新苏科版初二数学下册第二学期第3次月考试卷

新苏科版初二数学下册第二学期第3次月考试卷
一、解答题
1．如图，在ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EP分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）当∠DOE= °时，四边形BFDE为菱形？
2．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
3．先化简：
2
2
24
1
a a
a a a
+-
-÷
-
，再从﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入
求值．
4．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
5．如图，在▱ABCD中，BE=DF．求证：AE=CF．
6．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平形四边形的第四个顶点D的坐标．
7．已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3．
（1）在图①中，P是BC上一点，EF垂直平分AP，分别交AD、BC边于点E、F，求证：四边形AFPE是菱形；
（2）在图②中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形ABCD 的边上，并直接
．．标出菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）
9．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；
（2）下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．
10．先化简，再求代数式（1﹣
3
2
x+
）÷
21
2
x
x
-
+
的值，其中x＝4．
11．如图，已知一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B两点，且与反比例
函数y＝m
x
的图象在第一象限交于点C，CD⊥x轴于点D，且OA＝OD．
（1）求点A的坐标和m的值；
（2）点P是反比例函数y＝m
x
在第一象限的图象上的动点，若S△CDP＝2，求点P的坐标．
12．（发现）
（1）如图1，在▱ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：△AOE ≌△COF ；
（探究）
（2）如图2，在菱形ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AC ＝4，BD ＝8，求四边形ABFE 的面积．
（应用）
（3）如图3，边长都为1的5个正方形如图摆放，试利用无刻度的直尺，画一条直线平分这5个正方形组成的图形的面积．（要求：保留画图痕迹）
13．解方程（1）22(1)1x x +=+
（2）22310x x ++=（配方法）
14．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG 、DF ．
（1）求证：BD DF =；
（2）求证：四边形BDFG 为菱形；
（3）若13AG =，6CF =，求四边形BDFG 的周长．
15．已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，∠ABC =120゜，∠MBN=60゜，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．
(1)当∠MBN 绕B 点旋转到AE =CF 时（如图1），试猜想线段AE 、CF 、EF 之间存在的数量关系为 ．（不需要证明）；
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）详见解析；（2）90
【分析】
（1）证△DOE≌△BOF（ASA），得DE=BF，即可得出结论；
（2）由∠DOE=90°，得EF⊥BD，即可得出结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
EDO FBO DO BO
EOD FOB ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形；理由如下：
由（1）得：四边形BFDE是平行四边形，
若∠DOE=90°，则EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形；
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，证出△DOE ≌△BOF 是解题的关键．
2．（1）见解析（2）成立
【解析】
试题分析：（1）由DF=BE ，四边形ABCD 为正方形可证△CEB ≌△CFD ，从而证出CE=CF ． （2）由（1）得，CE=CF ，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可
得∠GCE=∠GCF ，故可证得△ECG ≌△FCG ，即EG=FG=GD+DF ．又因为DF=BE ，所以可证出GE=BE+GD 成立．
试题解析：（1）在正方形ABCD 中，
{BC CD
B CDF BE DF
∠∠＝＝＝
∴△CBE ≌△CDF （SAS ）．
∴CE=CF ．
（2）GE=BE+GD 成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE ≌△CDF ，
∴∠BCE=∠DCF ，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD ，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． CE ＝CF
∵∠GCE ＝∠GCF ， GC ＝GC
∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．
∴GE=GF ．
∴GE=DF+GD=BE+GD ．
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
3．1a 2-
-，当1a =-时，原式1=3
