江苏省扬州市江都市2016-2017学年八年级(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省扬州市江都市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填入答题纸中表格相应的空格内）
1．传统佳节“春节”临近，剪纸民俗魅力四射，对称现象无处不在．观察下面的四幅剪纸，其中是轴对称图形的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）
A．（4，3） B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣3）
3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
4．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）
A．∠A=∠D B．AC=BD C．∠ACB=∠DBC D．AB=DC
5．下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）
A．，，B．3，4，5 C．6，7，8 D．2，3，4
6．下列数中，不是分数的是（）
A．B．3.14 C．D．
7．关于一次函数y=x﹣1，下列说法：①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；
②y随x的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限；④直线y=x﹣1可以看作由直线y=x向右平移1个单位得到．其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在七年级的学习中，我们知道了|x|=．小明同学突发奇想，画出了函数y=|x|的图象，你认为正确的是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，计30分，请把你的正确答案填入答题纸中相应的横线上）
9．64的平方根是．
10．点A（﹣1，2）到y轴的距离是．
11．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是．12．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为．
13．点（m，n）在直线y=3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是．14．如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．EF=6，BE=2，则CF=．
15．△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE=．
16．如图，函数y=﹣3x和y=kx+b的图象相交于点A（m，6），则关于x的不等式（k+3）x+b＞0的解集为．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（6，4），点P是直线y=x 上一点，若∠1=∠2，则点P的坐标是．
18．九个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这九个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的函数关系式是．
三、解答题（本大题共10题，满分96分）
19．（1）已知：（x+5）2=49，求x；
（2）计算： +|1﹣|﹣+（﹣）2．
20．已知：y与x﹣2成正比例，且x=3时，y=2．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当y＜4时，求x的取值范围．
21．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1=∠2，AE=CF，AD=CB．判断BE和DF的位置关系，并说明理由．
22．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
②将△A1B1C1向右平移6个单位得到△A2B2C2．
（2）回答下列问题：
①△A2B2C2中顶点B2坐标为．
②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①、②作图，点P对应的点P2的坐标为．
23．如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是，求点P的坐标．
24．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．
25．在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，其中乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式是y=﹣10x+25．
（1）甲蜡烛燃烧前的高度是厘米，乙蜡烛燃烧的时间是小时．
（2）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式．
（3）求出图中交点M的坐标，并说明点M的实际意义．
26．【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系．等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等．
【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“30°角所对的直角边等于斜边的一半”．并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求证：BC=AB．
证明：
【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图2①所示，方桌的主视图如图2②．经测得OA=OB=90cm，OC=OD=30cm，将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB=120°．求：桌面与地面的高度．
27．如图1，已知在长方形ABCD中，AD=8，AB=4，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）求DE的长．
（3）如图2，若点P是BD上一动点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M，问：PN+PM的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．
28．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：
（1）求：直线CD的函数关系式；
（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，
①求证：∠OEF=45°；
②求：点F的坐标；
（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．
2016-2017学年江苏省扬州市江都市八年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填入答题纸中表格相应的空格内）
1．传统佳节“春节”临近，剪纸民俗魅力四射，对称现象无处不在．观察下面的四幅剪纸，其中是轴对称图形的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
综上所述，轴对称图形有4个．
故选D．
2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）
A．（4，3） B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣3）
【考点】点的坐标．
