精选中考数学易错题专题复习锐角三角函数及答案解析

精选中考数学易错题专题复习锐角三角函数及答案解析
一、锐角三角函数
1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；
（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；
（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】
（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC V 中，sin AC B AB =
，所以3sin 3725155
AC AB ︒
=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.
（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4
sin 15125
CM AC CAM =⋅∠=⨯
=，3
cos 1595
AM AC CAM =⋅∠=⨯=.
在Rt ADM △中，tan MD
DAM AM
∠=，
所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =
+=+==-=，.
设缉私艇的速度为v海里/小时，则有24917
16
=，解得617
v=.
经检验，617
v=是原方程的解.
答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．
（1）求证：△MED∽△BCA；
（2）求证：△AMD≌△CMD；
（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17
5
S1时，求cos∠ABC的
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos ∠ABC=57
. 【解析】 【分析】
（1）易证∠DME=∠CBA ，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED ∽△BCA ； （2）由∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，可知MB=MC=AM ，从而可证明∠AMD=∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ； （3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以
2
114
ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25
S 1，由于1EBD S ME S EB =V ，从而可知
52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=7
2，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】
（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；
（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，
∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，
MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ，
∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，
由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴
2
114
ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ， ∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =
1
2
S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2
5
S 1， ∵
1EBD
S ME
S EB
=
V ， ∴1125
S ME
EB S =
，
∴
5
2
ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，
∵
1
2MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，
∴cos ∠ABC=105
147
BC x AB x ==. 【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：
如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：
把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．
(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由； (3)记
AC
BC
＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为3
时，CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有
EM FP
MC PB
=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．
（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC
BC
=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴
EM FP
MC PB
=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
（2）PC=PE 成立，理由如下：
如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，
∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴
DM FP
MC PB
=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；
（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵
AC k BC =，AC
BC
=tan30°， ∴k=tan30°=3
∴当k 3
△CPE 总是等边三角形．
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝2CD•OE；
（3）若
314
cos,
53
BAD BE
∠==，求OE的长．
【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35
6
．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；
（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：
连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC2=AC•C D．
∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，
∴sin∠BAC=，
又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，
∴AC=．
又∵AC=2OE，
∴OE=AC=．
考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数
6．如图，已知，在O e 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且»»AC BD
=. （1）求证：AB CD =；
（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；
（3）如图，在（2）的条件下，点P 在»CG
上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O e 的半径的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O e 10. 【解析】 【分析】
(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；
（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明
AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；
（3）如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使
HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，求出22FL =HM n =，则有22LK KG ==
，2
222
FK FL LK n =+=，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，
KG HF
FK HM
=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 10． 【详解】
解：（1）证明：∵»»AC BD =，∴»»»»AC CB
BD CB +=+， ∴»»AB CD =，
∴AB CD =.
（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，
∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122
AJ AB CD DQ =
==， 又∵AO DO =，
∴AOJ DOQ ∆≅∆，
∴OJ OQ =，
又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥，
∴EO 平分AED ∠.
（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，
由（2）知，1452
AEF AED ∠=
∠=︒， 如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，
∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122
MFG S MG FH ∆=
⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =， 在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，
∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒，
∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，
∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =，
在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+
，FL =
设HM n =，2HL MG ==，
∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==，
在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+
，2
LK KG ==
，FK FL LK =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1452
AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒，
∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠，
∴tan tan KFG HMF ∠=∠， ∴KG HF FK HM =，
∴2n
=，4n =， ∴6HG HM MG =+=，
在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+
，FG =
FO =
即O e
【点睛】
考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P ′，当点P ′在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”．已知A (1，0)，B (0，2)，C (3，3)
(1)当⊙O 的半径为1时，
①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是 ；
②已知点M 在直线y
+2 上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；
(2)已知点D
0)，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，求圆心T 的横坐标t 的取值范围．
【答案】(1)①B；②0≤m≤3；(2)﹣4+33≤t＜33．
【解析】
【分析】
(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；
②设M(m，﹣3
m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝
2
2
3
22
2
m m
⎛⎫
+-+≤
⎪
⎪
⎝⎭
，由此
求解即可；
(2)B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点
H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝3
HT，直线BD：y＝﹣
3
x+2，可知H(t，﹣
3
t+2)，继而可得NT＝﹣1
2
t+
33
，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.
