正交多项式
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k −1 k ϕ k ( x ) = x + ∑ ckjϕ j ( x ),
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
(2)任 何 n次 多 项 式 Pn(x)∈ H n 均 可 表 示 为 φ 0 ( x )， φ1 ( x )， ..., φ n ( x ) 的线性组合。 (3)当 k ≠ j时 ， ( φ j ( x )， φ k ( x )) = 0, 且 φ k ( x )与 任 何 一 次 数 小 于
k的 多 项 式 正 交 。 (4)成 (4)成 立 递 推 关 系 φ n +1 ( x ) = ( x − α n )φ n ( x ) − β nφ n −1 ( x )
( n = 0,1, 2,...)
其中： φ−1 ( x ) = 0 φ0 ( x ) = 1 α n = ( xφ n ( x )， φ n ( x )) (φ n ( x )， φ n ( x )) β n = (φ n ( x )， φ n ( x )) (φ n −1 ( x )， φ n −1 ( x ))
三、常用的正交多项式 勒让德（ 1．勒让德（Legendre）多项式 ） { ~i ( x)}n=0 ， 取[a , b] = [−1,1], ω ( x ) ≡ 1， 正交多项式记为 p i
~ P0 ( x ) = 1 ~ P1 ( x ) = x ~ P2 ( x ) = x 2 − 1 3 3 ~ P3 ( x ) = x 3 − x 5 LL
（1） Pn ( x ) 的首项系数an =
ϕ ′′( x ) = 2n( 2n − 1) x 2 n − 2 + L
M
ϕ ( n ) ( x ) = 2n( 2n − 1)L( 2n − ( n − 1)) x 2 n − n + L
2n( 2n − 1)L( n + 1)nL 2 ⋅ 1 n x +L n! ( 2n)! n x +L = n! ϕ ( 2 n ) ( x ) = 2n( 2n − 1)L ( n + 1)n L 2 ⋅ 1 = ( 2n)! =
例：对区间为[ 1,1]及权函数 例：对区间为[-1,1]及权函数 ρ ( x ) = 1 + x 2 ，求由{ 1,x,x2,x3}正交 ，求由{ 化得到的正交多项式。 解： φ0 ( x) = 1 1 x(1 + x 2 )dx ( x, φ0 ) ( x, 1) ∫ = x − −11 =x φ1 ( x) = x − φ0 = x − (φ0 , φ0 ) (1,1) 1(1 + x 2 )dx ∫−1 ( x 2 , φ0 ) ( x 2 , φ1 ) φ2 ( x) = x 2 − φ1 − φ0 (φ1 , φ1 ) (φ0 , φ0 )
且满足： （3）设已构造 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ),L , ϕ k −1 ( x ), ( k ≥ 1), 且满足： (a ) ϕ i ( x )是首项系数为1的i次多项式； 是首项系数为1 次多项式 次多项式； ( b ) (ϕ ii , ϕ jj ) = 0 , 当 i ≠ j(i , j = 0,1,L, k − 1) k −1 k ϕ 由 x k 及{ 0 , ϕ 1 , L , ϕ k −1 }组合构造 ϕ k ( x ) = x + ∑ c kjϕ j ( x )
}
问题: 问题
H n = Span 1, x ， , x n ，如何由 1, x， , x n 得到正交基？ L L 得到正交基？
{
}
二、 史密特正交化 定理3 格兰姆-史密特（ 定理3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt）正交化） ）正交化） （1）设 H n = Span{ , x , L , x n }; 1 n 1 可构造以 权函数， （2） ω ( x ) ≥ 0 权函数， 则由基 { , x , L , x } 可构造以ω ( x ) L 为权函数的正交多项式组{ϕ 0 ( x )，ϕ 1 ( x )， ，ϕ n ( x )} 使得ϕ k ( x ) 为首项 系数是1 次多项式， （即 x k项）系数是1的k次多项式，即 次多项式 ϕ0 ( x) = 1
