唐山一中高二数学第二学期期中考试试卷 文【名校特供】

高二年级数学试卷（文）
1．考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或签字笔答在试卷上。

3. II 卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。

卷I （选择题，共60 分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,计60分) 1．复数
2
1i
-等于（ ） A ． １+ｉ B ． １－ｉ C ．－１+ｉ D ． －１－ｉ
2．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 （ ）
A ． ①和②
B ． ②和③
C ． ③和④
D ． ②和④ 3. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4. 函数93)(2
3
-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
5．曲线313y x x =
+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．
19 B ．
29
C ．
13
D ．
23
6． 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.223π+423π+
P
F E
D
C
B
A
俯视图
侧视图
22
2
正视图
2
2
2C. 232π+
D. 23
4π+ 7. 如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，
,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是（ ）
A ．P
B AD ⊥ B ．平面PAB PB
C ⊥平面 C ．直线BC ∥平面PAE
D ．PD ABC ︒
直线与平面所成的角为45
8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）
A ．
34 B ．54 C ．74 D ． 34
9．已知a>0，函数f （x ）=x 3
－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．函数282
4
+-=x x y 在［－1，3］上的最大值为（ ）
A.11
B.2
C.12
D.10
11．已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
312．已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x g 的导函数为f (x ),若a +b +c =0,
f (0)f (1)>0,设21,x x 是方程f (x )=0的两个根,则12||x x -的取值范围为( )
A.14[,)39
B.32)3
C.14
(0,]()39
+∞ D.32()3+∞
O
D
C B A
唐山一中2011-2012学年下学期期中考试
高二年级文科数学
卷II （非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,计20分)
13. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于____________.
14．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，
则BD ＝____________cm. 15. 若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2
－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为____________.
16. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是____________.
三、解答题(本大题共6小题，计70分,写出必要的解题过程)
17.（本小题10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，
PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.
（1）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （2）当2PD AB =
且E 为PB 的中点时，
求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
姓名______________ 班级_____________ 考号______________
F
E
D
C
B A
18.（本小题12分）已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2
-='， b f =)0(，
（a ，b R ∈）．m] (1)若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值； (2)若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值，最大值分别为-2和1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式．
19. （本小题12分） 如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2
BAD π
∠=
，
2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD
，3,FC ED ==． 求：（1）直线AB 到平面EFCD 的距离； （2）二面角F AD E --的平面角的正切值．
20.（本小题12分）已知函数()ln ,()()6ln ,a
f x x
g x f x ax x x
=-=+-a R ∈。

（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；
（2）若()g x 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；
21.（本小题12分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD 过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：AB 2
＝BE ·CD ．
22. 已知函数)(ln 2
1)(2
R a x a x x f ∈-=
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）设x x f x g 2)()(+=，若)(x g 在],1[e 上不单调且仅在e x =处取得最大值， 求a 的取值范围．
一、选择题
1～6 A D C D A C 7～12 D D D A C B 二、填空题 13. π16 14.
16
5
15. 9 16.)0,(-∞ 三、解答题
17. （1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD ABCD ⊥底面， ∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ，
∴平面AEC PDB ⊥平面.——————5分
（2）设AC∩BD=O，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD，1
2
OE PD =
，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，
在Rt △AOE 中，122
OE PD AB AO =
==，
∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒
.———10分 【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h ==
则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （1）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==， ∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.————5分
（2）当PD =
且E 为PB 的中点时，()
11,,,222P E a a a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，设
AC∩BD=O，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，
∵112,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴2
cos 2
EA EO AEO EA EO
⋅∠=
=
⋅， ∴45AOE ︒
∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒
.——10分 18
解析：（１）由导数的几何意义)1(+'a f =12 ……………1分
∴ 12)1(3)1(32
=+-+a a a ……………2分 ∴ 93=a ∴ 3=a ………………………3分
（２）∵ ax x x f 33)(2
-='，b f =)0( ∴
b ax x x f +-=232
3
)( ……5分
由 0)(3)(=-='a x x x f 得01=x ，a x =2
∵ ∈x ［-1，1］，21<<a
∴ 当∈x ［-1，0）时，0)(>'x f ，)(x f 递增；
当∈x （0，1］时，0)(<'x f ，)(x f 递减。

