人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 2.2 基本不等式

两个正数的算术平均数不小
积的2倍
于它们的几何平均数
文字叙述
“=”成立的条件 a=b
a=b
2.基本不等式的变形
(1)ab≤
b
(2)
a
a+b 2
(a>0,b>0),当且仅当
2
a
+ ≥2(a>0,b>0),当且仅当
b
a=b 时,等号成立;
a=b 时,等号成立.
第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的
1
1
1
(1) + + ≥8;
(2)
1
1+

+
1
1+

1
1
1
证明(1) + +
1
1
∴ +
=
=
≥9.
1
1
+
1
1
+ + =2 +

,∵a+b=1,a>0,b>0,
+
+


+
=2+
+
≥2+2=4,




1
1
1
∴ + + ≥8(当且仅当



1
a=b= 时,等号成立).
+ 2
.
2
(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2 .
重难探究•能力素养全提升
探究点一 对基本不等式的理解
【例1】 (多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(
A.a2+1>a
B.
1
+
C.(a+b)

1
+
1
1
+

4
D.a-1+ ≥4
-1
≥4
≥4
)
答案 ABC
a,b,可得到什么形式?
提示得到a+b≥2 .
(2)我们称 为 a,b
+
的几何平均数,称 为
2
a,b 的算术平均数.如何用这两个
概念描述基本不等式?
提示基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数.
(3)当a>0,b>0时,由a2+b2≥2ab你能得到哪些变形式?
提示将不等式的两边分别同时除以 a 并且移项后可以得到
1
x+ 的最值时,不能直接用
1
x=-1,x+ =-2,可见
1
x+ 的最小值不为
2,产生错误的
原因是这里的 x 不一定为正数.只有各项为正数时才能利用基本不等式.
二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用
基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.例如:
①当 x>2
2
时,有 x =-1 不成立.所以
2 +2
2
等号不成立,即此时不能用基本不等式求最值.
+ 2与
2
1
2 +2
+2+
的积为
1
≥2 中
2 +2
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何
一次等号成立的字母取值存在且一致.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画 ,错误的画×)

+ 2
(3)ab≤
(a,b∈R,当且仅当 a=b 时,等号成立).
2
2 +2
+
(4)
≥
≥
2
2
2
≥ 1 1(a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立).
+

变式训练3
已知 a>0,b>0 且
1
1
a+b=2,求证: + ≥2.


证明∵a>0,b>0 且 a+b=2,
不等式的两边分别同时除以 b 并且移项后可以得到
2
右两边分别相加后可得
2
+ ≥a+b(当且仅当
2
a≥2b- ,同理将
2
b≥2a- ,将上述两式左
a=b 时,等号成立).
知识点2 利用基本不等式求最值
基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
应用基本不等式的前提条件
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得
知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
变式训练2
已知a,b均为正实数.若ab=2,求证:
(1)(a+b)(a3+b3)≥16;
(2)(1+2a)(1+b)≥9.
证明(1)∵a,b均为正实数,且ab=2,
∴a+b≥2 =2 2>0,a3+b3≥2 3 3 =4 2>0.
∴(a+b)(a3+b3)≥16,当且仅当a=b时,等号成立.
1
1
∴ +


=
即 a=b=1
1 +
+
+
2

=
1

+ +2
2

1
1
时,等号成立,故 + ≥2.
≥
1
2
2

· +2


=2,当且仅当

=

,

本节要点归纳
1.知识清单:
(1)基本不等式和基本不等式的变形.
(2)利用基本不等式求最值,注意体会“和定积最大,积定和最小”这一结论.
2
(1)函数 y=x
2
+ 2 的最小值为
+1
2 2-1.(
)
(2)若xy=4,则x+y的最小值为4.( × )
(3)若x>0,y>0,且x+y=2,则2xy的最大值为1.( × )
2.填写下面的表格:
x+y
10
10
10
10
10
10
10
10
10
x(x>0)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y(y>0)
9
8
7
6
5
2
(2)(方法
1
+

1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+ =1+ =2+ ,



1

同理,1+=2+,
∴
1
1+

1
1+

∴
1
1+
1
1+
(方法 2)
1
1+
=

2+


2+

≥9(当且仅当
1
1+


=5+2( + )≥5+4=9.


