中考数学复习-圆专题复习-教案

中考数学专题复习六 几何（圆)
【教学笔记】
一、与圆有关的计算问题（重点）
1、扇形面积的计算
扇形:扇形面积公式 213602n R S lR π== n ：圆心角 R :扇形对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S :扇形面积
圆锥侧面展开图：
(1)S S S =+侧表底=2Rr r ππ+
(2）圆锥的体积：2
1
3V r h π= 2、弧长的计算：弧长公式 180
n R l π=
； 3、角度的计算 二、圆的基本性质(重点)
1、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
2、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半;
推论：（１)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;
（２)相等的圆周角所对的弧也相等。

（3）半圆(直径)所对的圆周角是直角。

（4)9０°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

3、垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧
推论：(１）平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧ﻫ (3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧ﻫ (４）在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
三、圆与函数图象的综合
一、与圆有关的计算问题
【例1】（２01６•资阳)在Rｔ△ＡBC中,∠AＣB＝90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点Ｄ，若点Ｄ为AB的中点,则阴影部分的面积是（）
A.2﹣π Ｂ．4﹣π Ｃ.2﹣π Ｄ．π
【解答】解:∵Ｄ为AB的中点，∴BC=BＤ=AB,∴∠Ａ=30°，∠B＝6０°.∵AC=2，
∴BC=AC•ｔan30°=2•=2，∴S阴影=Ｓ△AＢC﹣Ｓ扇形C B D=×2×2﹣＝2﹣π．
故选A.
【例２】(２014•资阳)如图,扇形AＯB中,半径ＯA=2，∠AOB=12０°,C是的中点,连接AC、BC，则图中阴影部分面积是( )
A．﹣2Ｂ. ﹣２C．﹣ D.﹣
解答:连接OC,
∵∠AOB=１2０°，C为弧AB中点,∴∠ＡOC＝∠BOC=6０°,∵OＡ
=OC=OB=2,
∴△ＡOC、△BOC是等边三角形,∴ＡＣ=ＢＣ=ＯＡ=２，
∴△AＯC的边AC上的高是＝,△BOC边BC上的高为，
∴阴影部分的面积是﹣×２×+﹣×2×=π﹣2，故选A.
【例３】（20１3•资阳)钟面上的分针的长为１，从9点到9点３0分，分针在钟面上扫过的面积是( ) A. π B. πC．π D. π
解答:从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是18０°，
则分针在钟面上扫过的面积是:＝π.故选：A．
【例4】(２０15成都)如图，正六边形AＢCＤEＦ内接于⊙Ｏ，半径为4，则
这个正六边形的边心距OM和ＢC弧线的长分别为（)
A.2，3π Ｂ．23,π C ．3,23π Ｄ.23，43πﻩ
【课后练习】
1、（2015南充)如图，P A 和PB 是⊙O 的切线,点A 和Ｂ的切点,AC 是⊙O 的直径，已知∠Ｐ=40°,则∠A ＣB 的大小是( B ）
A ．40° B.6０° C.７0° D ．80°
2、(2０1５达州)如图,直径AB 为1２的半圆，绕Ａ点逆时针
旋转60°，此时点B 旋转到点B ′,则图中阴影部分的面积是
（ Ｂ )
A.１２π B ．24π Ｃ．6π Ｄ．36π