【详解】
(1)①∵r＝1，
∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，
∴点B是⊙O“友好点”，
∵OC＝22
33
+=32>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，
故答案为B；
②如图，
设M (m ，﹣33m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝22322
2m m ⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭
， 整理，得2m 2﹣23m ≤0，
解得0≤m ≤3；
∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；
(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，
∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．
∵tan ∠BDO ＝323OB OD == ∴∠BDO=30°，
∴∠OBD ＝60°，
∴∠THN=∠OBD=60°，
∴NT ＝HT•sin ∠THN=32
HT ， ∵B (0，2)，D 30)，
∴直线BD ：y 3+2， ∵H 点BD 上，
∵H (t ，﹣
33t +2)， ∴HT 3+2﹣(﹣1)3+3，
∴NT＝3
2HT＝
3
2
(﹣
3
3
t+3)＝﹣
1
2
t+
33
2
，
∴﹣1
2t+
33
≤2，
∴t≥﹣4+33，
当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33，
此时点N不是“友好点”，
∴t＜33，
故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33．
【点睛】
本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．
8．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE ＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）
【答案】该停车库限高约为2.2米．
【解析】
【分析】
据题意得出
3
tan B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可
得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】
解：由题意得，
3 tan
3
B=
∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，
∴tan A＝3
3
，
∵DE⊥AD，
∴在Rt△ADE中，tan A＝DE
AD
，
∵DE＝3，
又∵DC＝0.5，
∴CE＝2.5，
∵CF⊥AB，
∴∠FCE+∠CEF＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠CEF＝90°，
∴∠A＝∠FCE，
∴tan∠FCE＝3
3
．
在Rt△CEF中，设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，
代入得（5
2
）2＝x2+3x2，
解得x＝1.25，
∴CF＝3x≈2.2，
∴该停车库限高约为2.2米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．
9．如图，直线y＝1
2
x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣
1
2
x2+bx+c经过
A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足1
2
x+2≥﹣
1
2
x2+bx+c的x的取值范围；
（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．
【答案】（1）213222y x x =-
-+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．
【解析】
【分析】
（1）由直线y ＝
12
x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；
（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，
DE CO AE BO =,最后分类讨论确定点D 的坐标． 【详解】
解：（1）由y ＝12
x +2可得： 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝﹣4，
∴A （﹣4，0），B （0，2），
把A 、B 的坐标代入y ＝﹣12x 2+bx +c 得： 322
b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，， ∴抛物线的解析式为：213222
y x x =-
-+ （2）当x ≥0或x ≤﹣4时，12x +2≥﹣12x 2+bx +c （3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ， 由213222
y x x =
-+令y ＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，
∴CO ＝1，AO ＝4，
设点D 的坐标为（m ，213222
m m --+）， ∵∠DAC ＝∠CBO ，
∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，
∴在Rt △ADE 和Rt △BOC 中有DE CO AE BO =， 当D 在x 轴上方时，213212242
--+=+m m m 解得：m 1＝0，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴点D 的坐标为（0，2）．
当D 在x 轴下方时，2
13(2)12242
---+=+m m m 解得：m 1＝2，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴点D 的坐标为（2，﹣3），
故满足条件的D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．
10．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边
BC 的延长线上，且
CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .
（1）求证：DE DF ⊥；
（2）求证：DH DF =：
（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.
（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于
45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.
（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得
BD ==.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得
HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以sin 45HN BH ===︒.
由cos 45DF EF ===︒
，得22EF AB HM =-. 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.
∴90EAD FCD ∠=∠=︒.
∵CF AE =。

∴AED CFD △△≌.
∴ADE CDF ∠=∠.
∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.
∴DE DF ⊥.
（2）证明：∵AED CFD △△≌，
∴DE DF =.
∵90EDF ∠=︒，
∴45DEF DFE ∠=∠=︒.
∵90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，
∴45DBF ∠=︒.
∵FH 平分EFB ∠，
∴EFH BFH ∠=∠.
∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,
45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠,
∴DHF DFH ∠=∠.
∴DH DF =.
（3）22EF AB HM =-.
证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，
∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒， ∴222BD AB AD AB =+=.
∵FH 平分,
EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，
∴HM HN =. ∵4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，
， ∴22sin 45HN BH HN HM ===︒
. ∴22DH BD BH AB HM =-=
-. ∵22cos 45DF EF DF DH ===︒
， ∴22EF AB HM =-.
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
11．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A 点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ．
(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值；
(2)求△CDE 的面积．
【答案】（1）2，sin ∠BEC=
35；（2）754
【解析】
【分析】 （1）如图，作CF ⊥BE 于F 点，由函数解析式可得点B ，点A 坐标，继而可得
∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，
CF=BF=32，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；
（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得
S△CDE=S△AED=
2
4
AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求
出y，继而可求得答案.
