计算机视觉中的数学方法
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吴福朝 编著
计算机视觉中的数学方法
内容简介
本书由射影几何、矩阵与张量、模型估计三个部分组成，它们是三维计算机视觉所涉及到 的基本数学理论与方法。I. 射影几何学是三维计算机视觉的数学理论基础，是从事计算机视觉 研究所必备的数学知识。本书着重介绍射影几何学和它在视觉中的应用，主要内容包括：平面 与空间射影几何，摄像机几何，两视点几何，自标定技术和三维重构理论。II. 矩阵与张量是描 述和解决计算机视觉问题的必要数学工具，视觉领域研究人员都应该掌握这门数学。本书着重 介绍与视觉有关的矩阵、张量理论与它的应用，主要内容包括：矩阵分解，矩阵分析，张量代 数，运动与结构，多视点张量。III. 模型估计是三维计算机视觉的基本问题，通常涉及到变换或 某种数学量的估计。本书着重介绍与视觉估计有关的数学理论与方法，主要内容包括：迭代优 化理论，参数估计理论，视觉估计的代数方法、几何方法、鲁棒方法和贝叶斯方法。上述三部 分涉及的数学内容是相对独立的，但三维计算机视觉将它们组成一个有机的整体。通过阅读本 书，读者能掌握三维计算机视觉中的基本数学内容与方法，增强数学素养、提高分析和解决视 觉问题的数学能力。
2பைடு நூலகம்
第6章
5.1.1 影消点与影消线--------------------------------------- 101 5.1.2 摄像机内参数----------------------------------------- 102 5.2 圆环点与摄像机内参数------------------------------------- 105 5.2.1 内参数约束方程--------------------------------------- 105 5.2.2 确定圆环点的图像------------------------------------- 105 5.2.3 圆环点与正交方向------------------------------------- 107 5.3 平行性与摄像机内参数------------------------------------- 108 5.3.1 平行四边形的射影------------------------------------- 108 5.3.2 平行六面体的射影------------------------------------- 111 5.3.2 摄像机内参数----------------------------------------- 113 5.4 Kruppa 方程与摄像机内参数--------------------------------- 117 5.4.1 Kruppa 方程------------------------------------------- 117 5.4.2 由 Kruppa 方程求焦距---------------------------------- 119 5.5 绝对二次曲线与摄像机内参数------------------------------- 121 5.5.1 基本约束方程----------------------------------------- 121 5.5.2 变化内参数------------------------------------------- 121 5.5.3 恒定内参数------------------------------------------- 122 5.5.4 尺度因子计算公式------------------------------------- 123 5.6 绝对二次曲面与摄像机内参数------------------------------- 125 5.6.1 基本约束方程----------------------------------------- 125 5.6.1 约束的等价性----------------------------------------- 126 三维重构理论 6.1 三角原理------------------------------------------------- 130 6.2 基本矩阵与射影重构--------------------------------------- 132 6.3 无穷远平面与仿射重构------------------------------------- 133 6.4 绝对二次曲线与度量重构----------------------------------- 135 6.5 绝对二次曲面与度量重构----------------------------------- 138 6.6 实现分层重构的实例--------------------------------------- 140 6.6.1 仿射点对应------------------------------------------- 141 6.6.2 准仿射重构------------------------------------------- 142 6.6.3 仿射重构--------------------------------------------- 143 6.6.4 度量重构--------------------------------------------- 146 6.7 多摄像机系统标定----------------------------------------- 147 6.7.1 一维标定物------------------------------------------- 147 6.7.2 确定仿射摄像机矩阵----------------------------------- 148 6.7.3 确定欧氏摄像机矩阵----------------------------------- 149
1