【分析】 本题根据分式的除法和减法运算法则，结合平方差以及提公因式法将题目化简，然后从1-、0、1、2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】 原式2(1)1111(2)(2)22
a a a a a a a a a +--=-⨯=-=-+---， 由已知得：若使原分式有意义，需满足0a ≠，20a a -≠，240a -≠，
即当0a =、1、2、2-时原分式无意义，
故当1a =-时，原式11123
=-
=--． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题关键在于对平方差、完全平方公式等运算法则的运用，其
次注意计算仔细即可．
4．（1）483y x =-
+；见解析；（2）()6,5D ；见解析；（3）12或694，见解析． 【分析】
（1）利用矩形的性质，求出点A 、C 的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，即可求解；
（3）①当EC ＝EO 时，ON ＝12OC ＝4＝EM ，则△OEA 的面积＝12
×OA ×EM ；②当OE ＝OC 时，利用勾股定理得：22222NE EC CN EO ON ＝﹣＝﹣，求出ON ＝
234
，进而求解． 【详解】 解：（1）∵点B 的坐标为()68，
且四边形OABC 是矩形， ∴点A 、C 的坐标分别为()()6008，、，
， 设AC 的表达式为y kx b +＝，
把A 、C 两点的坐标分别代入上式得608k b b +=⎧⎨=⎩，解得438
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 所表示的函数的表达式483
y x =-+； （2）∵点A 的坐标为()60，
，点C 的坐标为()08，， ∴OA ＝6，OC ＝8．
∴Rt △AOC 中，AC
，
∵四边形OABC 是矩形，
∴∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8，
∵沿CD 折叠，
∴∠CED ＝90°，BD ＝DE ，CE ＝6，AE ＝4，
∴∠AED ＝90°，
设BD ＝DE ＝a ，则AD ＝8﹣a ，
∵Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，
∴()2
2248a a +-＝，解得a ＝3， ∴点D 的坐标为()65，
；
（3）
过点E 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，
∵EN ⊥OC ，EM ⊥OA ，OC ⊥OA ，
∴∠ENO ＝∠NOM ＝∠OME ＝90°，
∴四边形OMEN 是矩形，
∴EM ＝ON ．
①当EC ＝EO 时，
∵EC ＝EO ，NE ⊥OC ，
∴ON ＝12
OC ＝4＝EM ， △OEA 的面积＝
12×OA ×EM ＝12×6×4＝12； ②当OE ＝OC 时，
∵EN ⊥OC ，
∴∠ENC ＝∠ENO ＝90°，
设ON ＝b ，则CN ＝8﹣b ，
在Rt △NEC 中，222NE EC CN -＝，
在Rt △ENO 中，222NE EO ON -＝，
即()2222688b b ---＝，
解得：b ＝234
， 则EM ＝ON ＝234
， △OEA 的面积＝12×OA ×EM ＝12×6×234＝694； 故△OEA 的面积为12或
694． 【点睛】
本题主要考查矩形的性质与判定、勾股定理及一次函数，关键是灵活运用知识点及函数的性质，求线段的长常用勾股定理这个方法．
5．证明见解析．
【解析】
试题分析：由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，证出∠ADE=∠CBF ，再由BE=DF ，
得出DE=BF ，证明△ADE ≌△CBF ，即可得出结论．
试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠ADE=∠CBF ，
∵BE=DF ，
∴DE=BF ，
在△ADE 和△CBF 中，
{AD CB
ADE CBF DE BF
=∠=∠=，
∴△ADE ≌△CBF （SAS ），
∴AE=CF ．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
6．（1）作图见解析；（2）D(1，1)，(-5，3)，(-3，-1)
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征分别写出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1；
（2）分类讨论：分别以AB 、AC 、BC 为对角线画平行四边形，根据网格的特点，确定对角线后找对边平行，即可写出D 点的坐标．
【详解】
解：（1）如图，点A 、B 、C 的坐标分别为(1,0),(4,1),(2,2)---，根据关于原点对称的点的坐标特征，则点A 、B 、C 关于原点对称的点分别为(1,0),(4,1),(2,2)--，描点连线，△A 1B 1C 1即为所作：
（2）分别以AB 、AC 、BC 为对角线画平行四边形，如下图所示：
则由图可知D 点的坐标分别为：(3,1),(1,1),(5,3)---，
故答案为：(1,1),(5,3),(3,1)---．
【点睛】
本题考查了中心对称作图即平行四边形存在问题，在直角坐标系中，已知平行四边形的三个点的坐标，确定第四个点的坐标，以对角线作为分类讨论，不容易漏掉平行四边形的各种情况．
7．见解析
【分析】
连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO＝1
2
AC，在Rt△EBD中，EO＝
1
2
BD，得到AC＝BD，即可得出结论．【详解】
证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝1
2 BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，
∴EO＝1
2 AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据矩形的性质和EF垂直平分AP推出AF＝PF＝AE＝PE即可判断；
