式方程公式解的探索史料
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解
.
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 若函数()
f x在[],a b上（）.
f x在区间[],a b上为减函数，则()
A. 至少有一个零点
B. 只有一个零点
C. 没有零点
D. 至多有一个零点
2. 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.
3. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）.
A. (2,3)
B. (3,4)
C. (4,5)
D. (5,6)
4. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5)
5.625f =，那么下一个有根区间为 .
5. 函数()lg 27f x x x =+-的零点个数为 ，大致所在区间为 . 课后作业
1. 求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.
2. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3()2f x x =-的零点（精确到0.01）.。