2.4.2 相似变换群------------------------------------------- 51 2.4.3 等距变换群------------------------------------------- 52 2.4.4 二次曲面分类----------------------------------------- 53 2.5 射影坐标系与射影坐标变换--------------------------------- 56 第 3 章 摄像机几何 3.1 摄像机模型----------------------------------------------- 59 3.1.1 摄像机模型------------------------------------------- 59 3.1.2 摄像机矩阵元素的几何意义----------------------------- 63 3.1.3 摄像机矩阵估计--------------------------------------- 66 3.1.4 欧氏空间与射影空间----------------------------------- 67 3.2 投影与反投影--------------------------------------------- 69 3.2.1 空间点----------------------------------------------- 69 3.2.2 空间直线--------------------------------------------- 70 3.2.3 空间平面--------------------------------------------- 72 3.2.4 二次曲线--------------------------------------------- 73 3.2.5 二次曲面--------------------------------------------- 74 3.3 恢复平面景物的几何结构----------------------------------- 77 3.3.1 仿射结构--------------------------------------------- 77 3.3.2 相似结构--------------------------------------------- 78 3.3.3 绝对欧氏结构----------------------------------------- 79 第 4 章 两视点几何 4.1 基本矩阵------------------------------------------------- 81 4.1.1 极几何----------------------------------------------- 81 4.1.2 基本矩阵--------------------------------------------- 83 4.1.3 几何解释--------------------------------------------- 87 4.2 单应矩阵------------------------------------------------- 88 4.2.1 单应矩阵--------------------------------------------- 88 4.2.2 与基本矩阵的关系------------------------------------- 91 4.2.3 不动点与不动线--------------------------------------- 93 4.3 基本矩阵估计--------------------------------------------- 94 4.3.1 8－点算法-------------------------------------------- 94 4.3.2 最小点对应算法--------------------------------------- 96 4.4 恢复摄像机矩阵------------------------------------------- 97 4.4.1 射影相关--------------------------------------------- 97 4.4.1 摄像机矩阵的恢复------------------------------------- 100 第 5 章 自标定理论 5.1 正交性与摄像机内参数------------------------------------- 101
目录第一篇射影几何第1章平面射影几何11射影平面3111射影平面3112两点两线的叉积5113共线点共点线的交比512二次曲线8121矩阵表示9122切线9123配极对应10124对偶二次曲线13125圆环点及其对偶1413二维射影变换16131二维射影变换16132直线与二次曲线的射影变换2014变换群与不变量21141等距变换群21142相似变换群23143仿射变换群24144射影变换群27第2章空间射影几何21射影空间31211空间点31212空间平面31213空间直线34214共线平面束的交比3722三维射影变换38221三维射影变换38222平面与直线的变换规则3923二次曲面与变换规则40231基本性质40232二次曲面的对偶42233绝对二次曲线与绝对二次曲面4524空间射影变换群的子群49241仿射变换群491242相似变换群51243等距变换群52244二次曲面分类5325射影坐标系与射影坐标变换56第3章摄像机几何31摄像机模型59311摄像机模型59312摄像机矩阵元素的几何意义63313摄像机矩阵估计66314欧氏空间与射影空间6732投影与反投影69321空间点69322空间直线70323空间平面72324二次曲线73325二次曲面7433恢复平面景物的几何结构77331仿射结构77332相似结构78333绝对欧氏结构79第4章两视点几何41基本矩阵81411极几何81412基本矩阵83413几何解释8742单应矩阵88421单应矩阵88422与基本矩阵的关系91423不动点与不动线9343基本矩阵估计944318点算法94432最小点对应算法9644恢复摄像机矩阵97441射影相关97441摄像机矩阵的恢复100第5章自标定理论51正交性与摄像机内参数1012511影消点与影消线101512摄像机内参数10252圆环点与摄像机内参数105521内参数约束方程105522确定圆环点的图像105523圆环点与正交方向10753平行性与摄像机内参数108531平行四边形的射影108532平行六面体的射影111532摄像机内参数11354kruppa方程与摄像机内参数117541kruppa方程117542由kruppa方程求焦距11955绝对二次曲线与摄像机内参数121551基本约束方程121552变化内参数121553恒定内参数122554尺度因子计算公式12356绝对二次曲面与摄像机内参
目录
第1章 第2章
第一篇 射影几何
平面射影几何 1.1 射影平面--------------------------------------------------- 3
