2010年湖北卷(理科数学)

2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（湖北卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数
1z
i
+的点是 A ．E B ．F C ．G D ．H
2.设集合22
{(,)|1}416
x y A x y =+
=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3.在ABC ∆中，15a =，10b =，60A ∠=，则cos B = A.223-
B.22366
- 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A.512 B.12 C.712 D.34 5已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC +=
mAM 成立，则m =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 6将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，
，600.采用系统抽样疗法
抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为
A ．26，16，8
B ．25，17，8
C ．25，16，9
D ．24，17，9
x y o F
E G H
1
1
7如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设n S 为前n 个圆的面积之和，则
lim n x S →∞
=
A ．22r π B.28
3
r π C.24r π D.26r π
8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是
A ．152
B ．126
C ．90
D ．54 9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 A.[1,122]-+ B.[122,122]-+ C.[122,3]- D.[12,3]- 10．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为 {}12min ,,n x x x …,.已知ABC ∆的三边长为a ，b ，c （a b c ≤≤）
，定义它的倾斜度为max{,,}min{,,}a b c a b c
l b c a b c a
=⋅则“1l =”是“ABC ∆为等边三角形”
A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在204(3)x +展开式中，系数为有理数的项共有 项.
12己知2z x y =-，式中变量,x y 满足约束条件12y x
x y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则z 的最大值为 .
13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．
O
r
14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7
8 9 10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为 ． 15．设0a >，0b >,称
2ab
a b
+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段
OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段 的长度是a ，b 的几何平均数，线段 的长度是a ，b 的调和平均数．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数()cos()cos()33f x x x ππ=+-，11()sin 224
g x x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合． 17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万
A
B
D
O
E
元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）
满足关系：()35k
C x x =+（010x ≤≤），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万
元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 18.(本小题满分12分)
如图，在四面体ABOC 中，OC OA ⊥，OC OB ⊥，120AOB ∠=，且OA OB =
1OC ==.
（Ⅰ）设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使PQ OA ⊥,并计算AB
AQ
的值；
（Ⅱ）求二面角O AC B --的平面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差是1.
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(,0)M m 且与曲线C 有连个交点A ,B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 20.(本小题满分13分)
已知数列{}n a 满足：112a =，()()11
312111n n n n a a a a ++++=--, 10n n a a +⋅<（1n ≥）；数列{}n b 满足：221n n n b a a +=-（1n ≥）.
A
O
B
C
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.
21.(本小题满分14分)
已知函数()b
f x ax c x =++（0a >）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-y.
（Ⅰ）用a 表示出b ,c ；
（Ⅱ）若()ln f x x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）证明：1+11
11ln(1)23
2(1)
n n n n +++
+
>+++（1n ≥）.。