初中联赛题型解读五：二次函数

,
, （ ） 顶点坐标： - b 4ac - b 2 （或(h , k ) ）
联赛题型解读之五——二次函数
一、“二次函数”真题分值分析
函数是代数知识的的大熔炉,也是代数和几何的纽带,数形结合思想在函数中得到淋漓 的展现。

下面我们通过统计近 15 年初中数学联赛中数论与组合的分值（注：至少在结构和形式 上是对函数的考察才会计入分值统计）帮助大家更好的了解二次函数在联赛中的分值比重。

2001~2016年联赛函数考察分值
35
32
30 27 27
25
25
20
15
14
14
10
5
7 7 7
0 0 0
7 7 7
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
整体来看,函数基本维持在每年一题,考察的分值最高达 32 分（一道一试题一道二试 题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。

我们可以认为在接下来一两年内可能会考察两道题（一道一试题一道二试题）。

二、二次函数的知识与技巧
二次函数拥有有一元二次方程的许多技巧和问题结合函数图像也有几何的性质和问题。

1.
二次函数 y = ax 2 + bx + c （a ≠ 0）或 y = a (x - h )2 + k （ a ≠ 0 ）的性质
⎧a > 0 ⇔向上
（1） 开口方向： ⎨
⎩a < 0 ⇔向下
（2） 对称轴： x =- b
（或 x = h ）
2a 3 ( , )
2a 4a
（4） 最值：
②如图 2 所示,当 a > 0 时,对称轴左侧 x < - , y 随着 x 的增大而增大,在对称轴
y
O
x
图1
图2
a > 0 时有最小值 4ac -
b 2 （或 4a
k ）
（如图1）
； a < 0 时有最大值 4ac - b 2 （或 4a
k ）
（如
图 2）；
（5） 单调性：二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）的变化情况（增减性）
①如图 1 所示,当 a > 0 时,对称轴左侧 x < -
b
, y 随着 x 的增大而减小,在对称轴的
2a
右侧 x < - b
,
2a
y 随 x 的增大而增大；
b
2a
的右侧 x < - b
,
2a
y 随 x 的增大而减小；
（6） 与坐标轴的交点：①与 y 轴的交点：（0,C ）；②与 x 轴的交点：使方程
ax 2 + bx + c = 0 （或 a (x - h )2 + k = 0 ）成立的 x 值．
（7） 若抛物线与坐标轴的三个交点构成直角三角形,则有 a = 1 .
2.
二次函数的常见问题
一般来说二次函数有五大类问题 （1） 图像与系数的关系
绝对值方程；分式方程；根式方程；
（2） 图像变换
平移；轴对称；中心对称；绝对值函数
（3） 区间最值
利用函数单调性,寻找给定区间上的最值
（4） 函数与方程不等式
利用数形结合懒一元二次方程,二次不等式问题.
（5） 代几综合题
结合全等,相似圆等
,
三、联赛中二次函数的考察方式
二次函数在联赛中考察的题型基本与我们总结的五类题型一致近几年在数形结合上考察的 较为频繁,其中 2012 年在二试考察了一道二次函数题目,类似武汉中考压轴题的考法。