……………8分 ∴ )(x f 在区间［-1，1］上的最大值为)0(f ∵ b f =)0(，∴ b =1 ……………………10分 ∵ a a f 2321231)1(-=+-
=，a a f 2
3
1231)1(-=+--=- ∴ )1()1(f f <- ∴ )1(-f 是函数)(x f 的最小值，
∴ 223-=-a ∴ 34=a ∴ )(x f =122
3+-x x
19（1）
,AB DC DC ⊂平面EFCD , ∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD
的距离，过点A 作AG FD ⊥于G ，因2
BAD π
∠=
AB ∥DC ，故CD AD ⊥；又FA ⊥
平面ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ⊥，故CD FAD ⊥面，知CD AG ⊥，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离
在Rt ABC △中，FD =
=由FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，从而在Rt △FAD 中，
1FA ===
∴
FA AD AG FD ⋅=
==。

即直线AB 到平面EFCD 的距离为5。

（2）由己知，FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，又由2
BAD π
∠=，知AD AB ⊥，
故AD ⊥平面ABFE
E
∴DA AE ⊥，所以，FAE ∠为二面角
F AD E --
的平面角，记为θ.
在Rt
AED △中, AE ===,由ABCD 得,FE BA
,
从而2
AFE
π
∠=
在
Rt AEF △中,
FE =
==故tan
FE
θ=
=所以二面角F AD E --. 解法二:
（1）如图以A 点为坐标原点,,,AB AD AF 的方向为
,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系数,则
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)(0)F z z >可得0(2,2,)
FC z =-,
由||3FC =.3=,解得(0,0,1)F
AB ∥DC ，
DC ⊂面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离。

设
A 点在平面EFCD 上的射影点为111(,,)G x y z ,则111(,,)AG x y z = 因0AG DF ⋅=且
0AG CD ⋅=,而(0,2,1)DF =-
(2,0,0)CD =-,此即11120
20
y z x -+=⎧⎨-=⎩ 解得10x = ① ,知G 点在yoz 面上,故G
点在FD 上.
GF DF ,111(,,1)GF x y z =---+故有
1
112
y z =-+ ② 联立①,②解得, 24(0,,)55G [来源:Z#xx#]
∴||AG 为直线AB 到面EFCD 的距离. 而24
(0,,)55
AG = 所以25||5AG =
(2)因四边形ABFE 为平行四边形,则可设00(,0,1)
(0)E x x <,0(2,1)ED x =-- .
由
||7ED =得220217x ++=,解得02x =-.即(2,0,1)E -.故
(2,0,1)AE =-
由(0,2,0)AD =,(0,0,1)AF =因0AD AE ⋅=,0AD AF ⋅=,故FAE ∠为二面角
F AD E --的平面角，又(2,0,0)EF =,||2EF =,||1AF =,所以
||
tan 2||
EF FAE FA ∠=
=20. 由()ln ,()a f x x f x x =-
∞得的定义域为(0,+)，2'(),x a f x x += 当 1a =时，21
'()0(0),x f x x x
+=>>()f x 在（0,+∞）上单调递增。

（2）由已知得，x x
a
ax x g ln 5)(--=其定义域为（0,+∞），
222
55'().
a ax x a g x a x x x -+=+-=
因为()g x 在其定义域内为增函数，所以(0,),'()0,x g x ∀∈+∞≥即
22
550,.1
x
ax x a a x -+≥≥
+则 而255
5112
x
x x x
=≤
++，当且仅当x =1时，等号成立，所以52
a ≥ 21.证明 连结AC .
∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB ＝∠ACB ， ∵AB ＝AD ，
∴∠ACD ＝∠ACB ，AB ＝AD . ∴∠EAB ＝∠ACD .
又四边形ABCD 内接于⊙O ， 所以∠ABE ＝∠D . ∴△ABE ∽△CDA . ∴
AB CD ＝BE
DA
，即AB ·DA ＝BE ·CD .
∴AB 2
＝BE ·CD .
22. 解：（1）)0()(2'
>-=-=x x a x x a x x f ---------2分 若0≤a ，则0)('≥x f ，所以此时只有递增区间（),0+∞---------4分
若0>a ，当a x x f >>时，得0)(' a x x f <
<<00)('时，得当 所以此时递增区间为：（),+∞a ，递减区间为：（0，)a -------------6分
（2）
)0(22)(2'
>-+=+-=x x a x x x a x x g ，设a x x x h -+=2)(2)0(>x 若)(x g 在],1[e 上不单调，则0)()1(<e h h ，0)2)(3(2
<-+-∴a e e a
∴e e a 232+<<-------------10分
同时)(x g 仅在e x =处取得最大值，)1()(g e g >∴只要即可 得出：25222-+<e e a ----------14分 ∴a 的范围：)2
522,3(2-+e e。