2020年江西中考数学三模试题(附带详细解析)

…………外…………………○…__
_
__
___
_
_班级…
…
…
…
内
…
…
…
…
…
…
…○
…
绝密★启用前 2020年江西中考数学三模试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知a ＞b ，若c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（） A ．a+c ＜b+c B ．a ﹣c ＞b ﹣c C ．ac ＜bc D ．ac ＞bc 2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A ．四棱锥 B ．四棱柱 C ．三棱锥 D ．三棱柱 3．下面的计算正确的是（ ） A ．6a ﹣5a ＝1 B ．a +2a 2＝3a 3 C ．﹣（a ﹣b ）＝﹣a +b D ．2（a +b ）＝2a +b 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是¶CD 上一点，且¶¶DF BC ，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ．若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E 的度数为（ ）
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
※
在
※
※
装
※
※
订
※
※
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
※
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
5．对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣
21
(1)
n
n n
+
+
x+
1
n(n1)
+
与x轴交于A n、B n两点，
以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（）
A．
2015
2016
B．
2016
2017
C．
2017
2018
D．1
6．如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的
半径r的函数图象大致是()
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
7．2020年春节黄金周某市共接待游客2234000人次，将2234000用科学记数法表示为
_____．
8．若关于x，y的二元一次方程组
231
22
x y k
x y
+=-+
⎧
⎨
+=
⎩
的解满足x＋y＞2，则k的取值范
围是________．
9．一组数据1，3，2，5，2，a的众数是a，这组数据的中位数是.
10．如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得
到△MNC,连接BM,则BM的长是__.
…外……○…………订…○……………………○……_班级：__
___
_
___
_
_考号：_
…
内
…
…
○
…
…
…
…
订…
○
…
…………………○…… 11．如图，某数学兴趣小组将周长为12的正方形铁丝框变形为一个扇形框，则所得扇形的面积的最大值为_______．
12．如图，平面直角坐标系中，已知点A （8，0）和点B （0，6），点C 是AB 的中点，点P 在折线AOB 上，直线CP 截△AOB ，所得的三角形与△AOB 相似，那么点P 的坐标是_____． 三、解答题 13．（1﹣2cos45°+（12-）﹣1-2| （2）化简：（a 2﹣a ）÷2211a a a -+-． 14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD=∠B． (1)求证：△ABP∽△PCD； (2)若AB=10，BC=12，当PD∥AB 时，求BP 的长． 15．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，
…○…………装……………………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※答※※题※※ …○…………装……………………○…………（1）用适当的方法写出点A （x ，y ）的所有情况． （2）求点A 落在第三象限的概率． 16．如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 均在⊙O 上，请仅用无刻度的直尺按要求作图． （1）AB 边经过圆心O ，在图（1）中作一条与AD 边平行的直径； （2）AB 边不经过圆心O ，DC 与⊙O 相切于点D ，在图（2）中作一条与AD 边平行的弦．
17．如图，⊙P 的圆心为P （﹣3，2），半径为3，直线MN 过点M （5，0）且平行于y 轴，点N 在点M 的上方．
（1）在图中作出⊙P 关于y 轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN 的位置关系．
（2）若点N 在（1）中的⊙P′上，求PN 的长．
18．菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每4年评选一次，颁给有卓越贡献的年轻数学家，被视为数学界的诺贝尔奖．下面的数据是从1936年至2014年45岁以下菲尔兹奖得住获奖时的年龄（岁）：39 35 33 39 27 33 35 31 31 37 32 38