1、二次函数的图像
（1） 含绝对值二次函数
含绝对值的函数最重要的是观察图像以及对称轴
【例1】 （2006 年联赛）函数 y = x 2 - 2006 x + 2008 的图象与 x 轴交点的横坐标之和等于
．
【解析】 原方程可转化为求方程 x 2 - 2006 x + 2008 = 0 的所有实根之和．
若实数 x 为方程的根,则其相反数-x 也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为
0 0
0 ,即与 x 轴交点的横坐标之和为0 ．
（2） 图像与系数
【例2】 （2005 年联赛）已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的图象如图所示,记
p = a - b + c + 2 a + b , q = a + b + c + 2 a - b ,则（
）．
A ． p > q
B ． p = q
C ． p < q
D ． p 、 q 大小不能确定
1
【解析】 由题意得： a < 0 , b > 0 , c = 0 ,∴ p = a - b + 2a + b , q = a + b + 2a + b
又- b
> 1 ,∴ -b > 2a ,∴ 2a + b > 0 ,从而 a + b > -a > 0
2a
∴ p = a - b + 2a + b = b - a + 2a + b = 2b + a ,
q = a + b + 2a - b = a + b + b - 2a = 2b - a ,∴ p < q ,选 C
【例 3】 已知二次函数 y = ax 2 + bx +1(a ≠ 0) 的图象的顶点在第二象限 ,且过点 (1, 0) .当
a -
b 为整数时, ab = （ ）
1 3 A . 0
B .
C . -
D . -2
4
4
【解析】B ．依题意知
a < 0, - b
2a
< 0,a + b + 1 = 0, 故 b < 0, 且b = -a -1,
a -
b = a -(-a -1) = 2a + 1, 于是 - 1 < a < 0,
∴- 1< 2a + 1 < 1
又 a - b 为整数 ,∴2a +1 = 0,
故 a =-
1
1
= b , ab = ,故选 B. 2 4
⇒⎧⎨m > 2 ⎧⎪ m ⎩⎨
或 ⎨ .
⎧8a - 2 < 9a - 3,
, , ⎧9m - 8 =1, ⎧9m - 8 = 2 , ⎧ 9 m - 8 = -10 , ⎧9m - 8 = -5,
m = , m =- , m = , 或 ⎨ 或 ⎨ ⎧m = 1, ⎪ 9 9 93
⎨ 或 ⎨
⎩ n = 2, ⎪n = 13
⎪n = 7 , ⎪n = 2 , ⎪⎩ ⎨ ⎨ ⎨
⎩
10 2 ,
（3） 与坐标轴
【例4】 （2007 年联赛）设 m , n 为正整数,且 m ≠ 2 ,如果对一切实数 t ,二次函数
y = x 2 + (3 - mt )x - 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t + n ,求 m ,n
的值．
【解析】因为一元二次方程 x 2 + (3 - mt )x - 3mt = 0 的两根分别为 mt 和 - 3 ,
所以二次函数 y = x 2 + (3 - mt )x - 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离为 mt + 3 由题意 , mt + 3 ≥ 2t + n ,即(mt + 3)2 ≥ (2 t + n )2 ,即
(m 2 - 4)t 2 + (6m - 4n )t + 9 - n 2 ≥ 0
由题意知, m 2 - 4 ≠ 0 ,且上式对一切实数t 恒成立,所以
⎨ m 2 - 4 > 0 ⇒⎧⎨ > 2
∆ = (6m - 4n )2 - 4(m 2 - 4)(9 - n 2 ) ≤ 0 4(mn - 6)2 ≤ 0
⎪
⎩
⎩ mn = 6
所以 ⎧m = 3 ⎧m = 6 ⎩n = 2 ⎩n = 1
2、与方程、不等式
（1） 一元二次方程
这类问题一般是披着二次函数外衣的一元二次方程问题。