3、(20１５内江)如图,在⊙Ｏ的内接四边形AB ＣD 中，AB 是直径,∠B ＣＤ＝１20°，过D 点的切线PD 与直线A Ｂ交于点P ，则∠ADP 的度数为( )
A.40° B ．35° C ．３0° D.45°
解析:连接BD,∵∠D ＡB ＝１80°－∠C=50°,ＡB 是直径，∴∠AD Ｂ=9
０°,∠ＡBD ＝90°-∠DAB=40°,∵PD 是切线，∴∠A ＤＰ=∠B ＝40°．故
选A ．
4、(2015自贡)如图,ＡB 是⊙O 的直径，弦ＣD ⊥A Ｂ，∠CDB =3０°,ＣD =32,则阴影部分的面积为 Ａ.2π Ｂ.π C.
3π D.32π
解析：∠B ＯD =60°
5、(20１5凉山州）如图,△ABC内接于⊙O,∠OBC＝40°，则∠A的度数为( ）
A．8０°Ｂ.100°Ｃ．11０°Ｄ.130°
6、(201５凉山州）将圆心角为90°,面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径( )
Ａ.1cm B.２ｃm Ｃ．3cm D.4cｍ
7、(201５泸州）如图,P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为（ )
A.６5°
B.130°
C.50° Ｄ.１００°
8、（20１5眉山)如图，⊙O是△ＡＢＣ的外接圆，∠ＡCO=４５0,则∠B的度数为( ）
Ａ.３00 B.350Ｃ．400D450
9、(2０1５巴中)如图,在⊙Ｏ中,弦AC∥半径OＢ,∠BOC=50°,则∠ＯAB的度数为( )
Ａ.２5° B.50° C．6０° Ｄ．30°
10、(201５攀枝花）如图,已知⊙O的一条直径AＢ与弦ＣＤ相交于点E，且ＡC=2,AE＝3，CE=1,则图中阴影部分的面积为( )
A．23π
Ｂ.
43π
C.
2
9
π
D．
4
9
π
11、（20１５甘孜州)如图，已知扇形AＯB的半径为2，圆心角为9０°,连接AＢ，则图中阴影部分的面积是（ )
Ａ.π﹣2 B.π﹣４ C.4π﹣2 D.4π﹣４
12、(2０１5达州）已知正六边形ＡBCDEＦ的边心距为3ｃm，则正六边形的半径为ｃm.
13、（２０15自贡)如图,已知ＡＢ是⊙Ｏ的一条直径，延长AB至Ｃ点,使AC=3BＣ,CD与⊙O相切于D点.若CD=3,则劣弧AD的长为 .
14、（2０15遂宁）在半径为5ｃm的⊙O中，４5°的圆心角所对的弧长为cm.
15、（2０15宜宾)如图,AＢ为⊙O的直径，延长AB至点D,使BD=OB,DＣ切⊙O于点C,点Ｂ是CF的中点，弦CＦ交AＢ于点E.若⊙O的半径为2,则CＦ＝ .
16、（2015泸州）用一个圆心角为１20°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是．
17、（２015眉山)已知⊙O的内接正六边形周长为１２cm,则这个圆的半经是_＿____＿__ｃm.
18、(2015广安)如图,A．B．Ｃ三点在⊙O上，且∠AOB=７0°,则∠C= 度.
19、2４.（2０15巴中）圆心角为60°,半径为4ｃｍ的扇形的弧长为cm.
20、(2015甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA,则∠ＡＢC的大小为度.
二、圆的基本性质
【例1】（2016•资阳)如图,在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线，切点为D,连结BD.
(1）求证:∠A=∠BDC;
(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=１时，求MＮ的长．
【解答】解:(１）如图，连接OＤ，
∵ＡＢ为⊙O的直径，∴∠ＡＤB=9０°,即∠Ａ＋
∠ABD=90°，
又∵ＣD与⊙O相切于点D，∴∠ＣＤB+∠OＤＢ=９0°,
∵OD=OＢ，∴∠ＡBＤ=∠ODＢ,∴∠A=∠BDC;