（2）以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，此时的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形．
【详解】
（1）证明：如图①
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵EF垂直平分AP，
∴AF＝PF，AE＝PE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
∴AF＝PF＝AE＝PE，
∴四边形AFPE是菱形；
（2）如图②，以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，连接各个点，所得的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形；
此时设菱形边长为x，
则可得12+（3-x）2=x2，
解得x=5
3
，
所以菱形的边长为5
3
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
9．（1）见解析；（2）①②③④；（3）①证明见解析；②23
【分析】
（1）根据准矩形和准菱形的特点画图即可；
（2）根据矩形的判定定理和菱形的判定定理结合准矩形和准菱形的性质对每一个选项进行推断即可；
（3）①先根据已知得出△ACF≌△ECF，再结合∠ACE＝∠AFE可推出AC∥EF，AF∥CE，则证明了准菱形ACEF是平行四边形，又因为AC＝EC即可得出准菱形ACEF是菱形；
②取AC的中点M，连接BM、DM，根据四边形ACEF是菱形可得A、B、C、D四点共圆，点M是圆心，根据圆周角定理可推出∠BMD=90°，即可求出AC，再根据∠ACD＝30°即可求出AD，CD的长，则可求出菱形的面积．
【详解】
（1）；
（2）①因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边平行可以判断四边形为矩形，故①正确；
②因为∠A＝∠C＝90°，结合一组对边相等可以判断四边形为矩形，故②正确；
③因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边相等可以判断四边形为菱形，故③正确；
④因为AB＝AD，BC＝DC，结合一组对边平行可以判断四边形为菱形，故④正确；
故答案为：①②③④；
（3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，
∴△ACF≌△ECF（SSS）．
∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，
∵∠ACE＝∠AFE，
∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，
∴AC∥EF，AF∥CE，
∴准菱形ACEF是平行四边形，
∵AC＝EC，
∴准菱形ACEF是菱形；
②如图：取AC的中点M，连接BM、DM，
∵四边形ACEF 是菱形，
∴AE ⊥CF ，∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A 、B 、C 、D 四点共圆，点M 是圆心，
∵∠ACB=15°，
∴∠AMB=30°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AMD=60°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形，
∴BM=DM=22BD=222=1， ∴AC=2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴AD=AC ×sin30°=1，CD=AC ×cos30°3
∴菱形ACEF 的面积=
12×13×4=3 【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．
10．11x +；15
【分析】
首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．
【详解】 解：原式＝()()
232211x x x x x +-+⋅++- ()()12211x x x x x -+=
⋅++- 11
x =+
当x ＝4时，原式＝
15
． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
11．（1）（-2,0）；8 （2）（1，8）或（3，83
）
【分析】
（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式；
（2）1||2CDP P C S CD x x =
⨯⨯-△，即可求解． 【详解】
解：（1）对于一次函数2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-， 故点A 、B 的坐标分别为(2,0)-、(0,2)， OA OD =，故点(2,0)D ，
则点C 的横坐标为2，当2x =时，24y x =+=，故点(2,4)C ，
将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：42m =
， 解得：8m =，
故点A 的坐标为(2,0)-，8m =；
（2）1142222
CDP P C P S CD x x x =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：3P x =或1，
故点P 的坐标为(1,8)或8(3,)3
．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
12．（1）见解析 （2）8 （3）见解析
【分析】
（1）根据ASA 证明三角形全等即可．
（2）证明S 四边形ABFE ＝S △ABC 可得结论．
（3）利用中心对称图形的性质以及数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．
【详解】
（1）【发现】证明：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO ＝OC ，AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中，
EAO FCO AO CO
