【优选整合】苏教版高中数学高三二轮专题07线性规划与基本不等式测试.doc

第1讲基本不等式与线性规划
一、填空题
'2x+3y—3三0,
1.（2017-全国II卷改编）设兀，y满足约束条件<2兀一3y+3N0,则z=2x+y的最小值是<}?+3>0,
解析可行域如图阴影部分所示，当直线2兀+z经过点A（—6, —3）时，所求最小值为T5.
、）二_2 兀+z
答案T5
2. _______________________________________________ 若0<无<1,则当
/（x）=x（4-3x）取得最大值时%的值为_________________________ .
11（3x+4 —4
解析因为0<尤<1,所以/⑴=兀（4一3尤）=亍<3兀（4—3兀）£亍<（~ -J =-,当且仅当3兀
2 =4—3兀，即％=彳时取等号.
嗾安 -
口木3
3.（2017-海门中学检测）已知d>0, b>0, a,方的等比中项是1,且m=b+^, n=a+^,则
m~\~n的最小值是________ .
解析由题意知ab=\,所以?n=b+£=2b, n=a+^=2a,所以m+n = 2（a+b）^4y[ab
=4,当且仅当d=b=l时取等号.
答案4
4.（2017-宿迁调研）若实数兀，y满足xy+3x=3^0<x<|j,贝氏+占的最小值是 __________ .
3 1 3 1
解析由厂+3兀=3可得y+3=p又0<卅运，则y+3>6, y>3,所以匚+芦=『+3 +
、丄3 =(V-3)+、,J_3+(y —3) ^J_^ + 6 = 8,当且仅当 y=4 时取等号，故中+丫厶的 最小值是8.
答案8
x>l,
5. (2017-无锡期末)设不等式组｛兀一)00,表示的平面区域为M,若直线y=kx~2上存在M 、
x+)04
内的点，则实数k 的取值范围为 _______ .
解析 平面区域M 是以点(1, 1), (1, 3)和(2, 2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线丁= y 十2 kx_2,即k=^—表示区域M 内的点(兀，y)与点(0, —2)连线的斜率.当经过点(2, 2)时，£取 得最小值2；当经过点(1, 3)时，k 取得最大值5,故实数k 的取值范围为［2, 5］.
答案[2, 5]
6•已知 x, >ER,且 x 2+2xy+4y 2 = 69 贝ij z=x 1+4y 2
的取值范围是 __________ .
& + 4 丫2 工2 4 丫2
解析 因为 2xy =6—(x 2+4y 2),而 2x )W ，所以 6 — (x 2+4y 2),所以 x 2 +
4于$4,当且仅当x=2y 时取等号，又因为(x+2y)2 = 6+2xy20,即2兀6,所以z=x 2 +
4J / = 6—2xyW12.综上可得 4.
答案[4, 12] 7. ____________________________________________________________ (2017-北京卷)已知心0,庐0,且x+y=l f 则?+/的取值范围是 _________________________________ ・
解析 法一 Vx^O,
0 且 x+y = 1./.2y[x)^x+y = 1,从而 0WxyW*,因此 x 2+y 2 = (x+y)2—2xy = 1—2xy,所以㊁£/+)?£i.
法二 可转化为线段AB±的点到原点距离平方的范围，AB 原点距
离的范围为［半，1 ,则x 2+/的取值范围为甘，1. 答案住，1
8. (2016-全国I 卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、
乙两种新型材料.生产一件
产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料lkg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙 材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品8的利润为900元. 该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产 品B 的利润之和的最大值为 元.
上的点到
y O A
解析 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元,
目标函数为z=2 100x+900y.
作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内（包括边界）的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 10（h+900y 经过点M 时，z 取得最大值. fl0x+3y=900,
联立方程组仁， 得M 的坐标为（60, 100）, 15 无+3y=600,
所以当x=60, y=100时，
z max = 2 100x60+900x100 = 216 000（元）.
答案216 000
二、解答题
"2 兀一y +1>0,
9.
设关于x, y 的不等式组<x+m<0, 表示的平面区域
内存在点卩（也，沟），满足也一 ^y —nt>0
2刃）=2,求实数加的取值范围.
解先根据约束条件
^2x~y+1>0,
< x+m<09
画出可行域（图略），
j —加 >0
要使可行域存在，必有m<-2m+l,要求可行域包含直线y=Y~ 1上的点，只要边界点 "1.5 兀+0.5*150,
兀+0.3 必 90, 5兀+3)0600,
jGN, yWN,
「3x+)W300, 10x+3j<900,
5x+3)
<600,
（—〃2, 1—2加）在直线y=*—1的上方，且（一加，加）在直线y=*—1的卜方，
r m< —2m+1，
故得不等式组V 1—2加>—尹一1,解之得肌<—|.
m<—^nr— 1,
故实数加的取值范围是（一◎—扌）
10.（1）当点（x，y）在直线兀+3y—4 = 0上移动时，求3"+27〉'+2的最小值；
（2）已知兀，y都是止实数，且兀+y—3xy+5 = 0,求小的最小值.
解（1）由兀+3），—4 = 0,得兀+3y=4,
所以3”+27）'+2 = 3“+3"+2上2百芋+2=2好莎+2 = 2好+2 = 20,
当且仅当3V=33V且x+3y—4 = 0,即兀=2, 彳时取等号，此时所求的最小值为20.
（2）由兀+y—3xy+5 = 0,得x+y+5 = 3与，
所以2ylxy+5^x+y+5 = 3xy,
所以3xy—2y[xy'—5 0,
所以1）（3&^—5）20,
所以7云鼻亍，即xy^-g-,
5 ?5
当且仅当兀=y=扌时取等号，故厂的最小值是等.
11.（2017-天津卷）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.己知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用无，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（1）用兀，y列出满足题目条件的数学关系式，并画岀相应的平面区域；
（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解(1)由已知，兀，y 满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
⑵设总收视人次为Z 万，则目标函数为z=60x+25y.
又因为兀，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z=6(k+25y 经过可行域上的点M 时，截距去最大，即z 最大.
解方程组J 7x +6＞，-60'得点M 的坐标为(6, 3). [x —2y=0,
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 厂 70兀
+60)0600, 5兀+5吃30, <
x<2y,
x>0, <y>0, F+6)060, x+y>6, 即< x-2><0,
%>0, <y>0,
线, 考虑 z=6(k+25.y, 将它变形为y= 一¥尤+衣' 京为直线在y 轴上的截距, 12 这是斜率为一¥，
当圭取得最大值时，Z 的值最大.
随Z 变化的一族平行直 .V。