【分析】根据象限的定义和各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：小手盖住的点的坐标在第三象限，点横坐标与纵坐标都是负数，只有（﹣4，﹣3）符合．
故选D．
3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
【分析】先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【解答】解：∵≈3.87，
∴3＜＜4，
∴对应的点是M．
故选C
4．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）
A．∠A=∠D B．AC=BD C．∠ACB=∠DBC D．AB=DC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
【解答】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
B、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项正确；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
D、添加AB=CD可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
故选：B．
5．下列各组数为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．3，4，5 C．6，7，8 D．2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】分别求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选B．
6．下列数中，不是分数的是（）
A．B．3.14 C．D．
【考点】实数．
【分析】依据实数的分类方法进行判断即可．
【解答】解：A、是无理数，不是分数，与要求相符；
B、3.14是有限小数，属于分数；与要求不符；
C、=是分数，与要求不符；
D、=是分数，与要求不符．
故选：A．
7．关于一次函数y=x﹣1，下列说法：①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；
②y随x的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限；④直线y=x﹣1可以看作由直线y=x向右平移1个单位得到．其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换．
【分析】①将x=0代入一次函数解析式中求出y值，由此可得出结论①符合题意；
②由k=1＞0结合一次函数的性质即可得出y随x的增大而增大，即结论②符合题意；③由k、b的正负结合一次函数图象与系数的关系即可得出该函数图象经过第一、三、四象限，即结论③不符合题意；④根据平移“左加右减”即可得出将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x﹣1，即结论④符合题意．综上即可得出结论．
【解答】解：①当x=0时，y=﹣1，
∴图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1），结论①符合题意；
②∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，结论②符合题意；
③∵k=1＞0，b=﹣1＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，结论③不符合题意；
④将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x﹣1，
∴结论④符合题意．
故选C．
8．在七年级的学习中，我们知道了|x|=．小明同学突发奇想，画出了函数y=|x|的图象，你认为正确的是（）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据绝对值的非负，结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵y=|x|中y非负，
∴符合函数图象的选项为B．
故选B．
二、填空题（每题3分，计30分，请把你的正确答案填入答题纸中相应的横线
上）
9．64的平方根是±8．
【考点】平方根．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
10．点A（﹣1，2）到y轴的距离是1．
【考点】点的坐标．
【分析】根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）到y轴的距离是|﹣1|=1，
故答案为：1．
11．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是17．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于3+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+3=17．
故答案为：17．
12．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为3．
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短可知PQ⊥OM时，PQ的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PQ=PA．
【解答】解：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=3．
故答案为：3．
13．点（m，n）在直线y=3x﹣2上，则代数式2n﹣6m+1的值是﹣3．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（m，n）代入函数y=3x﹣2，得到n=3m﹣2，再代入解析式即可得出结论．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y=3x﹣2的图象上，
∴n=3m﹣2，
∴2n﹣6m+1=2（3m﹣2）﹣6m+1=﹣3，
故答案为：﹣3．
14．如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．EF=6，BE=2，则CF=4．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABO=∠CBO；由平行线的性质得到∠EOB=
∠OBC，等量代换得到∠EOB=∠EBO，根据等腰三角形的判定得到BE=OE；同理可证CF=OF；于是得到结论．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO；
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE；
同理可证CF=OF；
∵EF=6，BE=2，
∴OF=EF﹣OE=EF﹣BE=4，
∴CF=OF=4，
故答案为：4．
15．△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE=67.5°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由∠A=30°，AB=AC，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC与∠C的度数，又由BC=BD=BE，根据等边对等角的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵∠A=30°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C==75°
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴∠CBD=180°﹣∠C﹣∠BDC=30°，
∴∠DBE=∠ABC﹣∠CBD=45°，
∵BE=BD，
∴∠BDE=∠BED==67.5°．