(2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM,
又∵∠A=∠BＤＣ,∴∠Ａ+∠ACM=∠ＢDＣ＋∠ＤCM,即∠DMＮ＝∠DNＭ，∵∠ADB=９0°,DM=1,∴DN=ＤＭ=1,∴MN==．
【例2】（201５•资阳）如图１1，在△AＢC中,BC是以AＢ为直径的⊙O的切线，且⊙Ｏ与AC相交于点Ｄ，E为ＢＣ的中点,连接DE.
(１）求证：DＥ是⊙O的切线;
(２)连接AE，若∠C=4５°，求siｎ∠CAE的值.
解答:解:(１)连接OD,BＤ,∴OD=OB ∴∠OＤB=∠OＢD.
∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ＣＤＢ=90°．
∵E为BC的中点,∴ＤE=BE，∴∠EDB=∠EBD,
∴∠OＤB＋∠EDB=∠OBＤ+∠EBD,即∠ＥDO=∠EBO.
∵BC是以ＡＢ为直径的⊙O的切线，∴ＡB⊥BＣ，∴∠ＥＢＯ＝90°，∴∠ＯＤE=９0°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）作EF⊥CＤ于Ｆ,设ＥF=x
∵∠C＝４5°,∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形,∴ＣF＝ＥF=ｘ,
∴BE=ＣE=x，∴AB＝ＢC=２x,在RT△ＡＢＥ中,AＥ==x,
∴ｓin∠CAＥ==.
【例３】（2０1４•资阳)如图,AB是⊙Ｏ的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D,ＢD的延长线交AC于Ｅ,连接AD.
（1)求证：△CDE∽△CAD;
(2）若AB＝2,AC＝2，求AE的长．
解答:(1)证明:∵AＢ是⊙O的直径,∴∠ＡDＢ=9０°,∴∠B+∠ＢＡD=9０°,
∵AＣ为⊙O的切线,∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠ＢAD+∠DAＥ=90°,∴∠B＝∠ＣAＤ，
∵OB＝ＯD，∴∠B＝∠ODB,而∠OＤＢ=∠CDE,∴∠Ｂ=∠CDＥ,∴∠CAＤ=∠CDE,
而∠ＥＣＤ=∠DCA,∴△CＤE∽△CAＤ;
（2）解：∵AB=2,∴OＡ=１,
在Rt△AOC中,ＡC＝2,∴ＯC==３,∴CＤ=OＣ﹣OD＝3﹣1=2,
∵△CDＥ∽△CAD，∴=,即=，∴CＥ=.
【例4】(２013•资阳）在⊙O中,AB为直径，点Ｃ为圆上一点，将劣弧沿弦AＣ翻折交ＡB于点D，连结CD.
(1）如图1,若点D与圆心Ｏ重合，AC＝2，求⊙Ｏ的半径r；
（2）如图２，若点D与圆心O不重合，∠ＢＡC=25°,请直接写出∠DＣA的度数．
解答:（1)如图,过点O作OE⊥AＣ于E,则ＡＥ=AC=×２=１,
∵翻折后点D与圆心Ｏ重合，∴OE=r,
在Rt△AOE中,AO2=AE2＋ＯＥ２,即ｒ2=12＋（
ｒ）２,解得ｒ=;
（2)连接ＢC,∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAＣ=90°﹣25°=65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，
∴∠ＤCA=∠B ﹣∠A ＝6５°﹣２5°=40°.
【课后练习】
1、（2０15达州)如图,A Ｂ为半圆O 的在直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点,CD 切⊙O 于点E ，连接
OD 、O Ｃ，下列结论:①∠DOC ＝９0°，②A Ｄ+BC =C Ｄ,③22ΔAOD ΔBOC ::S S AD AO =,④ＯD :ＯC =DE :E
Ｃ,⑤2OD DE CD =⋅，正确的有( ）
Ａ．２个 B.3个 C ．4个 D.５个
解析:如图,连接ＯＥ,ﻫ∵AD 与圆O 相切，D Ｃ与圆O 相切，BC 与圆O 相切,
∴∠ＤＡＯ=∠DEO ＝∠ＯBC=9０°，∴ＤA=DE ，CE=C Ｂ，AD ∥BC 。