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ）．
（2）【探究】解：如图2中，由（1）可知△AOE ≌△COF ，
∴S △AOE ＝S △COF ，
∴S 四边形ABFE ＝S △ABC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴S △ABC ＝12
S 菱形ABCD ， ∵S 菱形ABCD ＝12•AC •BD ＝12
×4×8＝16， ∴S 四边形ABFE ＝12×16＝8． （3）【应用】
①找出上面小正方形的对角线交点，以及下面四个小正方形组成的矩形的对角线交点，连接即可；
②连接下面左边数第二个小正方形右上角和左下角的顶点；
③分别找出第二列两个小正方形的对角线交点，并连接，与最上面的小正方形最上面的边交于一点，把这个点与图形底边中点连接即可．
如图3中，直线l 即为所求（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定、菱形的性质以及中心对称图形的性质，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
13．（1）11x =-，212x =-
；（2）11x =-，212
x =- 【分析】
（1）移项，提取公因式1x +，利用因式分解法求解即可；
（2）移项，方程左右两边同时除以2后，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
（1）22(1)1x x +=+，
移项得：22(1)10()x x -++=，
提取公因式1x +得：121)()(0x x ++=，
可得：10x +=或210x +=， 解得：12112
x x =-=-，； （2）22310x x ++=， 原方程化为：23122x x +
=-， 配方得：22233132424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即231()416x +=， 开方得：3144
x +=±， 解得：1211
2x x =-=-，． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20
【分析】
（1）先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =；
（2）由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；
（3）设GF x =，则13AF x =-，2AC x =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值．
【详解】
（1）证明：90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，
12
BD AC ∴= //AG BD ，BD FG =，
∴四边形BDFG 是平行四边形，
CF BD ⊥
CF AG ∴⊥ 又点D 是AC 的中点
12
DF AC ∴= BD DF ∴=．
（2）证明：由（1）知四边形BDFG 是平行四边形
又BD DF =
BDFG ∴是菱形
（3）解：设GF x =则13AF x =-，2AC x =，6CF =，
在Rt ACF ∆中，222CF AF AC +=
2226(13)(2)x x ∴+-=
解得5x =
4520BDFG C ∴=⨯=菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关键是证明四边形BGFD 是菱形．
15．（1）AE+CF=EF ；（2）如图2，（1）中结论成立，即AE+CF=EF ；如图3，（1）中结论不成立，AE=EF+CF ．
【分析】
（1）根据题意易得△ABE ≌△CBF ，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；
（2）如图2，延长FC 到H ，使CH=AE ，连接BH ，根据题意可得△BCH ≌△BAE ，则有BH=BE ，∠CBH=∠ABE ，进而可证△HBF ≌△EBF ，推出HF=EF ，最后根据线段的等量关系可求解；如图3，在AE 上截取AQ=CF ，连接BQ ，根据题意易得△BCF ≌△BAQ ，推出BF=BQ ，∠CBF=∠ABQ ，进而可证△FBE ≌△QBE ，推出EF=QE 即可．
【详解】
解：（1）如图1，AE+CF=EF ，理由如下：
∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，
∴∠A=∠C=90°，
∵AB=BC ，AE=CF ，
∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴∠ABE=∠CBF ，BE=BF ，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴11,22
AE BE CF BF =
=， ∵∠MBN=60°，BE=BF ，
∴△BEF 是等边三角形， ∴1122
AE CF BE BF BE EF +=+==， 故答案为AE+CF=EF ； （2）如图2，（1）中结论成立；理由如下：
延长FC 到H ，使CH=AE ，连接BH ，
∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，
∴∠A=∠BCH=90°，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=∠MBN=60°，
∴∠HBF=∠EBF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF，
如图3，（1）中的结论不成立，为AE=EF+CF，理由如下：
在在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
∵AB=BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
∴∠FBE=∠QBE，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CE，
∴AE=EF+CF．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．。