【数学】山西省大同市云冈区2020届高三一模考试试题(文)(解析版)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）求圆 的方程；
（2）若过点 作斜率为 的直线 交圆 于 ， 两点， 为坐标原点，且直线 ， 的斜率乘积 满足 ，求直线 的方程.
(一)必考题：共60分.
17.已知在 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 外接圆的半径.
解：（1） ，
由正弦定理得： ，
，
又
又 ，
；
（2）设 外接圆的半径为 ，
，
∴由正弦定理得：
外接圆的半径为 .
18.如图，在四棱锥 中，底面四边形ABCD是菱形， ， 平面 ， ，E，F分别为AB，PD的中点.
（1）求证： 平面PEC；
（2）求点D到平面PEC的距离.
（1）证明：取 中点 ，连结 ， ，
底面四边形ABCD是菱形， ， 平面ABCD，
，E，F分别为AB，PD的中点.
且 ，
四边形AEMF是平行四边形，
，
平面PEC， 平面PEC，
平面PEC.
（2）解： 底面四边形ABCD是菱形， 平面ABCD，
故选：B.
6.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知中的程序语句可知：
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，
可得：
故选：C.
7.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，几何体是球的 ，
的坐标 .
由抛物线的对称性，假设直线 的斜率大于 ，
设直线AB的方程为： ，
设 ，在 轴上方，即 ，
联立直线与抛物线的方程可得： ，消掉
可得： ，
①
若 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
故 ，可得 ，
代入①可得
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得： ；
故答案为： .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
球的半径为 ，
几何体的表面积为： .
故选：D.
8.已知函数 ，则函数 的零点的个数为（）
A. 3B. 2ห้องสมุดไป่ตู้. 4D. 1
【答案】A
【解析】 函数 图象是将函数 先关于 轴对称，再将图象向右移动一个单位得到，
作出 图象如图：
根据图象可知，共有3个零点，
故选：A
9.已知函数 的最小正周期为 ，若 ，则函数 图象的对称轴方程为（）
令 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点A时，直线 的截距最大，
此时z最大.
由 ，解得 ，即 ，
代入 得 .
即目标函数 的最大值是 .
故答案为： .
16.已知抛物线 的焦点为 ，其准线交 轴于点 ，过点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 ___________.
【答案】8.
【解析】由抛物线的方程可得：焦点 ，准线方程为 ，
【答案】
【解析】联立 ，得 ；
联立 ，得 ，
函数 图象始终在 图象上方，
，
令 ，
则 ，
解得 ，
当 时 单调递减，
当 时， 单调递增，
最小值为 .
故答案为： .
15.若实数x，y满足不等式组 ，则 的最大值是___________.
【答案】256.
【解析】 实数 满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.
男生平均每天运动的时间
人数
2
12
23
18
10
x
女生平均每天运动的时间
人数
5
12
18
10
3
y
（1）求实数 的值；
（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围 的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.
解：（1）男生14000人，女生10000人，男数 女数 ，
故男生抽取了 人，女生抽取了50人，由 ，
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ，
由于 ，
则 是直角三角形， ，
根据 ，则 ，
，
，
.
故选：A.
12.定义在 上的单调函数 对任意的 都有 ，则不等式 的解集为（）
A. 或 B.
C. D.
【答案】A
【解析】令 ，则 ，所以 ，又因为 ，所以 ，解得 ，可得 ，所以 是增函数，由 ，则 ，所以 ，解得 ．故本题选 ．
，E，F分别为AB，PD的中点.
，
，
，
，
设点D到平面PEC的距离为h.
，
，
，
解得 .
∴点D到平面PEC的距离为 .
19.已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：
【答案】D
【解析】向量 ，
，
又 ，
，
解得： .
故选：D.
4.已知等差数列 满足 ，则 （）
A B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】由题知 ，即 ，得 ，解得 ．故本题答案选 ．
5.若在区间 上随机地取一个数 ，则“ ”的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
解得： .
在区间 上随机地取一个数 ，“ ”的概率为：
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 为数列 的前 项和，若 ，则数列 的通项公式为___________.
【答案】
【解析】 为数列 的前 项和， ①
时， ②
① ②，得： ，
，
，
数列 的通项公式为 .
故答案为： .
14.若直线 交抛物线 、函数 的图象分别于 两点，则线段 长的最小值是___________.
山西省大同市云冈区2020届高三一模考试数学试题（文）
一、选择题
1.若集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
2.已知i是虚数单位，则 的共轭复数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
的共轭复数是 .
故选：B.
3.已知向量 ，若 ，则实数m的值为（）
A. B.﹣4C. 4D.
；
（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围 的人中，有男生2，女生5人，共有7人
设男生为 ,女生为：
随机抽取2人不相同的情况有：
,总共有 种选法
性别不同的(即一男生一女生)有：
，共 种选法，
随机抽取 人，“被抽取的 人性别不相同”的事件为 ，
故 .
20.已知圆 的圆心坐标为 ，直线 被圆C截得的弦长为 .
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 函数 的最小正周期为 ，
，
的图象经过点 .可得 ，
，或 ，
，
故 ，
，
由 ，
得： ，
故选：C.