2．切比雪夫（Chebshev）多项式（应用于最小二乘） 切比雪夫（ ）多项式（应用于最小二乘） 1 ~ ,正交多项式组记为{Ti ( x )}n=0， 取 [a , b] = [ −1,1], 权函数ω ( x ) = i ~ 1 − x2 T ( x ) = 1
~ T1 ( x ) = x ~ ~ ~ 1 2 且有 (T i , T j ) = 0,当 i ≠ j。 T2 ( x ) = x − 2 ~ 3 1 1 T3 ( x ) = x 3 − x θ ∈ [0,π ], , dx = − sin θ d θ = 2 sinθ 4 LL 1− x
2 n n n （2）性质 令ϕ(x) = (x −1) = (x −1) (x +1) ， ）
dn dn ϕ ( x) = n ( x − 1)n ( x + 1)n dxn dx
（5）Legendre多项式的三项递推公式 Legendre多项式的三项递推公式
P0 ( x) = 1 P1 ( x) = x (k + 1) p ( x) = x(2k + 1)P ( x) − kP ( x) ，k = 1,2,L) , x ∈[−1,1] ( k +1 k k −1
( x 2 , x) ( x 2 , 1) =x − x− ( x, x ) (1,1)
2
= x2 − = x2 −
∫ ∫
1
−1 1
x (1 + x )dx
3 2
−1
x 2 (1 + x 2 )dx
x−
∫ ∫
1
−1 1
x 2 (1 + x 2 )dx 1(1 + x 2 )dx
−1
2 5 3 ( x3 , φ0 ) ( x , φ2 ) ( x3 , φ1 ) 9 3 φ3 ( x) = x − φ2 − φ1 − φ0 = x3 − x (φ2 , φ2 ) (φ1 , φ1 ) (φ0 , φ0 ) 14
−1
1 − x2
π
∞ 1]上 （1）Chebyshev多项式 {Ti ( x )}i = 0 是[-1，1]上具有权函数 多项式 1 , 的正交多项式组。 ω ( x) = 2 的正交多项式组。即 1− x
∞
(Tn , Tm ) = ∫
1
1
T1 ( x ) = x (2)Chebyshev三项递推公式 LL (2) 三项递推公式 T ( x ) = 2 xT ( x ) − T ( x ) ， k k −1 k +1 ( k = 1,2,L), x ∈ [−1,1]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则
an =
1 (2n)! ， n 2 n! n!
dn dn n n ϕ ( x ) = n!(1 + 1) = n!2 ， n ϕ ( x) = n!(−2)n， n dx n dx x =1 x =−1 = ∑ p(k )( x + 1)n− k ( x − 1)k k =0 则 （a） Pn (1) = 1, Pn ( −1) = ( −1)n； 1 dn 2 n dk Pn ( x) = n ( x −1) （ b） k ϕ ( x ) = 0，当 k < n 时 . n 2 n! dx dx x = ±1 n Legendre多项式 1]具有权函数 （3）Legendre多项式{Pi }i = 0 为[-1，1]具有权函数ω ( x ) ≡ 1 的 当n ≠ m 0, 正交多项式，即 正交多项式， 1 ( Pn , Pm ) = ∫ Pn ( x ) Pm ( x )dx = 2 −1 当n = m 2n + 1 Legendre多项式的奇偶性 （4）Legendre多项式的奇偶性 Pn ( x ), 当n为偶数 n Pn ( − x ) = ( −1) Pn ( x ) = − Pn ( x ), 当n为奇数
1 (2n)! ， 若令ϕ ( x ) = ( x 2 − 1) n， 2n n! n! 2n d 则有 2 n ϕ ( x ) = ( 2n)!。 1 dn 2 n dx Pn ( x) = n ( x −1) n 2 n −1 2 n! dx +L 事实上， 事实上，ϕ ′( x ) = 2nx
0