36 31 39 32 38 37 34 34 38 32 35 36 33 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40 36 36 37 31 38 38 37 35 40 39 37
请根据以上数据，解答以下问题：
（1）小彬按“组距为5”列出了如下的频数分布表，每组数据含最小值不含最大值，请将
……○…………装………订…………○……………○……学校:
___
___
_
_
__
_姓名__
_
___
_
_考号：_
_____
__
___
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
订…
…
…
…
○
…
…………○…… （2）在（1）的基础上，小彬又画出了如图所示的扇形统计图，图中B 组所对的圆心角的度数为 ； （3）根据（1）中的频数分布直方图试描述这50位菲尔兹奖得主获奖时的年龄的分布特征．
19．如图所示的益智玩具由一块主板AB 和一个支撑架CD 组成，其侧面示意图如图1所示，测得AB ⊥BD ，AB=40cm ，CD=25cm ，点C 为AB 的中点．现为了方便儿童操作，需调整玩具的摆放，将AB 绕点B 顺时针旋转，CD 绕点C 旋转，同时点D 做水平滑动(如图2)，当点C 1到BD 的距离为10cm 时停止运动，求点A 经过的路径的长和点D 滑动的距离．(≈1．732， ≈4．583，π≈3．142) 20．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的对角线BO 在x 轴上，若正方形ABCO 的边长为，点B 在x 负半轴上，反比例函数的图象经过C 点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若点P 是反比例函数上的一点，且△PBO 的面积恰好等于正方形ABCO 的面积，求点P 的坐标．
○…………………○………线…………○……※※在※※装※※订※※线※○…………………○………线…………○…… 21．已知AB 是⊙O 的弦，点P 是优弧AB 上的一个动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线，交PB 的延长线于点C ． (1)如图1，AC 与⊙O 相交于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交PC 于点E ，若DE∥AB，求证：PA=PB ；
(2)如图2，已知⊙O 的半径为2，
①当点P 在优弧AB 上运动时，∠C 的度数为 °；
②当点P 在优弧AB 上运动时，△ABP 的面积随之变化，求△ABP 面积的最大值；
③当点P 在优弧AB 上运动时，△ABC 的面积随之变化，△ABC 的面积的最大值为 ．
22．已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是y 1＝－ax 2－ax ＋1，y 2＝ax 2－ax －1(其中a 为常数，且a ＞0)．
（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
（2）当a ＝1
2时，设y 1＝－ax 2－ax ＋1与x 轴分别交于M ，N 两点(M 在N 的左边)，
y 2＝ax 2－ax －1与x 轴分别交于E ，F 两点(E 在F 的左边)，观察M ，N ，E ，F 四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
（3）设上述两条抛物线相交于A ，B 两点，直线l ，l 1，l 2都垂直于x 轴，l 1，l 2分别经过A ，B 两点，l 在直线l 1，l 2之间，且l 与两条抛物线分别交于C ，D 两点，求线段CD 的最大值？
…………○…………线考号：_
_____
__
___
…
…
…
…
○
…
………线23．如图，点A ，B ，C 都在抛物线y=ax 2﹣2amx+am 2+2m ﹣5（其中﹣14＜a ＜0）上，AB ∥x 轴，∠ABC=135°，且AB=4． （1）填空：抛物线的顶点坐标为 （用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积（用含a 的代数式表示）； （3）若△ABC 的面积为2，当2m ﹣5≤x≤2m ﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，应用排除法分别将各选项分析求解即可求得答案.
【详解】
A、∵a＞b，c是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误；
B、∵a＞b，c是任意实数，∴a﹣c＞b﹣c，故本选项正确；
C、当a＞b，c＜0时，ac＜bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；
D、当a＞b，c＞0时，ac＞bc，而此题c是任意实数，故本选项错误．
故选B.
2．D
【解析】
由三视图判断几何体．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得为棱柱体．所以这个几何体是三棱柱．故选D．
3．C
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、去括号的法则和乘法分配律分别判断即可.
【详解】
解：A. 6a﹣5a＝a，所以本选项错误；
B. a与2a2不是同类项，不能合并，所以本选项错误；
C. ﹣（a﹣b）＝﹣a+b，所以本选项正确；
D. 2（a+b）＝2a+2b，所以本选项错误.
故选C.
【点睛】
本题考查的是合并同类项和去括号的知识，去括号时要注意符号的变化，熟练掌握法则是解题关键.
