随机过程总复习.ppt

练习: 设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为
e x 0 y Βιβλιοθήκη 1f (x, y) 0其它
求1) f X ( x), fY ( y); 2) fY X ( y x);
3)E[Y X ];
4)讨论X ,Y的独立性.
解： fX (x)
f ( x, y)dy
x exdy
0
xex , 0 x 1
k0
(eit )k
k！
e eeit e (eit 1)
条件分布函数与条件期望
1、条件分布函数的定义
离散型 若P（Y y j ) 0 ，则称
P（X
xi
|Y
yj)
P（X xi ,Y P（Y yj )
yj)
pij p• j
为在条件 Y y j 下，随机变量X的条件分布律 。
同样
P（Y
yj
计算协方差时通常用下列关系式：
Cov( X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y )
三、矩母函数
1．定义 称 e tX的数学期望 (t ) E[etX ]
为X的矩母函数
2．原点矩 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
的求法
(t)逐次求导并计算在 t 0 点的值：
(t) E[ XetX ] （n)(t) E[X netX ]
|
X
xi )
P（X xi ,Y P（X xi )
yj)
pij pi•
为在条件 X xi 下，随机变量Y的条件分布律。
连续型
f (x, y) f (x | y)
fY ( y)
称为在条件Y y 下，随机变量X的条件分布律 。
同样
f ( y | x) f (x, y)
fX (x)
称为在条件X x 下，随机变量Y的条件分布律。
fY ( y)
f (x, y)dx
1 exdx
y
e y e1 , 0 y 1
1
2) fY X ( y x)
f XY ( x, y) fX (x)
x 0
0 y x1 其它
条件分布是均匀分布,均值为中点x . 2
3)当0 x 1时,
E[Y X x]
E[Y X ] X
y fY X ( y x)dy
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数
定理1 设相互独立的随机变量 X1，X2， ，Xr 的
矩母函数分别为 1(t ) ，2 (t ) ，…，r (t ) ，
则其和 Y X1 X2 Xr 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2(t) …r (t)
两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它 们的矩母函数之积.
随机过程的分类
参数T 状态I 分类
T离散、I离散 T离散、I连续 T连续 、I离散
T连续 、I连续
Poisson过程是参数 连续 状态 离散 的随机过程. Brown运动是参数 连续 状态 连续 的随机过程.
练习
袋中放有一个白球，两个红球，每隔
单位时间从袋中任取一球，取后放回，对
每一个确定的t对应随机变量
第一章复习内容
一、期望和方差
1．期望 设离散型随机变量X的分布律为
P( X xk ) pk k 1,2,
则
E( X ) xk pk
k 1
设连续型随机变量X的概率密度为 f ( x) ，
则
E( X )
xf ( x)dx
函数期望 Y g(X )
当 X为离散型随机变量
则 E(Y ) E[g(X )] g(xk ) pk k 1
四、特征函数
特征函数
设X为随机变量，称复随机变量 e itX
的数学期望 X (t) E[e itX ]
为X的特征函数，其中t是实数。
还可写成 X (t) E[costX] iE[sintX]
特征函数与分布函数相互唯一确定。
性质 则和
设相互独立的随机变量 X1，X 2， ，X r的
特征函数分别为 1(t )， 2 (t ) ，…， r (t )
X (0,1)
x y 1dy x 0x 2
2
4) f XY ( x, y) f X ( x) fY ( y) 所以X ,Y 不独立.
练习:对于随机变量X和Y，满足条件 E( X ) 2, E(Y ) 10,
2 则有 E[E(X Y )]
结论 : (1)若X是随机变量,则E( X ) X , a.s.
其中 U 是随机变量且 D(U ) 3
试求它们的互协方差函数。
解 X (t) 和Y (t) 的均值函数 X (t) E[Ut ] tE[U]
Y (t ) E[Ut 2 ] t 2 E[U ]
所以 X (t) 和Y (t) 的互协方差函数
XY (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) t1E(U )][Y (t2 ) t22 E(U )]}
(2)协方差函数的性质
性质1 (0) var[X (t)]
性质2 | ( ) | (0)
性质3 ( )为偶函数, ( ) ( )
练习
练习 设随机过程 X (t) U cos2t ，其中 U 是随机变量 且 E(U ) 3 ， D(U ) 4
求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。
解 （1） X (t ) E[ X (t)] E[U cos 2t]
cos2tE[U] 3cos 2t
（2） (t1, t2 ) E[( X (t1 ) X (t1 )( X (t2 ) X (t2 )]
(2)若X与相互独立,则E X EX , a.s.
练习:若随机变量X和Y相互独立，满足条件
2 E( X ) 2, E(Y ) 10, 则有 E[X Y ]
练习
一矿工困在矿井中，要到达安全地带，有三个
通道可选择，他从第一个通道出去要走1个小时可 到达安全地带，从第二个通道出去要走2个小时又 返回原处，从第三个通道出去要走3个小时也返回 原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道， 试问他到达安全地点平均要花多长时间。
Y X1 X2 Xr 的特征函数为
Y (t) 1(t ) 2 (t ) … r (t )
两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它 们的特征函数之积.