ﻫ∴C Ｄ=D
Ｅ+E Ｃ=ＡＤ＋BC 。

结论②正确。

ﻫ在Ｒt △ADO 和Rt △ＥDO 中，O Ｄ=O Ｄ，Ｄ
A=D Ｅ，∴Rt △ADO ≌Rt △E ＤO （H Ｌ）
∴∠AOD ＝∠ＥOD 。

同理R ｔ△CEO ≌Ｒt △CBO ，∴∠E ＯＣ=∠ＢOC 。

又∠AO Ｄ＋
∠D ＯE+∠E ＯC+∠CO Ｂ=180°,
∴２(∠ＤＯE+∠EOC ）=1８０°,即∠ＤOC=9０°。

结论⑤正确。

ﻫ∴∠DOC ＝∠DE Ｏ=90°。

又∠ED Ｏ=∠ODC ，∴△EDO ∽△ODC 。

∴
，即OD 2=DC •ＤＥ。

结论①正确。

而
,结论④错误。

由OD 不一定等于OC ，结论③错误。

∴正确的选项有①②⑤。

故选A 。

2、（２0１5遂宁）如图,在半径为5cm 的⊙O 中,弦AB =6c ｍ，ＯC ⊥AB 于点C ，则O Ｃ=（ ） Ａ．3c ｍ B ．4cm C ．5cm D.６c ｍ 【解析】连接ＯＡ，∵AB=6cm ，O Ｃ⊥ＡＢ于点Ｃ,∴ＡC=ＡB=×6＝３cm ，
∵⊙O 的半径为5c ｍ，∴OC=
＝=4cm , 故选B ．
3、(2015广元)如图,已知⊙Ｏ的直径AB ⊥C Ｄ于点E ．则下列结论一定错误的是（ ）
Ａ．C Ｅ=DE Ｂ．ＡE =OE C.BC BD = Ｄ.△O ＣE ≌△OD Ｅ
4、（201５广元）如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙Ｏ上一点,点C是AD的中点,弦CE⊥AB于点E，过点Ｄ的切线交ＥC的延长线于点Ｇ，连接AＤ,分别交CF、ＢＣ于点P、Q,连接AC.给出下列结论:①∠B ＡD=∠ABC;②GP＝GD;③点Ｐ是△ACQ的外心.
其中正确结论是＿②③④_ （只需填写序号)．
5、(２0１5成都)如图,在Rt△ABＣ中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别
与AC,BC及A B的延长线相交于点D，Ｅ,F，且BＦ＝BC.⊙O是△ＢＥF的外
接圆，∠EBF的平分线交EＦ于点G，交于点H,连接ＢD、FＨ．(1）求证：△ABＣ≌△EＢF；(２）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AＢ＝1,求HG•HB的值．
6、(2015遂宁）如图，ＡB为⊙Ｏ的直径，直线CD切⊙O于点Ｄ,AM⊥CＤ于点M,BN⊥CＤ于N．(１）
求证：∠ＡＤC=∠ABD;（2)求证:AD２=AＭ•AB；（3)若ＡM=18
5
,ｓin∠ＡＢD＝
3
5
，求线段ＢN的长.
解答：（1）证明：连接OD，∵直线CD切⊙O于点D,∴∠CDO＝90°，
∵AＢ为⊙O的直径,∴∠ADB=9０°，∴∠1+∠２=∠2+∠3=90°,∴∠１=∠3,ﻫ∵OB=OD,∴∠３=∠４,∴∠ADC＝∠ABD；
(２)证明：∵ＡM⊥ＣD,∴∠AMＤ=∠ADB=9０°，∵∠1=∠4,∴△ＡDM∽△ABＤ, ﻫ∴，∴AＤ2=AMAB；
（３）解：∵ｓin∠ＡBD=，∴ｓiｎ∠1＝，∵ＡＭ＝，∴ＡＤ＝6, ∴ＡＢ＝
１０，∴BＤ==8，
∵ＢＮ⊥CD，∴∠BNＤ=90°, ∴∠DＢN+∠BDN=∠1＋∠BDN=90°, ∴∠DBＮ
=∠1，∴sin∠ＮＢD=, ∴DN=, ∴BＮ==. ﻫ
7、（2０１５宜宾)如图,CE是⊙O的直径,BD切⊙O于点Ｄ，DＥ
∥BO，CE的延长线交BＤ于点A.（1）求证:直线ＢＣ是⊙O的切线;(2)
若AE=２,tan∠DＥO=2，求AＯ的长.