~ Tk ( x )为首项系数为 1的 k次多项式。 次多项式。 称为n次 多项式， 多项式 定义8 次多项式 定义8 n次多项式Tn(x) = cos(narc cosx) 称为 次Chebyshev多项式， 首项系数为 2n − 1。 ∞ （1）Chebyshev多项式 {Ti ( x )}i = 0 是[-1，1]上具有权函数 多项式 1]上 1 Tn ( x ) = cos(nθ ), Tm ( x ) = cos(mθ ) , 的正交多项式组。即 ω ( x) = 的正交多项式组。 1 − x2 x = cos θ π 0 1 1 (Tn , Tm ) = ∫ Tn ( x )Tm ( x )dx = −0 ∫ cos(nθ ) cos(m θ ) dθ ∫
~ ~ 且有 ( P i , P j ) = 0,当 i ≠ j。
1 dn 2 n 定义7 定义7 n次多项式 Pn ( x) = n 次多项式 ( x −1) ， ( n = 0,1,2, L) n 2 n! dx 称为Legendre多项式 称为 多项式 ~ P0 ( x ) = 1 = P0 ( x ) ~ P1 ( x ) = x = P1 ( x ) ~ p ( x) = 3 x2 − 1 = 3 P ( x) 且有 ( 2 .8 ) 2 2 2 2 2 2 3 3 5~ P3 ( x ) = x − x = P3 ( x ) 2 5 2 LL
n
n Span{ 0 , L , ϕ n } = S ( x ) S ( x ) = ∑ a i ϕ i ( x ), a i 为实数 ϕ i =0
L 的特例。 ϕ （2 H n = Span 1, x， , x n 是 Span { 0 , L , ϕ n }的特例。 ）
{
j =0
选择系数 c kj 使 0 = (ϕ k , ϕ i ) = ( x ,ϕi ) + ∑ ckjϕ jj,,ϕ i i)) = cki ϕ i，ϕ i） （ （ kj ϕ ϕ
k
j =0
k −1
即
( x k ,ϕ i ) cki = − , (i = 0,1,L, k − 1) (ϕi ,ϕi )
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
(2)任 何 n次 多 项 式 Pn(x)∈ H n 均 可 表 示 为 φ 0 ( x )， φ1 ( x )， ..., φ n ( x ) 的线性组合。 (3)当 k ≠ j时 ， ( φ j ( x )， φ k ( x )) = 0, 且 φ k ( x )与 任 何 一 次 数 小 于
k的 多 项 式 正 交 。 (4)成 (4)成 立 递 推 关 系 φ n +1 ( x ) = ( x − α n )φ n ( x ) − β nφ n −1 ( x )
( n = 0,1, 2,...)
其中： φ−1 ( x ) = 0 φ0 ( x ) = 1 α n = ( xφ n ( x )， φ n ( x )) (φ n ( x )， φ n ( x )) β n = (φ n ( x )， φ n ( x )) (φ n −1 ( x )， φ n −1 ( x ))
三、常用的正交多项式 勒让德（ 1．勒让德（Legendre）多项式 ） { ~i ( x)}n=0 ， 取[a , b] = [−1,1], ω ( x ) ≡ 1， 正交多项式记为 p i
~ P0 ( x ) = 1 ~ P1 ( x ) = x ~ P2 ( x ) = x 2 − 1 3 3 ~ P3 ( x ) = x 3 − x 5 LL
（1） Pn ( x ) 的首项系数an =
ϕ ′′( x ) = 2n( 2n − 1) x 2 n − 2 + L
M
ϕ ( n ) ( x ) = 2n( 2n − 1)L( 2n − ( n − 1)) x 2 n − n + L
2n( 2n − 1)L( n + 1)nL 2 ⋅ 1 n x +L n! ( 2n)! n x +L = n! ϕ ( 2 n ) ( x ) = 2n( 2n − 1)L ( n + 1)n L 2 ⋅ 1 = ( 2n)! =
例：对区间为[ 1,1]及权函数 例：对区间为[-1,1]及权函数 ρ ( x ) = 1 + x 2 ，求由{ 1,x,x2,x3}正交 ，求由{ 化得到的正交多项式。 解： φ0 ( x) = 1 1 x(1 + x 2 )dx ( x, φ0 ) ( x, 1) ∫ = x − −11 =x φ1 ( x) = x − φ0 = x − (φ0 , φ0 ) (1,1) 1(1 + x 2 )dx ∫−1 ( x 2 , φ0 ) ( x 2 , φ1 ) φ2 ( x) = x 2 − φ1 − φ0 (φ1 , φ1 ) (φ0 , φ0 )