4．A
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°．
∵»»
DF BC
=，∠BAC=30°，
∴∠DCE=∠BAC=30°，
∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-30°=45°．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．5．C
【解析】
【分析】
首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到A n B n=11
1
n n
-
+
，进而求出
A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值．【详解】
解：令y=x2-
21
(1)
n
n n
+
+
x+
1
n(n1)
+
=0，
即x2-
21
(1)
n
n n
+
+
x+
1
n(n1)
+
=0，
解得x=1
n
或x=
1
1
n+
，
故抛物线y= x2-
21
(1)
n
n n
+
+
x+
1
n(n1)
+
与x轴的交点为（
1
n
，0），（
1
1
n+
，0），
由题意得A n B n=1
n
-
1
1
n+
，
则A 1B 1+A 2B 2+…+A 2017B 2017=1-12+12-13+…+12017-12018
=1-1
2018=20172018， 故选：C ． 【点睛】
题主要考查了抛物线与x 轴交点的知识，用n 表示出抛物线与x 轴的两个交点坐标是解题的关键． 6．C 【解析】 【分析】
过O 点作两切线的垂线，垂足分别为A 、B ，连接OP ，如图，利用切线的性质得
OA ＝OB ＝r ，根据切线长定理得到∠APO ＝∠BPO ＝30°，则AP ==，再利用四
边形内角和计算出∠AOB ＝120°，接着利用扇形面积公式得到S 1
3
π）r 2（r ＞0），然后根据解析式对各选项进行判断． 【详解】
过O 点作两切线的垂线，垂足分别为A 、B ，连接OP ，如图，则
OA ＝OB ＝r ，∠APO ＝∠BPO ＝30°，∴AP ==．
∵∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，∴S ＝S 四边形AOBP ﹣S 扇形
AOB ＝212⨯r 2120π360
r ⋅⋅-13π）r 2（r ＞0）． 故选C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的图象． 7．2.234×106 【解析】 【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
解：2234000=2.234×106．
故答案为2.234×106．
【点睛】
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
8．k<－1
【解析】
【分析】
两方程相加得出x+y=-k+1，由x+y＞2得到关于k的不等式，解之可得．
【详解】
将方程组中两方程相加可得：3x+3y=-3k+3，
则x+y=-k+1，
∵x+y＞2，
∴-k+1＞2，
解得：k＜-1，
故答案为：k＜-1．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据题意得出关于k的方程是解题的关键．9．2．
【解析】
试题分析：由于众数是出现次数最多的，因此知a=1或2、3、5，当a=2时，把数据排列为
1、2、2、2、3、5，且共6个数据，因此中位数为22
2
2
+
=；当a=1时，把数据排列为1、
1、2、2、3、5，且共6个数据，因此中位数为22
2
2
+
=；当a=3时，把数据排列为1、2、
2、3、3、5，且共6个数据，因此中位数为23
2.5
2
+
=；当a=5时，把数据排列为1、2、2、
3、5、5，且共6个数据，因此中位数为23
2.5
2
+
=.因此中位数为2或2.5.