故答案为：67.5°．
16．如图，函数y=﹣3x和y=kx+b的图象相交于点A（m，6），则关于x的不等式（k+3）x+b＞0的解集为x＞﹣2．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】直接利用函数图象上点的坐标特征得出m的值，再利用函数图象得出答案．
【解答】解：∵函数y=﹣3x和y=kx+b的图象相交于点A（m，6），
∴6=﹣3m，
解得：m=﹣2，
故A点坐标为：（﹣2，6），
∵kx+b＞﹣3x时，
∴（k+3）x+b＞0，
则关于x的不等式（k+3）x+b＞0的解集为：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（6，4），点P是直线y=x 上一点，若∠1=∠2，则点P的坐标是（3，3）．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】过B作BN⊥x轴于N，过P作PM⊥x轴于M，PC⊥BN于C，设P的坐标为（a，a），求出△MPA∽△CPB，得出比例式，即可求出a．
【解答】解：
过B作BN⊥x轴于N，过P作PM⊥x轴于M，PC⊥BN于C，
则∠PCB=∠PMA=90°，∠PCN=∠CNM=∠PMN=90°，
所以四边形MNCP是矩形，
∵四边形MNCP是矩形，
∴PC=MN，PM=CN，∠CPM=90°，PC∥MN，
∵∠1=∠2，P在直线y=x上，
∴∠2+∠BPC=∠POA=45°=∠1+∠APM，
∴∠BPC=∠MPA，
设P的坐标为（a，a），
∵点A（2，0），点B（6，4），
∴PM=a，AM=a﹣2，PC=6﹣a，BC=4﹣a，
∵∠BPC=∠MPA，∠PCB=∠PMA=90°，
∴△MPA∽△CPB，
∴=，
∴=，
解得：a=3，
即P的坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）．
18．九个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这九个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的函数关系式是y=﹣x．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质．
【分析】设直线l和九个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A 作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【解答】解：设直线l和九个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B 过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这九个正方形分成面积相等的两部分，
=4.5+1=5.5，
∴S
△AOB
∴OB•AB=5.5，
∴AB=，
∴OC=，
由此可知直线l经过（﹣，3），
设直线方程为y=kx，
则3=﹣k，
k=﹣，
∴直线l解析式为y=﹣x，
故答案为y=﹣x．
三、解答题（本大题共10题，满分96分）
19．（1）已知：（x+5）2=49，求x；
（2）计算： +|1﹣|﹣+（﹣）2．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）先利用平方根的定义求得x+5的值，然后再解方程即可；
（2）先化简各二次根式，然后再去绝对值，最后在进行加减即可．
【解答】解：（1）由题意得：x+5=±7，解得：x=2 或x=﹣12；
（2）原式=6+﹣1+2+5=12+．
20．已知：y与x﹣2成正比例，且x=3时，y=2．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当y＜4时，求x的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）根据y与x﹣2成正比例可设y与x之间的函数关系式为y=k（x﹣2），将点的坐标代入一次函数关系式中求出k值，此题得解；
（2）令y＜4，由此即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=k（x﹣2），
将（3，2）代入y=k（x﹣2），
2=（3﹣2）k，解得：k=2，
∴y与x之间的函数关系式为y=2x﹣4．
（2）当y＜4时，有2x﹣4＜4，
解得：x＜4．
21．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1=∠2，AE=CF，AD=CB．判断BE和DF的位置关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】结论：BE∥DF．欲证明BE∥DF，只要证明∠AFD=∠BEC，只要证明△ADF≌△CBE即可．
【解答】解：结论：BE∥DF．
理由：∵AE=CF，
∴AE+EF=EF+CF，即AF=EC，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠BEC，
∴BE∥DF．
22．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
②将△A1B1C1向右平移6个单位得到△A2B2C2．
（2）回答下列问题：
①△A2B2C2中顶点B2坐标为（0，﹣1）．
②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①、②作图，点P对应的点
P2的坐标为（a+6，﹣b）．
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，然后再连接即可；首先确定A1、B1、C1三点向右平移6个单位的对应点位置，再连接即可；（2）①利用平面直角坐标系确定B2坐标即可；
②根据平移的方向和距离确定点P2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：
△A1B1C1即为所求，
△A2B2C2即为所求；
（2）①B2坐标为（0，﹣1）；
②P2的坐标为（a+6，﹣b），
故答案为：（0，﹣1）；（a+6，﹣b）．
23．如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是，求点P的坐标．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）把x=0，y=0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点OA、OB的值，然后根据三角形面积公式求得即可；
（2）由B、A的坐标易求：OB=3，OA=．然后由三角形面积公式得到S
△
=AP•OB=，则AP=3，由此可以求得m的值
ABP
【解答】解：（1）由x=0得：y=3，即：B（0，3）．
由y=0得：2x+3=0，解得：x=﹣，即：A（﹣，0），
∴OA=，OB=3，
∴△AOB的面积：×3×=；
（2）由B（0，3）、A（﹣，0）得：OB=3，OA=，
=AP•OB=，
∵S
△ABP
∴AP=，
解得：AP=3．
∴P点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．
24．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE=AE=AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC
（2）设∠B=x°，由（1）可知∠BAE=∠B=x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）连接AE，
∵EF垂直平分AB
∴AE=BE
∵BE=AC
∴AE=AC
∵D是EC的中点
∴AD⊥BC
（2）设∠B=x°
∵AE=BE
∴∠BAE=∠B=x°
∴由三角形的外角的性质，∠AEC=2x°
∵AE=AC
∴∠C=∠AEC=2x°
在三角形ABC中，3x°+75°=180°
x°=35°
∴∠B=35°