1.1.1 射影平面----------------------------------------------- 3 1.1.2 两点、两线的叉积--------------------------------------- 5 1.1.3 共线点、共点线的交比----------------------------------- 5 1.2 二次曲线-------------------------------------------------- 8 1.2.1 矩阵表示--------------------------------------------- 9 1.2.2 切线------------------------------------------------- 9 1.2.3 配极对应--------------------------------------------- 10 1.2.4 对偶二次曲线----------------------------------------- 13 1.2.5 圆环点及其对偶--------------------------------------- 14 1.3 二维射影变换--------------------------------------------- 16 1.3.1 二维射影变换----------------------------------------- 16 1.3.2 直线与二次曲线的射影变换----------------------------- 20 1.4 变换群与不变量------------------------------------------- 21 1.4.1 等距变换群------------------------------------------- 21 1.4.2 相似变换群------------------------------------------- 23 1.4.3 仿射变换群------------------------------------------- 24 1.4.4 射影变换群------------------------------------------- 27 空间射影几何 2.1 射影空间------------------------------------------------- 31 2.1.1 空间点----------------------------------------------- 31 2.1.2 空间平面--------------------------------------------- 31 2.1.3 空间直线--------------------------------------------- 34 2.1.4 共线平面束的交比------------------------------------- 37 2.2 三维射影变换--------------------------------------------- 38 2.2.1 三维射影变换----------------------------------------- 38 2.2.2 平面与直线的变换规则--------------------------------- 39 2.3 二次曲面与变换规则--------------------------------------- 40 2.3.1 基本性质--------------------------------------------- 40 2.3.2 二次曲面的对偶--------------------------------------- 42 2.3.3 绝对二次曲线与绝对二次曲面--------------------------- 45 2.4 空间射影变换群的子群------------------------------------- 49 2.4.1 仿射变换群------------------------------------------- 49
计算机视觉中的数学方法
内容简介
本书由射影几何、矩阵与张量、模型估计三个部分组成，它们是三维计算机视觉所涉及到 的基本数学理论与方法。I. 射影几何学是三维计算机视觉的数学理论基础，是从事计算机视觉 研究所必备的数学知识。本书着重介绍射影几何学和它在视觉中的应用，主要内容包括：平面 与空间射影几何，摄像机几何，两视点几何，自标定技术和三维重构理论。II. 矩阵与张量是描 述和解决计算机视觉问题的必要数学工具，视觉领域研究人员都应该掌握这门数学。本书着重 介绍与视觉有关的矩阵、张量理论与它的应用，主要内容包括：矩阵分解，矩阵分析，张量代 数，运动与结构，多视点张量。III. 模型估计是三维计算机视觉的基本问题，通常涉及到变换或 某种数学量的估计。本书着重介绍与视觉估计有关的数学理论与方法，主要内容包括：迭代优 化理论，参数估计理论，视觉估计的代数方法、几何方法、鲁棒方法和贝叶斯方法。上述三部 分涉及的数学内容是相对独立的，但三维计算机视觉将它们组成一个有机的整体。通过阅读本 书，读者能掌握三维计算机视觉中的基本数学内容与方法，增强数学素养、提高分析和解决视 觉问题的数学能力。
2பைடு நூலகம்
第6章
5.1.1 影消点与影消线--------------------------------------- 101 5.1.2 摄像机内参数----------------------------------------- 102 5.2 圆环点与摄像机内参数------------------------------------- 105 5.2.1 内参数约束方程--------------------------------------- 105 5.2.2 确定圆环点的图像------------------------------------- 105 5.2.3 圆环点与正交方向------------------------------------- 107 5.3 平行性与摄像机内参数------------------------------------- 108 5.3.1 平行四边形的射影------------------------------------- 108 5.3.2 平行六面体的射影------------------------------------- 111 5.3.2 摄像机内参数----------------------------------------- 113 5.4 Kruppa 方程与摄像机内参数--------------------------------- 117 5.4.1 Kruppa 方程------------------------------------------- 117 5.4.2 由 Kruppa 方程求焦距---------------------------------- 119 5.5 绝对二次曲线与摄像机内参数------------------------------- 121 5.5.1 基本约束方程----------------------------------------- 121 5.5.2 变化内参数------------------------------------------- 121 5.5.3 恒定内参数------------------------------------------- 