考点：众数与中位数
10．
【解析】
【分析】
试题分析：首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BM，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AM，∠CAM=60°，故△ACM是等边三角形，可证明△ABM与△CBM全等，可得到∠ABM=45°，∠AMB=30°，再证△AFB和△AFM是直角三角形，然后在根据勾股定理求解
【详解】
解：连结CM，设BM与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BCA=∠BAC=45°
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ANM重合，
∴∠BAC=∠NAM=45°，AC=AM
又∵旋转角为60°
∴∠BAN=∠CAM=60°，
∴△ACM是等边三角形
∴AC=CM=AM=4
在△ABM与△CBM中，
BA BC AM CM BM BM
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∴△ABM≌△CBM （SSS）
∴∠ABM=∠CBM=45°，∠CMB=∠AMB=30°∴在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°∴∠AFB=∠AFM=90°
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF=AF=1
2
=
又在Rt△AFM中，∠AMF=30°，∠AFM=90°
∴
故本题的答案是：
点评：此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用11．9
【解析】
【分析】
由正方形的边长为10，可得BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=1
2
lr，计
算即可．
【详解】
解：如图所示：
∵正方形的周长为12，∴边长为3，
∴»BD的长l=6，
∴S扇形DAB=1
2
lr=
1
2
×6×3=9，
故答案为：9．【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=1
2
lr．
12．（0，3）、（4，0）、（7
4
，0）
【解析】
【分析】
分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
【详解】
解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴AC AP OA AB
=，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴5
=
810
AP
，
∴AP＝25
4
，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣25
4
＝
7
4
，
此时P点坐标为（7
4
，0），
综上所述，满足条件的P 点坐标为（0，3）、（4，0）、（7
4
，0）． 故答案为：（0，3）、（4，0）、（
7
4
，0）
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 13．(1)0;(2)a. 【解析】 【分析】
（1）由于cos45°
=2
，根据最简二次根式、负整数指数幂、绝对值的意义，
（−
12
）-1
、|−2|，再求值计算； （2）先把式子中的多项式因式分解，再按除法法则进行运算． 【详解】
（1）原式﹣2+2
﹣2+2 =0；
（2）原式=a （a ﹣1）×2
1
(1)a a --
=a 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、负整数字数幂的意义、绝对值的意义、
二次根式的加减、多项式的因式分解及分式的除法运算．本题考查的知识点较多，掌握法则是关键．
14．(1)证明见解析；(2)BP=25
3
.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得∠ABC＝∠ACB，∠DPC＝∠BAP，可证△ABP∽△PCD；
（2））由△ABP∽△PCD，可得PC AB
CD BP
=，由PD∥AB，可得
PC BC
CD AC
=，即
AB BC
BP AC
=，
可求BP的长．
【详解】
（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，且
∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠BAP且∠ABC＝∠ACB，∴△BAP∽△CPD．
（2）∵△ABP∽△PCD，∴PC CD
AB BP
=即
PC AB
CD BP
=．
∵PD∥AB，∴PC CD
BC AC
=即
PC BC
CD AC
=，∴
AB BC
BP AC
=，∴
1012
10
BP
=，∴BP
25
3
=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．
15．（1）（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣7，1），（﹣1，1），（3，1），（﹣7，6），
（﹣1，6），（3，6）；（2）2 9 .
【解析】
【分析】
列表法或树状图法，平面直角坐标系中各象限点的特征，概率．
（1）直接利用表格或树状图列举即可解答．
（2）利用（1）中的表格，根据第三象限点（－，－）的特征求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．
【详解】
解：（1）列表如下：
点A（x，y）共9种情况．
（2）∵点A落在第三象限共有（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2）两种情况，
∴点A落在第三象限的概率是2
9
．
16．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC、BD交于点K，过点O、K作直径EF．EF为所求．
（2）连接OD，DO的延长线交AB于T，连接AC、BD交于K，过T、K作弦GH，GH为所求．
【详解】
解：（1）连接AC、BD交于点K，过点O、K作直径EF．
EF为所求．
（2）连接OD，DO的延长线交AB于T，连接AC、BD交于K，过T、K作弦GH，
GH为所求．
【点睛】
本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．（1）作图见解析，⊙P′与直线MN相交；（2）．
【解析】
分析：在平面直角坐标系中，易知点P′的坐标为(3，2)，⊙P′的半径和⊙P的半径相等为3，这样⊙P′就被确定，因为点N在直线MN上，直线MN过(5，0)点且平行于y轴，直线PP′⊥MN，这样利用勾股定理就可求得PN的长度．
解：(1)如图，⊙P′的圆心为(3，2)，半径为3，与直线MN相交．
(2)连接PP′，交直线MN于点A，
∵点P、P′的纵坐标相同，∴PP′∥x轴，
又∵MN∥y轴，∴PP′⊥MN，
∴点A的坐标为(5，2)．
在Rt△P′NA中，P′N＝3，P′A＝5－3＝2.
