1.5 全称量词与存在量词 学案(1)

第一章集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词；
2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；
3.会写全称量词命题和存在量词命题的否定；
4.使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．
1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；
2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。

一、全称量词命题、存在量词命题的基本概念
1．全称量词、全称量词命题的概念
（1）全称量词及表示:
定义：短语“”、、、、在逻辑中通常叫全称量词。

表示：用符号表示。

（2）全称量词命题及表示:
定义：含有的命题，叫全称量词命题。

表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:。

读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。

2.存在量词、存在量词命题的定义
（1）存在量词及表示:
定义：短语、、、、在逻辑中通常叫做存在量词。

表示：用符号表示。

（2）存在量词命题及表示：
定义：含有的命题,叫做存在量词命题.
表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为.
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
3、命题的否定
全称量词命题的否定是命题，存在量词命题的否定是命题。

探究一、全称量词命题的含义
1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3
(2)2x+1是整数
(3)对所有的x∈R,x>3
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数
2、归纳新知
（1）全称量词及表示:
定义：短语“”、、、、在逻辑中通常叫全称量词。

表示：用符号表示。

（2）全称量词命题及表示:
定义：含有的命题，叫全称量词命题。

表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:。

读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。

练习：用量词“∀”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸多边形的外角和等于2π；
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。

例1.判断下列全称量词命题的真假
(1) 所有的素数都是奇数;
∀∈, |x|+1≥1
(2) x R
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
4、思考：如何判断全称量词命题的真假？
探究二存在量词命题的含义
1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
2.存在量词、存在量词命题的定义
（1）存在量词及表示:
定义：短语、、、、在逻辑中通常叫做存在量词。

表示：用符号表示。

（2）存在量词命题及表示：
定义：含有的命题,叫做存在量词命题.
表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为.
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
3.练习：下列命题是不是存在量词命题？
（1）有的平行四边形是菱形;
（2）有一个素数不是奇数
4.练习：设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)”
例2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。

(1) 有一个实数a，a不能取倒数；
(2) 所有不等式的解集A,都是A ⊆R ；
(3) 有的四边形不是平行四边形。

例3 判断下列存在量词命题的真假
(1)有一个实数x,使x 2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
5.思考：如何判断存在量词命题的真假
探究三 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

牛刀小试：说出下列命题的否定。

（1） 56是7的倍数；
（2） 空集是集合A={1,2,3}的真子集；
2.思考：
1)写出下列命题的否定
所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数； 3),0x R x+|x|∀∈≥。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
例4 写出下列全称量词命题的否定：
(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 ∈2(3）p:对任意x Z ，x 的个位数字不等于3。

3.思考：(1)写出下列命题的否定
存在一个实数的绝对值是正数；
（2）某些平行四边形是菱形；
2(3),230x R x x ∃∈-+=。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
0x ∃∈≤例5 写出下列存在量词命题的否定：
(1）p:R,x+2；
2）p:有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数.
例6 写出下列命题的否定，并判断真假；
（1）任意两个等边三角形都相似；
22,10x R x x ∃∈-+=（）
1．下列说法中，正确的个数是( )
①存在一个实数x 0，使－2x 20＋x 0－4＝0；
②所有的素数都是奇数；
③至少存在一个正整数，能被5和7整除．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则命题p 的否定为(
)
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
这节课你的收获是什么？
参考答案：
探究一 1.（1）不是(2)不是(3) 是（4）是
关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.
3.练习（1）,
∀∈x能写成小数形式;
x R
（2）∀x∈ {x|x是凸n边形},x的外角和等于2π;
(3),
∀∈x·(-1)= -x.
x R
例1 （1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题;
∀∈,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;
(2)∵x R
=是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;
（3是无理数,2
4.若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。

探究二 1. (1)不是（2）不是（3）是（4）是
关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
3.都是存在量词命题。

4.存在实数x,使x 2=x 成立；
至少有一个x ∈R,使x 2=x 成立；
对有些实数x,使x 2=x 成立；
有一个x ∈R,使x 2=x 成立；
对某个x ∈R,使x 2=x 成立。

例2 （1）存在量词命题 （2）全称量词命题 （3）存在量词命题
例3 (1)由于 2
24380∆=-⨯=-<， ,
因此使x 2+2x+3=0的实数x 不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。

5.要判断存在量词命题“∃x ∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x0，使p(x 0)成立即可.如果在集合M 中,使p(x)成立的元素x 不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
探究三 牛刀小试 （1）否定： 56不是7的倍数；（2）否定： 空集不是集合A={1,2,3}的真子集。

2.(1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数表示奇数； (3),0x R |x|+x ∃∈<。

从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题
例4.（1）否定： 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
（2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；
（3）否定：2
00,x Z x ∃∈的个位数字等于3.
3.否定:
（1）所有实数的绝对值都不是正数;
（2）每一个平行四边形都不是菱形;
（3）2,230x R x x ∀∈+≠-
从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
例 5(1):R 20.x x ∀∈+>该命题否定，
（2） 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形
（3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数
例6 （1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。

因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都
相似。

因此这是一个假命题。

（2）该命题的否定：2
,10.x R x x ∀∈-+≠ 2213,1()024
x R x x x ∈-+=-+>因为对任意. 所以这是一个假命题。

达标检测 1.【解析】 ①方程－2x 2＋x －4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．故选B.
【答案】 B
2.【解析】 因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，¬p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.
【答案】 C
3.(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称量词命题，否定为：∃x 0∈Z ，x 20与3的和等于0.
(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．。