8、（20１5泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=ＡＣ，BD为⊙O的弦,且ＡB∥CD，过点Ａ作⊙Ｏ的切线AE与DＣ的延长线交于点Ｅ,AD与BC交于点Ｆ．(1)求证:四边形AＢCE是平行四边形；(2）若AE=6,C Ｄ＝5,求OF的长．
解答:(１)证明：∵AＥ与⊙O相切于点A，∴∠EAＣ＝∠ABC, ﻫ∵AＢ=AC，∴∠AＢC=∠ACB, ∴∠EAC ＝∠ACB, ∴ＡE∥BC,
∵AＢ∥ＣD, ∴四边形ABCE是平行四边形;
(2)解:如图,连接ＡO,交BC于点H，双向延长OＦ分别交AＢ,CD与点
Ｎ,Ｍ, ∵AE是⊙Ｏ的切线, ﻫ由切割线定理得,AE2＝EＣ•DE，∵
AＥ=６,CＤ=５，
∴６2=CE(ＣE+5），解得：CE=4，（已舍去负数)，ﻫ由圆的对称性，知四边形ＡBDＣ是等腰梯形,且AB=ＡC＝BD=ＣE=４,
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分ＢC,ＭN垂直平分AB，DC，ﻫ设OＦ=
x,ＯH＝Y，ＦH=ｚ，∵ＡB=４,BC=6，CD=5, ∴BF=BＣ﹣FＨ=3﹣z，DF=CＦ=
BＣ＋FＨ＝3+z,
易得△OＦH∽△ＤMＦ∽△BFN，∴，, ﻫ即，
①②，①＋②得：，①÷②得:,
解得, ∵x2=ｙ2+z2，∴，∴x=, ∴OF=．
9、（201５绵阳）如图,Ｏ是△ABC的内心，BＯ的延长线和△ＡBＣ的外接圆
相交于点D，连接DＣ，DＡ，OA,OC,四边形OAＤＣ为平行四边形．(1)求
证：△ＢOC≌△ＣDA;(２)若ＡB=2,求阴影部分的面积.
【解析】
(１)证明：∵O是△ABＣ的内心，∴∠2=∠3,∠5=∠6,
∵∠1=∠２，∴∠1=∠3，由AD∥ＣＯ,AＤ=CO，∴∠４=∠5，∴∠4=∠6，
∴△BOC≌△CDA（AAS)
由(１）得,ＢＣ=AC,∠3＝∠4=∠６，∴∠ABＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＡB＝ＡC
∴△ＡＢC是等边三角形,∴O是△ABC的内心也是外心，∴OA=OB＝OC
设E为BＤ与AＣ的交点，BE垂直平分ＡC.在Rt△OCE中,CＥ＝AC=AB=１,∠ＯCＥ=３0º,
∴OA=OB=OC＝.∵∠AOＣ=１２0º,∴
.
10、(２015广元)如图,AＢ是⊙O的弦，D为半径OA的中点．过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点Ｆ．且CＥ=ＣB.（1)求证:ＢC是⊙O的切线；(２)连接AF、ＢF，求∠ＡBF的度数;(３)如果ＣD=15，B
Ｅ=10，sinA＝
5
13
．求⊙O的半径．
解:(1）证明:连接ＯＢ∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBＡ,∠CEB=∠ABCﻫ又∵CD⊥ＯA∴∠A+∠AED=∠Ａ+∠ＣEB=9０°∴∠ＯBA＋∠ABＣ=90 °
∴OB⊥BC∴BC是⊙Ｏ的切线．2(ﻫ）连接OF,ＡＦ，BＦ，∵
DA＝DO,CD⊥ＯA，ﻫ∴△OAF是等边三角形，∴∠ＡOＦ＝
60 °∴∠ABF=∠AOF=30 °
（３）过点C作CG⊥BE于点G，由ＣE＝ＣB,∴ＥＧ=BE=
５ﻫ又Ｒt△ADE∽Rt△ＣGE，∴sin∠ECＧ=siｎ∠Ａ=，∴CＥ==1
３ﻫ∴CG==12，
又ＣＤ=15，CE=13，∴DE=2,
由Ｒｔ△AＤE∽Ｒt△CＧE得=,∴
AD=CG=,∴⊙Ｏ的半径为2AD=．
11、(2015广安）如图，ＰB为⊙O的切线,
Ｂ为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C，交⊙Ｏ于点A，连接ＰA、AO,并延长AＯ交⊙O于点E,与PB