∴AN
在Rt△PAN中，PA＝5－(－3)＝8，AN
∴PN.
18．（1）1，3，见解析；（2）108°；（3）这56位菲尔兹奖得主获奖时的年龄主要分布在35～40岁
【解析】
【分析】
（1）根据题干中数据可得，由频数分布表中数据可补全直方图；
（2）用30～35岁的人数除以总数可得其百分比，用30～35岁人数所占的比例乘以360°可得；
（3）由频数分布直方图可得答案．
【详解】
解：（1）补全频数分布直方图如下：
分组频数A：25～30 1 B：30～35 15 C：35～40 31 D：40～45 3
总计50 补全频数分布直方图如下：
故答案为：1、3．
（2）图中B组所对的圆心角的度数为360°15 50
=108°，
故答案为：108°；
（3）由频数分布直方图知，这56位菲尔兹奖得主获奖时的年龄主要分布在35～40岁．【点睛】
本题考查了频率分布直方图，读懂题意，根据题意找出每组的人数，列出图表是本题的关键．19．42cm，25cm
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理得出BD的长，再过点C1作C1H⊥BD1于点H，进而得出cm，求出∠ABC1=60°，利用弧长公式求出点A经过的路径的长，再求出D1C1=25cm，C1H=10cm，
进而得出D1H、BD1的长，即可得出答案．【详解】
∵AB=40，点C是AB的中点，
∴BC=1
2
AB=20cm，
∵AB⊥BD，
∴∠CBD=90°，
在Rt△BCD中，BC=20cm，DC=25cm，
∴（cm），过点C1作C1H⊥BD1于点H，
则∠C1HD=C1HD1=90°，
在Rt△BC1H中，BC1=20cm，C1H=10cm，
∴∠C1BH=30°，故，
则∠ABC1=60°，
故点A经过的路径的长为：604040
1803
ππ
⨯
=≈42（m），
在Rt△D1C1H中，D1C1=25cm，C1H=10cm，
∴D1=（cm），
∴BD1=BH+HD1（cm），
∴点D滑动的距离为：BD1-BD=40.235-15=25.235≈25（cm），
答：点D滑动的距离为25m，点A经过的路径的长为42m．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理、弧长公式的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
20．（1）反比例函数解析式为y=16
x
；（2）点P的坐标为（2，8）或（﹣2，﹣8）．
试题分析：（1）连接AC，交x轴于点D，由四边形ABCO为正方形，得到对角线互相平分且垂直，四条边相等，根据正方形的边长，利用勾股定理求出CD，OD的长，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出解析式；
（2）分两种情况考虑：若P1在第一象限的反比例函数图象上，连接P1B，P1O，根据△P1BO 的面积恰好等于正方形ABCO的面积，利用三角形面积公式求出P1的纵坐标，代入反比例解析式即可确定出P1的坐标；若P2在第三象限反比例图象上，连接OP2，BP2，同理确定出P2坐标即可．
试题解析：解：（1）连接AC，交x轴于点D．∵四边形ABCO为正方形，∴AD=DC=OD=BD，
且AC⊥OB．∵正方形ABCO的边长为DC=OD=4，∴C（﹣4，﹣4），把C
坐标代入反比例函数解析式得：k=16，则反比例函数解析式为y=16
x
；
（2）∵正方形ABCO的边长为，∴正方形ABCO的面积为32，分两种情况考虑：
若P1在第一象限的反比例函数图象上，连接P1B，P1O．∵S△P1BO=1
2
BO•|y P|=S正方形ABCO=32，
而OB CO=8，∴1
2
×8×|y P|=32，∴y P1=8，把y=8代入反比例函数解析式得：x=2，
此时P1坐标为（2，8）；
若P2在第三象限反比例图象上，连接OP2，BP2，同理得到y P2=﹣8，把y=﹣8代入反比例
函数解析式得：x=﹣2，此时P2（﹣2，﹣8）．
综上所述：点P的坐标为（2，8）或（﹣2，﹣8）．
点睛：本题属于反比例函数综合题，主要考查了坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式以及勾股定理的综合运用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