【详解】
（1）如图，作CF⊥BE于F点，
由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，
又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=32，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，
在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，
解得：x=52，
故可得sin∠BEC=
3
5
CF
CE
，AE=52；
（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，
则S△CDE=S△AED=1
2
AD•EM=
1
2
AD×AEsin∠EAM=
1
2
2
AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，
解得：y=15
2
，即AD=
15
2
，
故S△CDE=S△AED=
2
4
AD×AE=
75
4
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
12．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12．
(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)
(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽
略不计，参考数据：tan53°≈4
3
，tan63.4°≈2)
【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】
分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.
详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，
∵斜坡的坡度i＝5:12，
设PF＝5x，CF＝12x，
∵四边形BFPE为矩形，
∴BF＝PEPF＝BE.
在RT△ABC中，BC＝90，
tan∠ACB＝AB BC
，
∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，
∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.
在RT△AEP中，
tan∠APE＝
18054
90123 AE x
EP x
-
≈
＝
＋
，
∴x＝20
，
7
∴PF＝5x＝10014.3
≈.
7
答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.
由(1)得CP＝13x，
∴CP＝13×20
≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.
7
答：从P到点B的路程约为127.1米.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.
13．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）
【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用
BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD=
tan AD ACD
∠ =
tan30
x
= 3x
在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，
∴325+x=3x•tan68°
解得：x≈100米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
视频
14．如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD 相交于点E（点E与点C、D不重合），设OM＝m．
（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；
（2）令弦CD所对的圆心角为α，且sin
4 =
25α
．
①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90°时，求DE的长．
【答案】（1）DE＝10010m
m
-
；（2）①S＝
2
360300
m m
m
-+
，（
50
13
＜m＜10），
②DE＝5 2 .
【解析】【分析】
（1）由CD ∥AB 知△DEM ∽△OBM ，可得DE DM OB OM =，据此可得； （2）①连接OC 、作OP ⊥CD 、MQ ⊥CD ，由OC ＝OD 、OP ⊥CD 知∠DOP ＝
12∠COD ，据此可得sin ∠DOP ＝sin ∠DMQ ＝
45、sin ∠ODP ＝35，继而由OM ＝m 、OD ＝10得QM ＝DM sin ∠ODP ＝35
（10﹣m ），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD ＝8、CD ＝16，证△CDM ∽△BOM 得CD DM BO OM =，求得OM ＝5013
，据此可得m 的取值范围； ②如图3，由BM ＝OB sin ∠BOM ＝10×
35＝6，可得OM ＝8，根据（1）所求结果可得答案．
【详解】
（1）∵CD ∥AB ，
∴△DEM ∽△OBM ，
∴DE DM OB OM =，即1010DE m m
-=， ∴DE ＝
10010m m -； （2）①如图1，连接OC 、作OP ⊥CD 于点P ，作MQ ⊥CD 于点Q ，
∵OC ＝OD 、OP ⊥CD ，
∴∠DOP ＝
12∠COD ， ∵sin 2α
＝45
， ∴sin ∠DOP ＝sin ∠DMQ ＝
45，sin ∠ODP ＝35， ∵OM ＝m 、OD ＝10，
∴DM ＝10﹣m ，
∴QM ＝DM sin ∠ODP ＝35
（10﹣m ），
则S △DEM ＝12DE •MQ ＝12×10010m m -×35（10﹣m ）＝2360300m m m
-+， 如图2，
∵PD ＝OD sin ∠DOP ＝10×
45＝8， ∴CD ＝16，
∵CD ∥AB ，
∴△CDM ∽△BOM ，
∴CD DM BO OM =，即1610=10OM OM
-， 解得：OM ＝
5013， ∴5013
＜m ＜10， ∴S ＝2360300m m m
-+，（5013＜m ＜10）． ②当∠OMF ＝90°时，如图3，
则∠BMO ＝90°，
在Rt △BOM 中，BM ＝OB sin ∠BOM ＝10×
35＝6， 则OM ＝8，
由（1）得DE ＝
100108582
-⨯=． 【点睛】
本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性
质及解直角三角形的能力．
15．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．
【答案】1．5米．
【解析】
试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出
在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3
米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．
试题解析：延长OA交BC于点D.
∵AO的倾斜角是，
∴
∵
在Rt△ACD中, (米)，
∴CD=2AD=3米，
又
∴△BOD是等边三角形，
∴(米)，
∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。