全国2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程练习新人教B版

2.3.2 圆的一般方程
1曲线x2+y2+2x-2y=0关于()
A.直线x=2对称
B.直线y=-x对称
C.点(-2,2)中心对称
D.点(-2,0)中心对称
(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.
2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()
A.-1
B.2
C.-1或2
D.1
可得a=-1或a=2(舍).
3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()
A.y=x
B.y=-x
C.y=x
D.y=-x
y=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.
4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=1
D.(x+2)2+(y-1)2=1
(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则
代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()
A.36
B.18
C.6
D.5
2+y2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式
得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.
6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()
A.共线
B.不共面
C.共圆
D.不共圆
A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得
所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.
7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为()
A.3-
B.4-
C.
D.3+
ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为
,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为
×|AB|×=3+.
8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.
AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.
4=0
9圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.
(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积
S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.
π
10判断下列方程表示什么图形.
(1)x2+y2=0;
(2)x2+y2-2x-2y-3=0;
(3)x2+y2+2ax+2by=0.
因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.
即方程表示一个点(0,0).
(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,
即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.
(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,
当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);
当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.
11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.
C的坐标为(1,-1),半径为4,
因为直线l被圆C所截得的弦长为4,
所以圆心C到直线l的距离为2.
(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.
(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),
即kx-y+k+1=0,
因为圆心C到直线l的距离为2,
所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,
所以k=0,所以直线l的方程为y=1.
综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.
★12
某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.
,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.
AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),
设圆拱所在的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵点A,B,P在所求的圆上,
则代入坐标得
解得
∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.
将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,
解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.答:支柱A2P2的长为(4-6) m.。