数学实验之铅球投掷

一、问题：
铅球掷远比赛的场地是直径2.135m的圆，要求运动员从场地中将7.257kg（男子）重的铅球投掷在45°的扇形区域内，如下图所示。

观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度变化比较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，试建立模型讨论以下问题：
（1）以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型；
（2）给定出手高度为1.8m，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度，比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性；
（3）是否存在最佳出手角度？
二、问题引入的背景：
铅球比赛是奥运会中一项重要的比赛项目，在铅球比赛中，运动员在投掷圈中站立开始投掷。

投掷圈外围是金属镶边，有6毫米厚，顶端涂白。

投掷时，运动员不能接触铁边的顶端或者投掷圈以外的地面，铅球的投掷圈直径2.135米。

圈内地面由水泥或者有相似的硬度又能防滑的物质构成，它的高度略低于地面高度。

铅球投掷圈的正前方放着一个木质的抵趾板，用来防止运动员滑出圈外。

运动员可以碰抵趾板的内侧，但不能碰抵趾板的顶部。

运动员进入圈内开始投掷后，如果运动员身体的任何部位触及圈外地面，或触及铁圈和抵趾板上面，或以不符合规定的方式将铅球推出，均判为一次试掷失败。

铅球必须完全落在落地区角度线内沿以内，试掷方为有效。

每次有效试掷后，应立即测量成绩。

从铅球落地痕迹的最近点取直线量至投掷圈内沿，测量线应通过投掷圈圆心。

运动员在器械落地后方可离开投掷圈。

离开投掷圈时首先触及的铁圈上沿或圈外地面必须完全在圈外白线的后面，白线后沿的延长线应能通过投掷圈圆心。

铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45°的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

为此建立数学模型进行求解，以得到获得最佳成绩的方案。

三、模型的假设及符号约定：
1、在铅球运动中，忽略空气阻力对铅球运动的影响。

2、铅球在运动过程中做抛体运动，竖直方向上做自由落体运动，
水平方向上做匀速直线运动，而没有其他形式的运动存在。

3、铅球落地后忽略其向前滚动的距离。

4、本题中所有的重力加速度
2
9.8/
g m s 。

5、该模型的建立过程中用..
x，
..
y表示二阶导数，用.x
，
.
y表示一
阶导数。

四、模型的建立：
设铅球初速度为v，出手高度为h，出手角度为a (与地面夹角)，投掷距离为R 。

确立R与v，h，a 的关系式。

并在v，h 一定的条件下求该运动员的最佳出手角度和最佳成绩。

当铅球落在问题中所要求的45°的情况下，建立二维直角坐标方程。

（1）、在下图坐标系下，铅球运动方程为
分别解上面的两个微分方程得
又令y(t)=0，可得
代入 x ( t ) 可以求得铅球的投掷距离为
这个关系式还可以表示为
由此计算 ，得最佳出手角度为
⎩⎨⎧===.cos )0(,0)0(;0a v x x x
⎩⎨⎧==-=.sin )0(,)0(;a v y
h y g y ;)cos ()(t a v t x =.2
1)sin ()(2h gt t a v t y +-=(),2sin sin 122gh a v a v g t ++=*
,cos 2sin cos sin )(212222a v g h a g v a a g v t x R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==*.)tan (cos 2222a R h a v g R +=0=*
a da dR
和最佳成绩为
（2）、模型已经建好，对确定的出手高度 1.8m ，给定不同的出手速度会有不同的出手角度及不同的成绩：
当v=5m/s 时，a 32.7814=。

