人教A版高中数学高二版选修1-1练习 双曲线的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的简单几何性质
A 级 基础巩固
一、选择题
1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2
解析：双曲线方程可变形为x 24－y 2
8＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.
答案：C
2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 2
9＝1 B.y 29－x 2
9＝1 C.y 218－x 2
18
＝1 D.x 218－y 2
18＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝2
2
c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 2
18＝1.
答案：D
3．下列双曲线中离心率为6
2
的是( ) A.x 22－y 2
4＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 24－y 2
6
＝1 D.x 24－y 2
10
＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝3
2，则a 2＋b 2a 2＝32
，
所以 b 2a 2＝1
2.即a 2＝2b 2.
答案：B
4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2，则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±1
4x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±1
2
x
D ．y ＝±x
解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x .
又离心率为e ＝c
a
＝
a 2＋
b 2
a
＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
＝52
， 所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2x .
答案：C
5．双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C
的焦距等于( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．4 2
解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －y
b ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(
c ，0)到该渐近线的距
离为
bc a 2＋b
2
＝bc c ＝3，故b ＝3，结合c
a ＝2，c 2＝a 2＋
b 2得
c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.
答案：C 二、填空题
6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9＝1的焦点相同，那么双曲
线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．
解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足c
a ＝2，
故a ＝2，b ＝
c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±3x ..
答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x 7．过双曲线
x 2－
y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π
6
的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．
解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝3
3
(x ＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－13
8，
所以 |AB |＝
1＋k 2·
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝
1＋13× ⎝⎛⎭⎫122
－4×⎝⎛⎭
⎫－138＝3. 答案：3
8．双曲线x 24＋y 2
k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．
解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c
a ＝
4－k
2
，又因为e ∈(1，2)，则1＜
4－k
2
＜2，解得－12＜k ＜0 答案：(－12，0) 三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝
5
2
； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．
因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2
b 2＝1.①
又e ＝c a ＝
a 2＋
b 2a 2＝5
2，故a 2＝4b 2.② 由①②得
a 2＝1，
b 2＝
14，故所求双曲线的标准方程为x 2
－y 2
1
4
＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2
b 2＝
1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－17
2，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为
x 2－
y 2
14
＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝
1＋b 2
a
2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6.
所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 2
6
＝1.
10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2
＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .
(1)求实数a 的取值范围；
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512
PB →
，求a 的值．
解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a
2－y 2
＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.
依题意⎩
⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，
Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，
所以 0＜a ＜2且a ≠1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，
因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝5
12(x 2，y 2－1)．
由此得x 1＝5
12
x 2.
由于x 1，x 2是方程(1－a 2
)x 2
＋2a 2
x －2a 2
＝0的两根，且1－a 2
≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，
5
12
x 22＝－
2a 2
1－a
2
. 消去x 2得－2a 21－a 2＝289
60. 由a ＞0，解得a ＝1713
.
B 级 能力提升
1．若
0＜k ＜a 2，则双曲线
x 2a 2－k －y 2b 2＋k
＝1与x 2a 2－y 2
b 2＝1有( )
A ．相同的虚线
B ．相同的实轴
C ．相同的渐近线
D ．相同的焦点
解析：因为0＜k ＜a 2
，所以 a 2
－k ＞0.对于双曲线x 2a 2－k －y 2
b 2＋k ＝1，焦点在x 轴上且
c 2
＝a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2.同理双曲线
x 2a 2－y 2
b 2
＝1焦点在x 轴上且c 2＝a 2＋b 2，故它们有共同的
焦点．
答案：D
2．已知F1，F2是双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.
因为P在双曲线上，
所以|PF2|－|PF1|＝2a
而3c－c＝2a
所以c
a
＝2
3－1
＝
2（3＋1）
（3－1）（3＋1）
＝3＋1.
答案：3＋1
3．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
所以
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧k2－2≠0，
Δ＝（2k）2－8（k2－2）＞0，
－2k
k2－2
＞0，
2
k2－2
＞0，
解得k的取值范围为{}
k|－2＜k＜－2.
(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝
2
k 2－2
.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.
整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝
6
2
代入③式，化简，得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－6
5
∉(－2，－2)(舍去)．
可知存在k ＝－6＋6
5，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。