分式递推式的解法

看来，怎样确定这两个数是解这类问题的关键．设其为k，那么
．
根据前面说过的要求，应该有，(3)
即k2－6k＋5＝0
解之，得k1＝5，k2＝1．
值得注意的是：(3)式还可以变形为
k2－2k＝4k－5，
k2－4k＝2k－5，
．(4)
这个(4)式与(1)式中的递推式是十分想象的．(4)式的根当然也是k1＝5，k2＝1．由此可以得到关于
(其中p，q，r，s均为常数，且r≠0，ps－qr≠0)型递推式的一般解法．
若数列{an}由以下递推式确定：
(5)
(其中p，q，r，s均为常数，且r≠0，ps－qr≠0)，并且方程
(6)
有相异两根α，β，可令，则数列{bn}是一个等比数列，从{bn}的通项bn可求出{an}的通项an．
这个结论可证明如下：
bn＝(－3)·(－3)n－1＝(－3)n．
从而有，即．
看了这个例题的解答，读者定会感到诧异．在解题的过程中，为什么要研究an＋1－5和an＋1－1呢？其中的5和1又是怎样确定的呢？
从解题过程中知道，这两个数(5和1)有相同的特性，即an＋1－5可以变形为一个分式，其分母为原递推式的分母，分子为an－5的若干倍；an＋1－1也可以转化为一个分式，分母也是原递推式的分母，分子是an－1的若干倍．然后求an＋1－5与an＋1－1的比，原分母an－4被约去，得到一个左右端形式上一致的等式(2)．然后通过变量替换就可以解出本题．
(7)式除以(8)式，得
．
令，
可得
数列{bn}是一个等比数列，其通项公式不难求得，从而数列{an}的通项公式也可求出．
例2求用下列式子给定的数列的通项公式：
解 将递推式中的an，an－1改为k，得
即k2＋k－2＝0，解得k1＝1，k2＝－2．
∵，
，
∴．Leabharlann 令，可得，，∴．从而有，
分式递推式的解法
由于分式形式的递推式比较复杂，所以这里我们先看些例子，然后再引出一般结论．
例1．数列{an}用下式确定：(1)
(1)若设，试写出数列{bn}的初始值及递推式；
(2)求数列的通项公式．
解(1)因，
，
故有(2)
即bn＋1＝－3bn，b1＝－3．
(2)因为数列{bn}是首项为－3，公比为－3的等比数列，故
因为
，
又因α是方程(6)的解，所以有rα2－(p－s)α－q＝0，
q－sα＝rα2－pα＝－α(p－rα)，
代入止式，得
(7)
同样地，有(8)
其中，p－rα≠0，p－rβ≠0．事实上，若p－rα＝0，则因为r≠0，所以，代入(6)式，得
，
即ps－qr＝0，与题设矛盾，所以p－rα≠0．同理，p－rβ≠0．