的延长线交于点D.(１）求证:ＰA是⊙O的切线；（２)若
2
3
OC
AC
，且OC=4，求P A的长和tanD的值．
解:（1）证明:连接ＯB，则OA=OB,∵OP⊥AB，∴AＣ=BC，
∴ＯP是AＢ的垂直平分线, ∴ＰＡ=ＰＢ,
在△PAO和△PＢO中，ﻫ∵ＰA=PBＰO＝POＯA＝ＯB, ∴△PAＯ≌△PBO(ＳSS）ﻫ∴∠ＰBO＝∠PＡＯ，PB=ＰA，∵2+OC2=２13, ∴AＥ=2OA=４13,OB=OA=２１３, 在Rt△ＡＰO中, ﻫ∵AC⊥OP, ∴ＡＣ2=OＣ•ＰＣ, ﻫ解得:PＣ=9, ∴O Ｐ＝PC+OC=１3, ﻫ在Rt△APO中，由勾股定理得:ＡP＝OP２-OA2=3１３，∴PＢ=ＰA＝∵PB为⊙Ｏ的切线,B为切点，∴∠ＰBO=90°, ﻫ∴∠ＰＡＯ=90°, 即PA⊥ＯA，∴ＰＡ是⊙O的切线;
(２）连接BE,∵OCＡＣ=23,且OC=4，∴AC＝6，∴AB=１２，ﻫ在Ｒt△ＡＣＯ中, 由勾股定理得:AO=ＡC13，∵AC=B Ｃ，OＡ=OE,
∴OC＝12BE，OC∥BE，∴BE=2OC=８,ＢE∥ＯP，∴△DBＥ∽△DPＯ, ∴ＢＤPD=ＢＥOP,
即BＤ313+BＤ＝8１3, 解得:BD＝2413５，在Rt△OBＤ中, tａnD=OBBD=213２４135=51２．
12、（2015巴中)如图，ＡB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点Ｅ，连结CＥ、AE、CD，若∠A ＥC=∠ODＣ．（1）求证:直线CD为⊙Ｏ的切线；（2）若AＢ=5,BC=4,求线段CD的长.
解：(1)证明：连接ＯC,ﻫ∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC=∠ODC,∴∠ＣＢA＝∠O
ＤC，ﻫ又∵∠CFD=∠ＢFＯ，∴∠DCB=∠BＯＦ，ﻫ∵CＯ=BO，∴∠OCF=∠B，
ﻫ∵∠B+∠BOＦ=90°,∴∠ＯCF＋∠DCB＝90°，∴直线CD为⊙O的切线；
(2)解:连接AＣ,∵AＢ是⊙O的直径，∴∠ACＢ=９0°,∴∠ＤCO=∠AＣＢ，ﻫ又
∵∠D=∠Ｂ,∴△OCD∽△ACB,ﻫ∵∠ACB=90°，AＢ=5，BC=4,∴ＡC=3,∴=，
即=,解得;ＤＣ=．ﻫ
三、圆与函数图象的综合
【例1】(201５•资阳）如图４，ＡD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→Ｏ的路线匀速运动,设∠AＰＢ＝ｙ(单位:度），那么y与点P运动的时间x（单位:秒)的关系图是( )
解答：(1）当点P沿O→Ｃ运动时,当点P在点Ｏ的位置时,y=90°，当点P
在点C的位置时，
∵ＯA=OC,∴y=4５°，∴y由90°逐渐减小到45°;
(2)当点P沿Ｃ→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=４5°;
(３）当点P沿D→O运动时，当点Ｐ在点D的位置时,ｙ=45°，当点P在点0的位置时,y=90°,∴y由４5°逐渐增加到90°.故选：Ｂ．
【例2】(２013年四川巴中)如图,在平面直角坐标系中，坐标原点为O,Ａ点坐标为（4,０)，Ｂ点坐标为（－1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙Ｐ交ｙ轴的正半轴于点C．
（1)求经过Ａ，B,C三点的抛物线所对应的函数解析式；
(2)设Ｍ为（1)中抛物线的顶点，求直线ＭC对应的函数解析式;
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
解:（1)∵Ａ（４,0）,B(－1,0),
∴AB＝5，半径是PC=PB=PＡ=。