1
a=b=2时,等号成立).
1
1
1法、常值代换法.
3.常见误区:使用基本不等式或基本不等式的变形形式时,要注意等号成立
的条件.
学以致用•随堂检测全达标
1.下列说法中正确的个数是(
)
①a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0
②a2+b2≥2ab成立的条件是
③a+b≥2 成立的条件是a>0,b>0
件是ab>0
1
1
1
由(1)知, + + ≥8,
故
1
1+
1
1+
1
1
1
=1+ + + ≥9,当且仅当
1
a=b=2时,等号成立.
规律方法
几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立).

(2) + ≥2(a,b 同号,当且仅当 a=b 时,等号成立).
2
同理可得-1≥ , -1≥ .
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
2
=8.

当且仅当
故
1
-1

1
a=b=c= 时,等号成立.
3
1
-1

1
-1

≥8.
1
-1

1
-1

1
-1

≥
2 2
·
·


规律方法
利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”
a=b 时,等号成立,故选 C;
D中,当0<a<1时,不能直接应用基本不等式,故D不正确.
规律方法
应用基本不等式时要注意以下三点:
(1)各项或各因式均为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.
变式训练1
下列结论正确的是(
A.若 x∈R,且
4
x≠0,则+x≥4
变式探究
本例第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.
解∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
1
a=2,b= 时等号成立.此时
2
ab 取得最大值 1.
探究点四 基本不等式的变形应用
【例4】 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
一端为定值时,另一端就可以取最值.
基本不等式有多种变形,应用时具有很大的灵活性,既可直接应用又可变形
应用.一般地,遇到和与积,平方和与积,平方和与和的平方等不等式问题时,
常利用基本不等式处理.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画 ,错误的画×)
(1)若 a≠0,则
4
a+a ≥2
4
a·a =4.(
× )
∴2(a+b+c)≥2( + + ),
即 a+b+c≥ + + .
∵a,b,c 为不全相等的正实数,∴等号不成立.
∴a+b+c> + + .
(2)∵a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
1
1-
∴-1=
=
+

≥
2
,

1
2 1
(2)对于任意 a,b∈R,a2+b2≥2ab.(
)
(3)当 a>0,b>0 时,a+b≥2 .(
)
+ 2
.(
2
)
(4)当 a>0,b>0 时,ab≤
2
时,n+ >2
*
(5)当 n∈N
2.(
)
2.(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当
且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用 , 分别代替不等式中的
1 2
最大值4S
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得 最小值 2
.
.
名师点睛
利用基本不等式求最值的注意事项
在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、
三相等,这三个条件缺一不可.
一正:各项必须为正数.例如,求代数式
1
x+ ≥2
1
· =2.取特殊值
第二章
2.2 基本不等式
课标要求
a+b
1.理解基本不等式 ab ≤
(a>0,b>0).
2
2.能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
解析 A 中,由于 a +1-a=
2
B 中,由于
1 2
2
3
+ >0,∴a2+1>a,故选
4
1
1
1
1
a+≥2,b+≥2,∴(a+)(b+)≥4,当且仅当
A;
a=b=1 时,等号成立,故
选 B;
C 中,由于 a+b≥2
1
1
1
, + ≥2 ,
1
1
∴(a+b)( + )≥4,当且仅当
B.当 x>0 时, +
C.当 x≥2
)
1
≥2

1
时,x+的最小值为
D.当 0<x≤2
1
时,x- 无最大值

2
答案 B
解析
4
对于选项 A,当 x<0 时,+x≥4 显然不成立;对于选项 B,符合应用基本不
等式的三个基本条件“一正,二定,三相等”;对于选项 C,忽视了验证等号成立
1
1
的条件,即 x=,则 x=±1,均不满足 x≥2;对于选项 D,x-在 0<x≤2 的范围内单
C.4
D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
答案 (1)A
)
.
(2)4
解析 (1)∵x>0,
9
∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
x=3 时等号成立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2
取等号.
1
4=4,当且仅当 a=4b,即 a=2,b=2时
②当
1
1
时,x+ =(x-2)+ +2≥2+2=4,当且仅当
-2
-2
8
1
1 3+8-3
0<x<3时,x(8-3x)=3(3x)(8-3x)≤3
2
2
=
x=3 时,等号成立.
16
,当且仅当
3
4
x=3时,等号成
立.
三相等:等号能否取到.例如,
定值 1,但是当
2
+2=
1
2
+2+
1
2 +2
中,虽然
a,b∈R