且满足： （3）设已构造 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ),L , ϕ k −1 ( x ), ( k ≥ 1), 且满足： (a ) ϕ i ( x )是首项系数为1的i次多项式； 是首项系数为1 次多项式 次多项式； ( b ) (ϕ ii , ϕ jj ) = 0 , 当 i ≠ j(i , j = 0,1,L, k − 1) k −1 k ϕ 由 x k 及{ 0 , ϕ 1 , L , ϕ k −1 }组合构造 ϕ k ( x ) = x + ∑ c kjϕ j ( x )
}
问题: 问题
H n = Span 1, x ， , x n ，如何由 1, x， , x n 得到正交基？ L L 得到正交基？
{
}
二、 史密特正交化 定理3 格兰姆-史密特（ 定理3 （格兰姆-史密特（Gram-Schmidt）正交化） ）正交化） （1）设 H n = Span{ , x , L , x n }; 1 n 1 可构造以 权函数， （2） ω ( x ) ≥ 0 权函数， 则由基 { , x , L , x } 可构造以ω ( x ) L 为权函数的正交多项式组{ϕ 0 ( x )，ϕ 1 ( x )， ，ϕ n ( x )} 使得ϕ k ( x ) 为首项 系数是1 次多项式， （即 x k项）系数是1的k次多项式，即 次多项式 ϕ0 ( x) = 1
2．切比雪夫（Chebshev）多项式（应用于最小二乘） 切比雪夫（ ）多项式（应用于最小二乘） 1 ~ ,正交多项式组记为{Ti ( x )}n=0， 取 [a , b] = [ −1,1], 权函数ω ( x ) = i ~ 1 − x2 T ( x ) = 1
~ T1 ( x ) = x ~ ~ ~ 1 2 且有 (T i , T j ) = 0,当 i ≠ j。 T2 ( x ) = x − 2 ~ 3 1 1 T3 ( x ) = x 3 − x θ ∈ [0,π ], , dx = − sin θ d θ = 2 sinθ 4 LL 1− x
2 n n n （2）性质 令ϕ(x) = (x −1) = (x −1) (x +1) ， ）
dn dn ϕ ( x) = n ( x − 1)n ( x + 1)n dxn dx
（5）Legendre多项式的三项递推公式 Legendre多项式的三项递推公式
P0 ( x) = 1 P1 ( x) = x (k + 1) p ( x) = x(2k + 1)P ( x) − kP ( x) ，k = 1,2,L) , x ∈[−1,1] ( k +1 k k −1
( x 2 , x) ( x 2 , 1) =x − x− ( x, x ) (1,1)
2
= x2 − = x2 −
∫ ∫
1
−1 1
x (1 + x )dx
3 2
−1
x 2 (1 + x 2 )dx
x−
∫ ∫
1
−1 1
x 2 (1 + x 2 )dx 1(1 + x 2 )dx
−1
2 5 3 ( x3 , φ0 ) ( x , φ2 ) ( x3 , φ1 ) 9 3 φ3 ( x) = x − φ2 − φ1 − φ0 = x3 − x (φ2 , φ2 ) (φ1 , φ1 ) (φ0 , φ0 ) 14
−1
1 − x2
π
∞ 1]上 （1）Chebyshev多项式 {Ti ( x )}i = 0 是[-1，1]上具有权函数 多项式 1 , 的正交多项式组。 ω ( x) = 2 的正交多项式组。即 1− x
∞
(Tn , Tm ) = ∫
1
1
T1 ( x ) = x (2)Chebyshev三项递推公式 LL (2) 三项递推公式 T ( x ) = 2 xT ( x ) − T ( x ) ， k k −1 k +1 ( k = 1,2,L), x ∈ [−1,1]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则
an =
1 (2n)! ， n 2 n! n!