122 5.5.4 尺度因子计算公式------------------------------------- 123 5.6 绝对二次曲面与摄像机内参数------------------------------- 125 5.6.1 基本约束方程----------------------------------------- 125 5.6.1 约束的等价性----------------------------------------- 126 三维重构理论 6.1 三角原理------------------------------------------------- 130 6.2 基本矩阵与射影重构--------------------------------------- 132 6.3 无穷远平面与仿射重构------------------------------------- 133 6.4 绝对二次曲线与度量重构----------------------------------- 135 6.5 绝对二次曲面与度量重构----------------------------------- 138 6.6 实现分层重构的实例--------------------------------------- 140 6.6.1 仿射点对应------------------------------------------- 141 6.6.2 准仿射重构------------------------------------------- 142 6.6.3 仿射重构--------------------------------------------- 143 6.6.4 度量重构--------------------------------------------- 146 6.7 多摄像机系统标定----------------------------------------- 147 6.7.1 一维标定物------------------------------------------- 147 6.7.2 确定仿射摄像机矩阵----------------------------------- 148 6.7.3 确定欧氏摄像机矩阵----------------------------------- 149
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2.4.2 相似变换群------------------------------------------- 51 2.4.3 等距变换群------------------------------------------- 52 2.4.4 二次曲面分类----------------------------------------- 53 2.5 射影坐标系与射影坐标变换--------------------------------- 56 第 3 章 摄像机几何 3.1 摄像机模型----------------------------------------------- 59 3.1.1 摄像机模型------------------------------------------- 59 3.1.2 摄像机矩阵元素的几何意义----------------------------- 63 3.1.3 摄像机矩阵估计--------------------------------------- 66 3.1.4 欧氏空间与射影空间----------------------------------- 67 3.2 投影与反投影--------------------------------------------- 69 3.2.1 空间点----------------------------------------------- 69 3.2.2 空间直线--------------------------------------------- 70 3.2.3 空间平面--------------------------------------------- 72 3.2.4 二次曲线--------------------------------------------- 73 3.2.5 二次曲面--------------------------------------------- 74 3.3 恢复平面景物的几何结构----------------------------------- 77 3.3.1 仿射结构--------------------------------------------- 77 3.3.2 相似结构--------------------------------------------- 78 3.3.3 绝对欧氏结构----------------------------------------- 79 第 4 章 两视点几何 4.1 基本矩阵------------------------------------------------- 81 4.1.1 极几何----------------------------------------------- 81 4.1.2 基本矩阵--------------------------------------------- 83 4.1.3 几何解释--------------------------------------------- 87 4.2 单应矩阵------------------------------------------------- 88 4.2.1 单应矩阵--------------------------------------------- 88 4.2.2 与基本矩阵的关系------------------------------------- 91 4.2.3 不动点与不动线--------------------------------------- 93 4.3 基本矩阵估计--------------------------------------------- 94 4.3.1 8－点算法-------------------------------------------- 94 4.3.2 最小点对应算法--------------------------------------- 96 4.4 恢复摄像机矩阵------------------------------------------- 97 4.4.1 射影相关--------------------------------------------- 97 4.4.1 摄像机矩阵的恢复------------------------------------- 100 第 5 章 自标定理论 5.1 正交性与摄像机内参数------------------------------------- 101