10.函数 在区间 上 图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，函数 ，
有 ，排除A，
又由 ，排除C、D，
故只有B符合题意
故选：B
11.已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，若双曲线 上存在点 使 ， ，则双曲线 的离心率为（）
（2）若过点 作斜率为 的直线 交圆 于 ， 两点， 为坐标原点，且直线 ， 的斜率乘积 满足 ，求直线 的方程.
(一)必考题：共60分.
17.已知在 中，角 的对边分别为 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 外接圆的半径.
解：（1） ，
由正弦定理得： ，
，
又
又 ，
；
（2）设 外接圆的半径为 ，
，
∴由正弦定理得：
外接圆的半径为 .
18.如图，在四棱锥 中，底面四边形ABCD是菱形， ， 平面 ， ，E，F分别为AB，PD的中点.
（1）求证： 平面PEC；
（2）求点D到平面PEC的距离.
（1）证明：取 中点 ，连结 ， ，
底面四边形ABCD是菱形， ， 平面ABCD，
，E，F分别为AB，PD的中点.
且 ，
四边形AEMF是平行四边形，
，
平面PEC， 平面PEC，
平面PEC.
（2）解： 底面四边形ABCD是菱形， 平面ABCD，
故选：B.
6.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知中的程序语句可知：
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，
可得：
故选：C.
7.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，几何体是球的 ，
的坐标 .
由抛物线的对称性，假设直线 的斜率大于 ，
设直线AB的方程为： ，
设 ，在 轴上方，即 ，
联立直线与抛物线的方程可得： ，消掉
可得： ，
①
若 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
故 ，可得 ，
代入①可得
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得： ；
故答案为： .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
球的半径为 ，
几何体的表面积为： .
故选：D.
8.已知函数 ，则函数 的零点的个数为（）
A. 3B. 2ห้องสมุดไป่ตู้. 4D. 1
【答案】A
【解析】 函数 图象是将函数 先关于 轴对称，再将图象向右移动一个单位得到，
作出 图象如图：
根据图象可知，共有3个零点，
故选：A
9.已知函数 的最小正周期为 ，若 ，则函数 图象的对称轴方程为（）
令 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点A时，直线 的截距最大，
此时z最大.
由 ，解得 ，即 ，
代入 得 .
即目标函数 的最大值是 .
故答案为： .
16.已知抛物线 的焦点为 ，其准线交 轴于点 ，过点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 ___________.
【答案】8.
【解析】由抛物线的方程可得：焦点 ，准线方程为 ，
【答案】
【解析】联立 ，得 ；
联立 ，得 ，
函数 图象始终在 图象上方，
，
令 ，
则 ，
解得 ，
当 时 单调递减，
当 时， 单调递增，
最小值为 .
故答案为： .
15.若实数x，y满足不等式组 ，则 的最大值是___________.
【答案】256.
【解析】 实数 满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.
男生平均每天运动的时间
人数
2
12
23
18
10
x
女生平均每天运动的时间
人数
5
12
18
10
3
y
（1）求实数 的值；
（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围 的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.
解：（1）男生14000人，女生10000人，男数 女数 ，
故男生抽取了 人，女生抽取了50人，由 ，
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ，
由于 ，
则 是直角三角形， ，
根据 ，则 ，
，
，
.
故选：A.
12.定义在 上的单调函数 对任意的 都有 ，则不等式 的解集为（）
A. 或 B.
C. D.
【答案】A
【解析】令 ，则 ，所以 ，又因为 ，所以 ，解得 ，可得 ，所以 是增函数，由 ，则 ，所以 ，解得 ．故本题选 ．
，E，F分别为AB，PD的中点.
，
，
，
，
设点D到平面PEC的距离为h.
，
，
，
解得 .
∴点D到平面PEC的距离为 .
19.已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：
【答案】D
【解析】向量 ，
，
又 ，
，
解得： .
故选：D.
4.已知等差数列 满足 ，则 （）
A B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】由题知 ，即 ，得 ，解得 ．故本题答案选 ．
5.若在区间 上随机地取一个数 ，则“ ”的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
解得： .
在区间 上随机地取一个数 ，“ ”的概率为：
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 为数列 的前 项和，若 ，则数列 的通项公式为___________.
【答案】
【解析】 为数列 的前 项和， ①
时， ②
① ②，得： ，
，
，
数列 的通项公式为 .
故答案为： .
14.若直线 交抛物线 、函数 的图象分别于 两点，则线段 长的最小值是___________.
山西省大同市云冈区2020届高三一模考试数学试题（文）
一、选择题
1.若集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
2.已知i是虚数单位，则 的共轭复数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
的共轭复数是 .
故选：B.
3.已知向量 ，若 ，则实数m的值为（）
A. B.﹣4C. 4D.
；
（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围 的人中，有男生2，女生5人，共有7人
设男生为 ,女生为：
随机抽取2人不相同的情况有：
,总共有 种选法
性别不同的(即一男生一女生)有：
，共 种选法，
随机抽取 人，“被抽取的 人性别不相同”的事件为 ，
故 .
20.已知圆 的圆心坐标为 ，直线 被圆C截得的弦长为 .
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 函数 的最小正周期为 ，
，
的图象经过点 .可得 ，
，或 ，
，
故 ，
，
由 ，
得： ，
故选：C.
10.函数 在区间 上 图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，函数 ，
有 ，排除A，
又由 ，排除C、D，
故只有B符合题意
故选：B
11.已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，若双曲线 上存在点 使 ， ，则双曲线 的离心率为（）