练习:设随机变量X的概率密度函数为
p(
x)
1 2
x
0 x2
0 其它
试求X的矩母函数。
解： (t) E[etX ] 2 etx 1 xdx
注意：分母不等于0
2、条件期望的定义
离散型 连续型
E( X |Y y j ) xi P( X xi | Y y j ) i1
其中
P(X
xi
|Y
yj
)
P(X xi ,Y P(Y yj )
yj
)
E(X |Y y)
x f ( x | y)dx
其中 f ( x | y) 条件概率密度
X
(t
)
t, 3
et ,
如果t 时取得红球 如果t 时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求 X(t) 的概率分布
解 对每一个确定的时刻 t， X (t) 的概率分布为
t
X (t) 3
t
e
21
P
3
3
所以
F (t1；x1 )
P( X (t1)
x1 )
0,
2, 3 1，
x1
t 3
0
2
1 [ xetx
2
2 etxdx]
2t
00
1 [2e2t 1 (e2t 1)]
2t
t
(2te2t e2t 1)
2t 2
练习
解
设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
由P（于X k） k！k e k 0,1, 2...
所以
X (t ) e itk k0
k
k！e
e
3．性质
（1） E(C ) C D(C) 0
E(CX ) CE(X ) D(CX ) C 2D( X )
n
n
（2） E( X i ) E( X i )
i 1
i 1
（3） 若X和Y相互独立，则
E( XY ) E( X )E(Y )
二、协方差
Cov(X ,Y ) E[(X E(X ))(Y E(Y ))]
解
设X表示矿工到达安全地点所需时间，Y 表示
他选定的通道，则
E( X ) E[E( X | Y )]
E( X |Y 1)P(Y 1) E(X |Y 2)P(Y 2)
E(X |Y 3)P(Y 3)
1 [1 (2 EX ) (3 EX )] 3
所以 E( X ) 6
第二章复习内容
注
当 t1 t2 t T ，有
D[X (t)] (t, t) E[( X (t ) X (t ))2 ]
4．自相关函数
R(t1, t2 ) E[ X (t1 )X (t2 )]
(t1, t2 ) R(t1, t2 ) X (t1 )X (t2 )
注 当 X (t) 0 时，有
R(t1, t2 ) = (t1, t2 )
5．互协方差函数 XY (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t1 )][Y (t2 ) Y (t2 )]
6．互相关函数 RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
XY (t1 , t2 ) = RXY (t1 , t2 ) X (t1 )Y (t2 )
3、全数学期望公式
E(X |Y ) 是随机变量Y的函数，当 Y y 时取值E(X |Y y)
因而它也是随机变量。
定理 离散型
对一切随机变量X和Y，有
E(X) E[E(X |Y )]
E( X ) E( X | Y y j )P(Y y j ) j1
连续型 E( X ) E( X | Y y) fY ( y)dy
则称 X (t)为宽平稳过程， 简称平稳过程
注:(3)可等价描述为: 自相关函数R(t1, t2 )仅与 t1 t2有关.
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] R( )
因为 均值函数 X (t )
( ) R( ) 2
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
t 3
x1
et
x1 et
随机过程的数字特征
1．均值函数 X (t ) E[ X (t )]
2．方差函数
D[ X (t)] E[( X (t) X (t))2 ]
3．协方差函数
E[ X 2 (t )] X 2 (t )
(t1, t2 ) E[( X (t1 ) X (t1 ))( X (t2 ) X (t2 ))]
t1t22 E[(U E(U ))2 ] t1t22 D(U ) 3t1t22
1.严平稳过程
定义1
设随机过程{ X (t) , t T }，若对任意的
t1，t2 , , tn T 和任意的 (使得ti T )
( X (t1 ), , X (tn ))与 ( X (t1 ), , X (tn )) 具有相同的联合分布, 记为
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间 推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随 时间而推移。
平稳过程相关函数的性质 (1)自相关函数的性质
性质1 R(0) 0
性质2 | R( ) | R(0)
说明相关函数 R( ) 在 0 时取得最大值
性质3 R( ) 为偶函数： R( ) R( )
d
( X (t1 ), , X (tn )) ( X (t1 ), , X (tn ))
则 X (t)称为严平稳过程
严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.
2.宽平稳过程
定义2 设随机过程{ X (t) ， t T }，如果它满足： （1） X (t) 是二阶矩过程； （2）均值函数为常数，即X (t) E[X (t)] （3）协方差函数 (t1 , t2 ) 仅依赖 t1 t2 ，即 (t1 , t2 ) E[ X (t1 )X (t2 )] 2 ( )
当X为连续型随机变量，
则
E(Y ) E[g(X)]
g(x) f (x)dx
2.方差
称随机变量 [X E(X )]2 的期望 为X的方差，即
var(X ) D( X ) E[( X E( X ))2]
计算方差时通常用下列关系式：
var(X ) D(X ) E[X 2][E(X )]2
E[(U 3) cos 2t1 (U 3) cos 2t2 ]
cos 2t1 cos 2t2E[(U 3)2 ]
cos 2t1 cos 2t2D[U ] 4cos 2t1 cos 2t2
令 t1 t2 t 得 D[ X (t)] 4cos 2 2t
练习
设两个随机过程 X (t) Ut ，Y (t ) Ut 2