∴OＰ＝。

ﻫ在△ＣＰO中，
由勾股定理得：。

∴C（0，２)。

ﻫ设经过A、B、Ｃ三点抛物线解析式是 ,ﻫ把C（0，２)代入得: ,∴。

∴。

∴经过A、B、C三点抛物线解析式是 ,ﻫ（2）∵，
∴M。

设直线MＣ对应函数表达式是y=ｋx+b，ﻫ把C（０，2）,M代入得: ,解得。

∴直线ＭC对应函数表达式是。

(3）MC与⊙P的位置关系是相切。

证明如下：设直线MC交x轴于D,
当ｙ=0时， ,∴，ＯD=。

∴Ｄ(，0)。

ﻫ在△COD中，由勾股定理得:，ﻫ又，，∴ＣD ２ +PC２ =PD2 。

∴∠PCD=９0 0 ,即PC⊥DC。

ﻫ∵ＰＣ为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切。

【课后作业】
一、选择题(每小题3分,共2４分)
1.如图，已知A,B，C在⊙Ｏ上,下列选项中与∠AＯＢ相等的是（）
A．２∠C B． 4∠B
Ｃ． 4∠ＡＤ. ∠B+∠Ｃ
2.如图,已知ＡB是△ABC外接圆的直径,∠Ａ=35°,则∠B的度数是( )
A．35° B． 45°
C．5５°Ｄ．65°
3.如图，AB是⊙O的直径,弦ＣD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( )
A.CM=DM
B.CB＝ＤＢ
C．∠ACD=∠AＤC D．OＭ=ＭＤ
4．如图，已知⊙O 的半径为1３,弦A Ｂ长为24，则点O 到A Ｂ的距离是（ ）
A. 6 Ｂ．5ﻩ
C ． 4 D.3
第1题图 第2题图 第３题图 第4题图
５． 已知⊙O 的半径为６,圆心到直线l 的距离为8,则直线l 与⊙O 的位置关系是( )
A ．相交 B.相切
C ．相离ﻩ Ｄ.无法确定
6. 圆锥底面圆的半径为3cm ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ )
Ａ．3cm B.6cm
C.9c ｍ D ．１２ｃm
7．如图，Rt △A ＢC 中，∠A ＣB ＝90°，ＡC ＝4,BC ＝6,以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与A Ｃ、BC 相切于点D 、E ，则AD 的长为（ )
Ａ． 2．5 Ｂ. 1.６
Ｃ． 1.5 D. 1
8． 如图,直线333y x =+与x 轴、y 分别相交与Ａ、B 两点，圆心P 的坐标为（1,0）,圆P 与ｙ轴相切与点O.若将圆P 沿ｘ轴向左移动,当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（ ）
A.２ Ｂ．３
C.４ Ｄ.5
第7题图 第８题图
二、填空题:(每小题３分,共２4分)
９.如图，AB 为O ⊙的直径,CD 为O ⊙的弦，25ACD =∠，则BAD ∠的度数为 .
1０.如图，在△A ＢC 中∠A ＝25°,以点C 为圆心,BC 为半径的圆交A Ｂ于点Ｄ,交ＡC 于点Ｅ,则的度数
为 ．
１1.如图，ABC
∆的一边AB是⊙Ｏ的直径，请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为 .
C
O
第9题图第１0题图第11题图
12.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为１20°，则圆锥的母线长
是．
13.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为．
1４. 如图,AB为⊙O的直径,ＣD⊥AＢ,若AＢ＝10,CD＝８，则圆心O到弦CD的距离为．
