高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.13.1.2 空间向量的数乘

3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( )
A ．m ，n ，p 共线
B ．m 与p 共线
C ．n 与p 共线
D ．m ，n ，p 共面
解析：由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，
即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，
又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．
答案：D
2．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →
)，则( )
A ．x ＝1，y ＝12
B ．x ＝12，y ＝1
C ．x ＝1，y ＝13
D ．x ＝1，y ＝14
解析：AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→
＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14.
答案：D
3．已知空间向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是(
) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C
C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D
解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．
答案：A
4．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→
是一对相反向量；
②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→
是一对相反向量；
③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→
是一对相反向量；
④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→
是一对相反向量．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
答案：C
5．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有OP →＝34OA →＋18OB →＋18
OC →，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面
B ．共面
C ．共线
D ．不共线
解析：∵34＋18＋18
＝1， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．
答案：B
6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →， 则λ＝________.
解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13
CA →， 又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23
. 答案：23
7.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ， CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线
AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF →＝________(用向量a ，b ，c 表示)．
解析：设G 为BC 的中点，连接EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →
＝1
2AB →＋12
CD → ＝12(a －2c )＋12
(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c .
答案：3a ＋3b －5c
8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，若AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，
DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________.
解析：∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，
∴BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋4e 2＋e 1＋2e 2＝6e 1＋6e 2.
又AB →＝e 1＋ke 2，∵A ，B ，D 三点共线，
∴存在实数u ，使AB →＝uBD →，即e 1＋ke 2＝6ue 1＋6ue 2，
∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝6u ，k ＝6u ，∴k ＝1.
答案：1
9.如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，
N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →.
解析：(1)∵P 是C 1D 1的中点，
∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12
D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12
b . (2)∵N 是BC 的中点，
∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12
BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12
c . (3)∵M 是AA 1的中点，
∴MP →＝MA →＋AP →＝12
A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 10.如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，
且BE ＝13BB 1，DF ＝23
DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；
(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．
解析：(1)证明：∵ABCD ­A 1B 1C 1D 1是平行六面体，
∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→，
∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23
AA 1→， ∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23
AA 1→ ＝⎝
⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充分必要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．
(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13
AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13
. [B 组 能力提升]
1．若a ，b 是平面α内的两个向量，则( )
A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)
B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0
C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)
D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)
解析：当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则平面α内任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定，故C 项不正确，D 项正确．
答案：D
2．已知向量c ，d 不共线，设向量a ＝kc ＋d ，b ＝c －k 2d .若a 与b 共线，
则实数k 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2 解析：∵c ，d 不共线，∴c ≠0，且d ≠0.
∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb 成立，即kc ＋d ＝λ(c －k 2d )，
整理得(k －λ)c ＋(1＋λk 2)d ＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝01＋λk 2＝0，解得k ＝λ＝－1.故选C.
答案：C
3．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.
解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →)
＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .
答案：－c －a ＋b
4．如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ， AC ，M ，N 分别
为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋
zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．
解析：由题意知OM →＝12
OA →，ON →＝ 12
(OB →＋OC →)，MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－12
OA →，又MG →＝2GN →， ∴MG →＝23MN →＝－13OA →＋13OB →＋13
OC →， 故OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－13OA →＋13OB →＋13
OC → ＝16OA →＋13OB →＋13
OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13
. 答案：16，13，13
5.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别
是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．
解析：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，
∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12
FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →
＝－12CA →＋CE →－AF →－12
FB →， ∴2MN →＝12CA →＋AF →＋12FB →－12CA →＋CE →－AF →－12
FB →＝CE →，即CE →＝2MN →. ∴CE →与MN →共线．
6.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量
A 1
B →，B 1
C →，EF →
是共面向量．
证明：法一 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12
A 1D 1→
＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12
B 1
C →－A 1B →. 由向量共面的充分必要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．
法二
连接A 1D 、BD ，
取A 1D 中点G ，
连接FG 、BG ，
则有FG 綊12DD 1，
BE 綊12DD 1，
∴FG 綊BE .
∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .
∴EF ∥平面A 1BD .
同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴A 1B →，B 1C →，EF →
都与平面A 1BD 平行， ∴A 1B →，B 1C →，EF →
共面．。