21．(1)．
【分析】
（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径可得PD 是直径，结合DE 是切线，DE ∥AB ，可得AB ⊥PD ，利用垂径定理可证．
（2）①只要求出∠AOB 的度数，便可知∠APC 的度数，利用∠C 和∠APC 互余的关系可得∠C 度数；②分析后可以发现：PD ⊥AB 时面积最大；③利用∠C 的数值不变可知点C 在AB 为弦的同一个圆上运动，进而找到C 点在何处可使得△ABC 面积最大，从而求值．
【详解】
（1）如图1，连接DP 交AB 于点F ．
∵CA ⊥AP ，∴DP 是⊙O 的直径．
∵DE 是⊙O 的切线，∴DE ⊥DP ．
又∵DE ∥AB ，∴AB ⊥DP ，∴DP 垂直平分AB （垂径定理），∴P A ＝PB ；
（2）①连接OA 、OB ，由（1）知，DP 垂直平分AB ．
∵AB ＝AF ＝BF =
∵⊙O 的半径是2，∴OA ＝OB ＝2，∴sin ∠AOF
2
AF OA ==AOF ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∴∠APB 12=∠AOB ＝60°． ∵CA ⊥AP ，∴∠C +∠APB ＝90°，∴∠C ＝30°；
②当点P 在优弧AB 上运动时，△ABP 的面积由点P 到AB 的距离决定．
根据图形的性质可知：如图2，当点P 运动到PD ⊥AB 时，PF 即是最大距离．
∵OA ＝2，PD ⊥AB ，∠AOF ＝60°，∴OF ＝1，∴PF ＝OF +OP ＝1+2＝3，∴△ABP 的面积
最大值是：12AB •PF 12
=⨯3＝； ③由①知在变化过程中∠ACB ＝30°恒成立，∴点C 在以AB 为弦的某个圆上运动，设这个圆的圆心为H ，如图3所示．
连接AH 、BH ，∴∠AHB ＝2∠ACB ＝60°
． ∵AH ＝BH ，∴△ABH 是等边三角形．
∵AB ＝⊙H 的半径HA ＝作CG ⊥AB ，显然，当C 点运动到CG 经过圆心H 时△ABC 面积最大．
此时，CG ＝CH +HG ，CH ＝
∵HG ⊥AB ，AB ＝，∴HG ＝AH •sin60°＝3，∴CG ＝3，∴△ABC 面积最大值是：
1
2AB •CG 12
=⨯（3）＝ 【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆的综合应用、三角函数、勾股定理等知识，发现使得面积
最大的点的位置是解决问题的关键，学生须具备较好的图形分析能力．
22．（1）抛物线y1＝－ax2－ax＋1开口向下，或抛物线y2＝ax2－ax－1开口向上；抛物线
y1＝－ax2－ax＋1的对称轴是x＝－1
2
，或抛物线y2＝ax2－ax－1的对称轴是x＝
1
2
；抛物
线y1＝－ax2－ax＋1经过点(0，1)，或抛物线y2＝ax2－ax－1经过点(0，－1)；（2）因为MN ＝3，EF＝3，所以MN＝EF，见解析；（3）2
【解析】
【分析】
（1）根据给出的抛物线的解析式并且结合函数的图象写出三条不同的结论即可；
（2）先将a=1
2
代入抛物线解析式，分别求得M、N、E、F四点坐标，再根据四点坐标写
出合理的结论；
（3）根据题意求出CD关于x的解析式，然后求出当x=0时，CD的值最大．【详解】
解：(1)答案不唯一，只要合理均可．例如：
①抛物线y1＝－ax2－ax＋1开口向下，
或抛物线y2＝ax2－ax－1开口向上；
②抛物线y1＝－ax2－ax＋1的对称轴是x＝
1
2 ，
或抛物线y2＝ax2－ax－1的对称轴是x＝1
2
；
③抛物线y1＝－ax2－ax＋1经过点(0，1)，
或抛物线y2＝ax2－ax－1经过点(0，－1)；
④抛物线y1＝－ax2－ax＋1与y2＝ax2－ax－1的形状相同，但开口方向相反；
⑤抛物线y1＝－ax2－ax＋1与y2＝ax2－ax－1都与x轴有两个交点；
⑥抛物线y1＝－ax2－ax＋1经过点(－1，1)或抛物线y2＝ax2－ax－1经过点(1，－1)；
(2)当a＝1
2
时，y1＝－
1
2
x2－
1
2
x＋1，令－
1
2
x2－
1
2
x＋1＝0，
解得x M＝－2，x N＝1.
