一次函数与反比例函数综合攻略——四交点公式及其常见运用

20，则点C的坐标为_______ .
分析问题：等量关系: S△BPC=20 基本思路：①面积转化（划为规则图形） ② 铅垂法 解题关键：设点坐标：①设横表纵 ②见比设参（线段长） ③四交点公式
y
（0，6 3）P
a
O
（-2,-3）B
【解题思路一】面积转化
½ 中心对称性:OA=OB→S△POC= S△BPC=10
A（2,3C（）a，6）
a
O
x
（-2,-3）B
Q（0，6 3） a
Step1:作铅垂高 Step2:设点
里+里=外+外
设C（a，6）；则P（0，6 3）、Q（0，6 3）
a
a
a
Step3:带点求解
公式：S△BPC
1 2
PQ
xB
xC
20
S△
1 2
铅垂高 水平宽
1 2
(
6 a
3)
(
6 a
3)
(a
Step1：设点
设B（a， a 1）；则A为（ a 1，a） AB （2a 1）2 (1 2a)2 2 2
Step2：代点求解
解之得：a 3 、a 1 (舍)
2
2
B（ 3， 1） B（ 2， 2） k 4
22
3
3
【总结】
1、四交点公式： 里+里=外+外
【课后练习】
1、如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y 2x交双曲线
2
2
2
2
用途：①知二求二（A19）
2、AM BN x12 y22
②知一设三(B填)
【例1】（2014成都B25）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y 3 x与双曲线y 6 相交于A、B两点，
2
x
C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC .若△PBC的面积是
x
y
分析问题：新定义题型，读题是关键
基本思路：转化——数形结合
解题难点：无图无真相
A
（ a 1，a） M（0,1）
解：代点：P（ 1 ，1 ） y k k 1 xy 1
xy
x
xy
k
问题转化：A、B为直线y=－x+1与反比
N（1,0）
O
x
例函数y 1 的交点
kx
里+里=外+外
B （a， a 1）
（A 2,3）
C（a，6）
a
解：
Step1:设点.
设点C（a，6）;
则点P（0，6
里+里=外+外
3）
x
a
Step2：带点求解
a
S△POC
1 OP 2
xc
1 a(6 3) 10 2a
解之得：a 14；C（14，9）
3
37
【延伸运用】（四交点线段相等很明显）
y
AP=CD，S△POC= S△AOD
P
解：
（A 2,3C）（a，6） a
Step1：设点
里+里=外+外
设点C（a，6）；则点D为（a 2，0） a
O
D x Step2：带点求解
（-2,-3）B
（a 2，0）
S△POC
1 OD 2
yA
1 （3 a 2） 10 2
解之得：a 14；C（14，9）
3
37
【解题思路二】铅垂法
y
（0，6 3）P a
一次函数与反比例函数综合攻略 ——四交点公式及其常见运用
函数图象交点与直线截距之间的和差关系
函数图象交点与直线截距之间的和差关系
y
四交点公式
y
（0，y1 y2）M
（0，y1 y2）M （x1 x2，0）中N 点
y=kx+b
A（Ax（1，xy1，1）y1）
联立：y m kx b
P（
x1 xm2 ，y1 y2 ） y=2B（xx2，y22）kx2
2)
20
则：a 14；C（14，9）
3
37
【例2】（2017成 都 中 考 ） 在 平 面 直 角坐 标 系xoy 中 ， 对 于 不 在 坐 标 轴 上的 任 意 一 点P（x，y） ，
我们把点P（ 1 ，1 ）称为点P 的“倒影点”，直线y x 1上有两点A、B，它们的 xy
倒影点A、B均在反比例函数y k 的图象上，若AB 2 2，则k ________.
y
P A
中点
A
中点
A
C
O
Qx
M
O
x
O
x
B
B
优点：
1、减轻了计算量，节约了答题时间 2、计算简捷，容易上手
缺点：
比较依赖函数图象
有图才有真相
B
2、（2018高新一诊）若实数m、n满足m n mn，且n 0
时就称点P（m，m ）为“完美点”，若反比例函数 y k
n
x
上有两个“完美点”A、B.且AB 4，则k ________ .
bx
x m
0(△
0)
横+横=横截距 纵+纵=纵截距
即：x1
x2
b k
；y1
y2
b
A+B=M+N
简记：里+里=外+外
O
O
B
x
（x1 xN2，0）
x韦达定理：x1
x2
b k
y1 y2 k(x1 x2 ) 2b b
其他：AM=BN
（四交点线段相等很明显）
证（明x2，：y2）1、P M N A B ( x1 x2 ，y1 y2 ) AM源自 BN横+横=横截距
纵+纵=纵截距
x1
x2
b k
；y1
y2
b
2、补充（三交点） 当直线与坐标轴以及反比例函数图象
交点个数为3个时，中间的点为中点
y
y
y 8 于A、B两点，C为第一象限内双曲线上一点，连接 x
AC并延长分别交坐标轴于P、Q两点，已知△BPQ的面积 为72，则点C的坐标为_________ .