，
R 3.9612m =,度数不符合题意，可见假定的出手速度太小，应再大些。

当v=7m/s 时，a 37.3253=。

，
R 6.5574m =,出手速度还是太小。

当v=8m/s 时，a 38.7608=。

，R 8.1338m =；
当v=9m/s 时， a 39.8491=。

，
R 9.9030m,= 当v=10m/s 时，a = 40.6880。

，R =11.8684m ；
当v=11m/s 时，
a =41.3450,。

R =14.0320m ； 当v=12m/s 时，a = 41.8674。

，R =16.3954m ；
当v=13m/s 时， a =42.2883。

，R = 18.9596m ；
当v=14m/s 时，a =42.6319。

，R =21.7256m ；
………………………
当v=20m/s 时，a =43.7896。

，R = 42.5783m ；
;)
(2sin 21gh v v a +=-*.22gh v g v R +=*
当v=21m/s时，a =43.8979。

，R =46.7654m；…………………………
R =93.6194m；
当v=30m/s时，a = 44.4493。

，
…………………
由于人本身力量的限制不会有太大的出手速度。

而由以上的的速度、角度和距离的对应关系可以看出，掷远结果对出手速度的灵敏性要高于对出手角度的灵敏性。

（3）、由（2）问可知在速度和掷远结果变大时，出手角度逐渐趋近于45°，如果存在最佳出手角度，则45°为最佳出手角度。

五、附录：
在第二问的求解过程建立solve1.m文件并保存，其内容如下：function [a,R]=solve1(v,h)
b=2*v^2+2*9.8*h;
c=sqrt(b);
d=asin(v/c);
a=d*180/pi;
R=(v/9.8)*(sqrt(v^2+2*9.8*h));
end
在求解过程中输入不同的出手速度和出手高度就会有不同的出手角度和掷远结果：
>> [a,R]=solve1(5,1.8)
a =32.7814
R =3.9612
>> [a,R]=solve1(7,1.8) a =37.3253
R =6.5574
>> [a,R]=solve1(8,1.8) a =38.7608
R =8.1338
>> [a,R]=solve1(9,1.8) a =39.8491
R =9.9030
>> [a,R]=solve1(10,1.8) a =40.6880
R =11.8684
>> [a,R]=solve1(11,1.8) a =41.3450
R =14.0320
>> [a,R]=solve1(12,1.8) a = 41.8674
R =16.3954
>> [a,R]=solve1(13,1.8) a = 42.2883
R = 18.9596
>> [a,R]=solve1(14,1.8) a = 42.6319
R = 21.7256
>> [a,R]=solve1(15,1.8) a = 42.9155
R =24.6937
>> [a,R]=solve1(16,1.8) a = 43.1520
R =27.8644
>> [a,R]=solve1(17,1.8) a =43.3511
R =31.2380
>> [a,R]=solve1(18,1.8) a =43.5202
R =34.8147
>> [a,R]=solve1(19,1.8) a =43.6649
R =38.5948
>> [a,R]=solve1(20,1.8) a = 43.7896
R =42.5783
>> [a,R]=solve1(21,1.8) a =43.8979
R =46.7654
>> [a,R]=solve1(22,1.8) a =43.9924
R =51.1561
>> [a,R]=solve1(23,1.8) a =44.0754
R =55.7505
>> [a,R]=solve1(24,1.8) a =44.1486
R =60.5488
>> [a,R]=solve1(25,1.8) a =44.2135
R =65.5508
>> [a,R]=solve1(26,1.8) a =44.2714
R =70.7567
>> [a,R]=solve1(27,1.8) a =44.3231
R =76.1665
>> [a,R]=solve1(28,1.8)
a =44.3696
R =81.7802
>> [a,R]=solve1(29,1.8) a =44.4114
R =87.5978
>> [a,R]=solve1(30,1.8) a =44.4493
R =93.6194
>> [a,R]=solve1(31,1.8) a =44.4836
R =99.8450
>> [a,R]=solve1(32,1.8) a =44.5148
R =106.2746
>> [a,R]=solve1(33,1.8) a = 44.5433
R =112.9081
>> [a,R]=solve1(34,1.8) a =44.5694
R =119.7457
>> [a,R]=solve1(35,1.8) a =44.5933
R =126.7872
>> [a,R]=solve1(36,1.8)
a =44.6153
R =134.0328
>> [a,R]=solve1(37,1.8)
a =44.6355
R =141.4824
六、参考文献：
1、《matlab7.0从入门到精通》刘保柱、苏彦华等，人民邮电出版社；
2、《matlab软件与基础数学实验》朱旭、李换琴、籍万新，西安交通大学出版社；
3、《数学建模优秀案例选编》汪国强，华南理工大学出版社；
4、《matlab与数学实验》张志刚、刘丽梅等，中国铁道出版社；
5、《数学实验与matlab》周晓阳，华中科技大学出版社；
6、Internet百度索引搜索。