y2＝1
2
x2－
1
2
x－1，令
1
2
x2－
1
2
x－1＝0，解得x E＝－1，x F＝2.
①∵x M＋x F＝0，x N＋x E＝0，∴点M与点F关于原点对称，点N与点E关于原点对称；
②∵x M＋x F＋x N＋x E＝0，
∴M，N，E，F四点横坐标的代数和为0；
③∵MN ＝3，EF ＝3，∴MN ＝EF(或ME ＝NF)．
(3)∵a ＞0，∴抛物线y 1＝－ax 2－ax ＋1开口向下，抛物线y 2＝ax 2－ax －1开口向上． 根据题意，得CD ＝y 1－y 2＝(－ax 2－ax ＋1)－(ax 2－ax －1)＝－2ax 2＋2.
∴当x ＝0时，CD 的最大值是2.
【点睛】
本题是二次函数的综合题，题中涉及抛物线的性质以及最值的求法等知识点，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．
23．（1）（m ，2m ﹣5）；（2）S △ABC =﹣
82a a
；（3）m 的值为72或． 【解析】
分析：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；
（2）过点C 作直线AB 的垂线，交线段AB 的延长线于点D ，由AB ∥x 轴且AB ＝4，可得出点B 的坐标为（m ＋2，4a ＋2m−5），设BD ＝t ，则点C 的坐标为（m ＋2＋t ，4a ＋2m−5−t ），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t 的一元二次方程，解之取其正值即可得出t 值，再利用三角形的面积公式即可得出S △ABC 的值；
（3）由（2）的结论结合S △ABC ＝2可求出a 值，分三种情况考虑：①当m ＞2m−2，即m ＜2时，x ＝2m−2时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元二次方程，解之可求出m 的值；②当2m−5≤m≤2m−2，即2≤m≤5时，x ＝m 时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值；③当m ＜2m−5，即m ＞5时，x ＝2m−5时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值．综上即可得出结论．
详解：（1）∵y=ax 2﹣2amx+am 2+2m ﹣5=a （x ﹣m ）2+2m ﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m ﹣5），
故答案为（m ，2m ﹣5）；
（2）过点C 作直线AB 的垂线，交线段AB 的延长线于点D ，如图所示，
∵AB∥x轴，且AB=4，
∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），
∵∠ABC=135°，
∴设BD=t，则CD=t，
∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，
整理，得：at2+（4a+1）t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=﹣41
a
a
+
，
∴S△ABC=1
2
AB•CD=﹣
82
a
a
+
；
（3）∵△ABC的面积为2，
∴﹣82
a
a
+
=2，
解得：a=﹣1
5
，
∴抛物线的解析式为y=﹣1
5
（x﹣m）2+2m﹣5．
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣1
5
（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，
整理，得：m2﹣14m+39=0，
解得：m1=7（舍去），m2（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=7
2
；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣1
5
（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，
整理，得：m 2﹣20m+60=0，
解得：m 3=10﹣，m 4．
综上所述：m 的值为72
或． 点睛：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性质找出点C 的坐标；（3）分m ＜2、2≤m≤5及m ＞5三种情况考虑．。