目录第一篇射影几何第1章平面射影几何11射影平面3111射影平面3112两点两线的叉积5113共线点共点线的交比512二次曲线8121矩阵表示9122切线9123配极对应10124对偶二次曲线13125圆环点及其对偶1413二维射影变换16131二维射影变换16132直线与二次曲线的射影变换2014变换群与不变量21141等距变换群21142相似变换群23143仿射变换群24144射影变换群27第2章空间射影几何21射影空间31211空间点31212空间平面31213空间直线34214共线平面束的交比3722三维射影变换38221三维射影变换38222平面与直线的变换规则3923二次曲面与变换规则40231基本性质40232二次曲面的对偶42233绝对二次曲线与绝对二次曲面4524空间射影变换群的子群49241仿射变换群491242相似变换群51243等距变换群52244二次曲面分类5325射影坐标系与射影坐标变换56第3章摄像机几何31摄像机模型59311摄像机模型59312摄像机矩阵元素的几何意义63313摄像机矩阵估计66314欧氏空间与射影空间6732投影与反投影69321空间点69322空间直线70323空间平面72324二次曲线73325二次曲面7433恢复平面景物的几何结构77331仿射结构77332相似结构78333绝对欧氏结构79第4章两视点几何41基本矩阵81411极几何81412基本矩阵83413几何解释8742单应矩阵88421单应矩阵88422与基本矩阵的关系91423不动点与不动线9343基本矩阵估计944318点算法94432最小点对应算法9644恢复摄像机矩阵97441射影相关97441摄像机矩阵的恢复100第5章自标定理论51正交性与摄像机内参数1012511影消点与影消线101512摄像机内参数10252圆环点与摄像机内参数105521内参数约束方程105522确定圆环点的图像105523圆环点与正交方向10753平行性与摄像机内参数108531平行四边形的射影108532平行六面体的射影111532摄像机内参数11354kruppa方程与摄像机内参数117541kruppa方程117542由kruppa方程求焦距11955绝对二次曲线与摄像机内参数121551基本约束方程121552变化内参数121553恒定内参数122554尺度因子计算公式12356绝对二次曲面与摄像机内参
目录
第1章 第2章
第一篇 射影几何
平面射影几何 1.1 射影平面--------------------------------------------------- 3
1.1.1 射影平面----------------------------------------------- 3 1.1.2 两点、两线的叉积--------------------------------------- 5 1.1.3 共线点、共点线的交比----------------------------------- 5 1.2 二次曲线-------------------------------------------------- 8 1.2.1 矩阵表示--------------------------------------------- 9 1.2.2 切线------------------------------------------------- 9 1.2.3 配极对应--------------------------------------------- 10 1.2.4 对偶二次曲线----------------------------------------- 13 1.2.5 圆环点及其对偶--------------------------------------- 14 1.3 二维射影变换--------------------------------------------- 16 1.3.1 二维射影变换----------------------------------------- 16 1.3.2 直线与二次曲线的射影变换----------------------------- 20 1.4 变换群与不变量------------------------------------------- 21 1.4.1 等距变换群------------------------------------------- 21 1.4.2 相似变换群------------------------------------------- 23 1.4.3 仿射变换群------------------------------------------- 24 1.4.4 射影变换群------------------------------------------- 27 空间射影几何 2.1 射影空间------------------------------------------------- 31 2.1.1 空间点----------------------------------------------- 31 2.1.2 空间平面--------------------------------------------- 31 2.1.3 空间直线--------------------------------------------- 34 2.1.4 共线平面束的交比------------------------------------- 37 2.2 三维射影变换--------------------------------------------- 38 2.2.1 三维射影变换----------------------------------------- 38 2.2.2 平面与直线的变换规则--------------------------------- 39 2.3 二次曲面与变换规则--------------------------------------- 40 2.3.1 基本性质--------------------------------------------- 40 2.3.2 二次曲面的对偶--------------------------------------- 42 2.3.3 绝对二次曲线与绝对二次曲面--------------------------- 45 2.4 空间射影变换群的子群------------------------------------- 49 2.4.1 仿射变换群------------------------------------------- 49