dn dn n n ϕ ( x ) = n!(1 + 1) = n!2 ， n ϕ ( x) = n!(−2)n， n dx n dx x =1 x =−1 = ∑ p(k )( x + 1)n− k ( x − 1)k k =0 则 （a） Pn (1) = 1, Pn ( −1) = ( −1)n； 1 dn 2 n dk Pn ( x) = n ( x −1) （ b） k ϕ ( x ) = 0，当 k < n 时 . n 2 n! dx dx x = ±1 n Legendre多项式 1]具有权函数 （3）Legendre多项式{Pi }i = 0 为[-1，1]具有权函数ω ( x ) ≡ 1 的 当n ≠ m 0, 正交多项式，即 正交多项式， 1 ( Pn , Pm ) = ∫ Pn ( x ) Pm ( x )dx = 2 −1 当n = m 2n + 1 Legendre多项式的奇偶性 （4）Legendre多项式的奇偶性 Pn ( x ), 当n为偶数 n Pn ( − x ) = ( −1) Pn ( x ) = − Pn ( x ), 当n为奇数
1 (2n)! ， 若令ϕ ( x ) = ( x 2 − 1) n， 2n n! n! 2n d 则有 2 n ϕ ( x ) = ( 2n)!。 1 dn 2 n dx Pn ( x) = n ( x −1) n 2 n −1 2 n! dx +L 事实上， 事实上，ϕ ′( x ) = 2nx
0
~ Tk ( x )为首项系数为 1的 k次多项式。 次多项式。 称为n次 多项式， 多项式 定义8 次多项式 定义8 n次多项式Tn(x) = cos(narc cosx) 称为 次Chebyshev多项式， 首项系数为 2n − 1。 ∞ （1）Chebyshev多项式 {Ti ( x )}i = 0 是[-1，1]上具有权函数 多项式 1]上 1 Tn ( x ) = cos(nθ ), Tm ( x ) = cos(mθ ) , 的正交多项式组。即 ω ( x) = 的正交多项式组。 1 − x2 x = cos θ π 0 1 1 (Tn , Tm ) = ∫ Tn ( x )Tm ( x )dx = −0 ∫ cos(nθ ) cos(m θ ) dθ ∫
~ ~ 且有 ( P i , P j ) = 0,当 i ≠ j。
1 dn 2 n 定义7 定义7 n次多项式 Pn ( x) = n 次多项式 ( x −1) ， ( n = 0,1,2, L) n 2 n! dx 称为Legendre多项式 称为 多项式 ~ P0 ( x ) = 1 = P0 ( x ) ~ P1 ( x ) = x = P1 ( x ) ~ p ( x) = 3 x2 − 1 = 3 P ( x) 且有 ( 2 .8 ) 2 2 2 2 2 2 3 3 5~ P3 ( x ) = x − x = P3 ( x ) 2 5 2 LL
n
n Span{ 0 , L , ϕ n } = S ( x ) S ( x ) = ∑ a i ϕ i ( x ), a i 为实数 ϕ i =0
L 的特例。 ϕ （2 H n = Span 1, x， , x n 是 Span { 0 , L , ϕ n }的特例。 ）
{
j =0
选择系数 c kj 使 0 = (ϕ k , ϕ i ) = ( x ,ϕi ) + ∑ ckjϕ jj,,ϕ i i)) = cki ϕ i，ϕ i） （ （ kj ϕ ϕ
k
j =0
k −1
即
( x k ,ϕ i ) cki = − , (i = 0,1,L, k − 1) (ϕi ,ϕi )