25．在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，其中乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式是y=﹣10x+25．
（1）甲蜡烛燃烧前的高度是30厘米，乙蜡烛燃烧的时间是25小时．（2）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式．
（3）求出图中交点M的坐标，并说明点M的实际意义．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由图象可知：甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是30cm、25cm，从点燃到燃尽所用的时间分别是2h、2.5h；
（2）根据直线经过点的坐标列方程组解答即可；
（3）两直线的交点就是高度相同的时刻．
【解答】解：（1）根据图象可得甲的长度是30cm．
y=﹣10x+25中令x=0，则y=25．
故答案是：30，25；
（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），
∴，
解得
∴y=﹣15x+30
（3）由题意得﹣15x+30=﹣10x+25，解得x=1
则M的坐标是：（1，15）．
表示燃烧1小时时，甲、乙两根蜡烛的剩余高度相等，都是15厘米．
26．【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系．等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等．
【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“30°角所对的直角边等于斜边的一半”．并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求证：BC=AB．
证明：
【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图2①所示，方桌的主视图如图2②．经测得OA=OB=90cm，OC=OD=30cm，将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB=120°．求：桌面与地面的高度．
【考点】含30度角的直角三角形；简单组合体的三视图．
【分析】【探究发现】取AB的中点D，连接CD．根据直角三角形的性质得到CD=DB=AB，推出△DBC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；【灵活运用】：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于点F根据等腰三角形的性质得到∠A=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：【探究发现】
如图1，取AB的中点D，连接CD．
∵在Rt△ABC中，点D是AB的中点，
∴CD=DB=AB，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴BC=CD=DB，
∴BC=AB；
【灵活运用】：如图②，过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于点F
∵OA=OB，∠AOB=120°
∴∠A=30°，
在Rt△AOE中，OA=90，∠A=30°
∴OE=45，
同理：OF=15，
所以，桌面与地面的高度是60cm．
27．如图1，已知在长方形ABCD中，AD=8，AB=4，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）求DE的长．
（3）如图2，若点P是BD上一动点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M，问：PN+PM的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由折叠和平行线性质可得：∠3=∠2，根据等角对等边得BE=DE，所以△BDE是等腰三角形；
（2）设DE=x，则AE=8﹣x，BE=x，根据勾股定理列方程可求得AE的长；（3）先判断出PH⊥BC，再用角平分线定理得出PN=PH，即可得出结论．
【解答】解：（1）由翻折知，∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BE=DE，
即△BED是等腰三角形；
（2）设DE=x，则AE=8﹣x，BE=x，
在Rt△ABE中，x2=（8﹣x）2+42，
解之，x=5，
∴DE=5；
（3）PM+PN为定值，是4，
如图，
延长MP，交BC于点H，
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PH⊥BC，
∵∠1=∠2，PN⊥BE，PH⊥BC，
∴PN=PH，
∴PM+PN=MN=AB=4．
28．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：
（1）求：直线CD的函数关系式；
（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，
①求证：∠OEF=45°；
②求：点F的坐标；
（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）由旋转的性质得出结论，进而判断出△AOB≌△COD得出CO=OA=3，OD=OB=4，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论；
（2）①由（1）结论和同角的余角相等判断出，△BOE≌△DOF，即可得出△EOF 是等腰直角三角形，即可得出结论；
②先确定出点E的坐标，再借助①的结论判断出△OHE≌△OGF，即可得出OG=OH，FG=EH即可得出F的坐标；
（3）分三种情况利用全等三角形的性质和锐角三角函数即可确定出点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴CO=OA=3，OD=OB=4，
∴C（0，3），D（﹣4，0），
设直线CD 的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线CD 的解析式为y=x+3；
（2）①由（1）知，△AOB≌△COD，
∴OB=OD，∠ABO=∠CDO，
∵OF⊥OE，∠COF+∠COE=90°，
∵∠COE+∠DOF=90°，
∴∠BOE=∠DOF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=45°；
②）如图2，∵直线AB的解析式为y=﹣x+4①，
由（1）知，直线CD 的解析式为y=x+3②；
联立①②得，E（，），
过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，
由①知，△BOE≌△DOF，
∴∠BOE=∠DOF，OE=OF
在△OHE和△OGF中，，
∴△OHE≌△OGF，
∴OG=OH=，FG=EH=
∴F（﹣，），
（3）如图1，
①∠DP'Q'=90°，
∵△P'Q'D≌△OCD，
∴DP'=OD=4，
∵∠CDO=∠P'DQ'，
∴cos∠P'DQ'=，sin∠P'DQ'=，
作P'H⊥x轴，则DH=DP'•cos∠PDQ=，P'H=DP'•cos∠PDQ=，∴OH=OD+DH=
∴点P'坐标（﹣，﹣）；
②∠DQP=90°，
∵△PQD≌△COD，（SAS）
∴DQ=OD=4，PQ=3，
∴点P坐标（﹣8，﹣3）；
③∠DP''Q''=90°，
∵△P''Q''D≌△OCD，（SAS）
∴DP''=OD=4，P''Q''=OC=3，
∴P''G=DP''•sin∠CDO=，DG=DP''•cos∠CDO=，
∴OG=，
∴点P坐标（﹣，）；
即：△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）；
2017年4月16日
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