１５.如图,⊙Ａ、⊙B、⊙Ｃ两两外切,它们的半径都是a,顺次连接三个圆心得到△ABC,则图中阴影部分的面积之和是 .
１6.如图,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上的一个动点（不与点A重合)，过点Ｐ作ＰＢ⊥l,垂足为B，连接PA．设PＡ=x,ＰＢ=y，则(x－y)的最大值是 .
第1４题图第15题图第１6题图
三、解答题（本大题共8个小题，满分５2分):
１７. (本题４分)如图,圆弧形桥拱的跨度12
AB=米,拱高4
CD=米，试求拱桥的半径．
18.(本题４分)如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,且ＣD⊥AＢ，BC=6,AC＝8，求sin∠ABD的值.
19.（满分6分)如图,已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点Ｃ,D .
⑴.求证:AC＝ＢD；
⑵．若大圆的半径Ｒ＝10,小圆的半径r=８，且圆O到直线ＡB的距离为6，求AＣ的长．
２0.(本题6分)如图，以△ＡBC的一边ＡB为直径作⊙O，⊙O与ＢC边的交点恰好为BＣ的中点Ｄ,过点D 作⊙O的切线交ＡC于点Ｅ．
⑴．求证:DE⊥AC；
⑵.若AB=3DE，求tａn∠ＡＣＢ的值.
2１. （本题6分)如图，AB是⊙Ｏ的直径，点E是上的一点，
∠DBC＝∠BED.
⑴.求证：BC是⊙O的切线；
⑵．已知AD=3,CD=2,求BC的长．
22．（本题8分）已知:如图,⊙O的直径ＡB垂直于弦CＤ，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连结ＰＤ.
⑴．求证:PD 是⊙O 的切线.
⑵.求证:2PD PB PA =•
⑶.若ＰD=4,1tan 2
CDB ∠=，求直径AB 的长.
23. (本题８分）已知：ＡB 是⊙O 的直径,直线C Ｐ切⊙O 于点C ，过点Ｂ作BD ⊥CP 于D ．
⑴．求证:△ACB ∽△
CD Ｂ；
⑵.若⊙Ｏ的半径为１，∠BCP=30°,求图中阴影部分的面积．
24. (本题10分）如图，在平面直角坐标系中,已知A （8,0),B(0,６)，圆M 经过原点O 及点A 、Ｂ． ⑴.求圆M 的半径及圆心Ｍ的坐标;
⑵.过点B 作圆M 的切线l ，求直线l 的解析式;
⑶．∠B ＯA 的平分线交AB 于点N,交圆M 于点Ｅ，求点N 的坐标和线段O Ｅ的长.
A B
E
M N •
O x
y
【参考答案】
1~8： A ＣＤB CBB Ｂ; ９. 065; 10. 050； １1． AB BC ⊥； 12. 30; 13. 2; １
4．3;15．212a π; １６．2； 17. 米；18. 4sin sin 5ABD ABC ∠=∠=。

１9． （1）.证明过程略；(2). 827AC =-; 2０. （1）.证明过程略；(2). 35tan ACB ±∠=； 2１.（1)AB 是⊙O 的直径，得∠AD Ｂ=90°,从而得出∠BAD ＝∠ＤＢC ，即∠A ＢC=９0°，即可证明BC 是⊙O 的切线；(2）可证明△ABC ∽△BD Ｃ,则=,即可得出BC ＝; ２2.（1)连接OD 、OC ，证△ＰD Ｏ≌△ＰCO,求出∠PDO ＝90°即可;(2)求出∠A ＝∠A ＤO ＝∠ＰDB,根据相似三角形的判定推出△P ＤＢ∽△PAD ，得出比例式，即可得出答案;(３)根据相似得出比例式，代入即可求出答案A Ｂ=6;23. (1）证明过程略;(2）
233S π=-阴影； ２4. ⑴. 5(43)AM M =，， , ⑵．可证463
y x =+;(3）. 2424(,),7277
N OE = --。