【例5】 （2010 年联赛）已知二次函数 y = x 2 + bx - c 的图象经过两点 P (1,a ),Q (2 10a )．
（1）如果 a , b , c 都是整数,且c < b < 8a ,求 a , b , c 的值．
（2）设二次函数 y = x 2+ bx - c 的图象与 x 轴的交点为 A 、 B ,与 y 轴的交点为 C ．如果关于 x 的方程 x 2+ bx - c = 0 的两个根都是整数,求△ABC 的面积．
【解析】点 P (1,a ) 、 Q (2 10a ) 在二次 函数 y = x 2 + bx - c 的图象 上 , 故 1 + b - c = a ,
4 + 2a - c = 10 a ,解得 b = 9a - 3 , c = 8a - 2 ．
（ 1 ）由 c < b < 8a 知 解得 1 < a < 3 ．又 a 为整数 , 所以 a = 2 ,
⎨
⎩9a - 3 < 8a ,
b = 9a - 3 = 15 ,
c = 8a - 2 = 14 ．
（ 2 ） 设 m , n 是方程的两个整数根 , 且 m ≤ n , 由 根 与 系 数 的关 系 可 得
m + n = -b = 3- 9a ,mn = -c = 2-8a ,消去 a ,得9mn -8(m +n ) =-6
,两边同时 乘以 9,得81mn - 72(m + n ) = -54 ,分解因式,得(9m - 8)(9n - 8) = 10 ．
所以 或 或 或 ⎨9n - 8 = 10 , ⎩9n - 8 = 5, ⎩9n - 8 = -1, ⎩9n - 8 = -2,
⎧ ⎧ ⎧ 1
解得
,
9 ⎩ 9 ⎩ 3
又 m ,n 是整数,所以后面三组解舍去,故 m = 1 ,n = 2 ．因此,b = -(m + n ) = -3 , c = -mn = -2 二次函数的解析式为 y = x 2 - 3x + 2 ．易求得点 A 、B 的坐标为 (1,0) 和(2,0) ,点C 的坐标为(0,2) ,所以△ABC 的面积为 1 ⨯ (2 -1) ⨯ 2 = 1 ．
2
（2） 不等式
由方程组
ab = ⎩
4
或 a 2 = 2 + 3 ,
或 a = 6 + 2 ．
⎪ 4 ⎪ 4
⎪b = 6 + 2 ⎪b = 6 - 2
⎪⎩ 4 ⎩ 4 4
6 + 2 和 a = 6 + 2 , b =
4 4 6 - 2 ．
【例7】 （2007 年联赛）设a ,b ,c 是△ABC 的三边长,二次函数 y = a - ⎛
b ⎫ b 在 x = 1 时取最小值 - b ,则 △ A BC 是（
【解析】由 题意可得 ⎪ ⎪- = 1 ⎧⎪b + c = 2a 3 4 2 (a - b 2 ) 3 所以 c = b , a = b ,因此
⎨
⎪ b
c = b 5 5 ⎪a - - c - a - =- b ⎩ 5
结合函数图像,看一类二次不等式问题
【例6】 （2008 年联赛）已知 a 2 + b 2 = 1,对于满足条件 0 ≤ x ≤1 的一切实数 x ,不等式
a (1- x )(1- x - ax ) - bx (
b - x - bx )≥ 0 恒成立 .当乘积 ab 取最小值时 ,求 a ,b 的值． 【解析】由 x + y = 1, xy ≥0 可知 0 ≤ x ≤1 , 0 ≤ y ≤1 ．
在①式中,令 x = 0 , y =1,得 a ≥0 ；令 x = 1 , y = 0 ,得b ≥0 ．将 y = 1 -
x 代入①式,得 a (1- x )2 - x (1- x ) + bx 2 ≥0 ,即
(1+ a + b ) x 2 - (2a +1) x + a ≥ 0
②
易知 1+ a + b > 0 , 0 <
2a + 1
2(1+ a + b )
< 1 ,故二次函数 y = (1+ a + b )x 2 - (2a + 1)x + a 的图
象（抛物线）的开口向上,且顶点的横坐标在 0 和 1 之间．
由题设知,不等式②对于满足条件0 ≤ x ≤1 的一切实数 x 恒成立, 所以它的判别式 ∆ = (2a +1)2 - 4(1+ a + b ) ⋅ a ≤ 0 ,即 ab ≥ 1 4
⎧a 2 + b 2 = 1, ⎪⎨ 1
⎪ 消去b ,得16a 4 -16a 2 +1 = 0 ,所以 a 2 = 2 - 3 4 4
③
又因为 a ≥0 ,所以 a =
6 - 2 4 4
⎧a = 6 - 2 , ⎧a = 6 + 2 , 于是方程组③的解为⎨ 或⎨
, .
所以满足条件的 a , b 的值有两组,分别为
a =
6 - 2 , b =
4
3、区间最值
（1） 最值
x 2 - cx - a -
2 ⎪
2
⎝ ⎭
8
）
5
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
⎧
-c 即 ⎨ b 8 ⎪
⎩ 2 2 5
a 2 + c 2 =
b 2,所以 ∆ABC 是直角三角形． 故选 D ．
（2） 区间最值
, 故0 ≤ (ab - )2 ≤ ,因此0 ≤ -2(ab - )2 + ≤ ,即0 ≤ a 4 + ab + b 4 ≤ . 2 2 ,b = - 2 取得.
, ∴b 2 - 4c = 2 b 2 - 4c b 2 - 4c ≠ 0 所以 b 2 - 4c = 4
【例8】 （2012 年联赛）已知实数 a , b 满足 a 2 + b 2 = 1 则 a 4 + ab + b 4 的最小值为（
1
9
）
A ． -
8
B ．0
C ．1
D ．
8
1 9 【解析】 a 4 + ab + b 4 = (a
2 + b 2 )2 - 2a 2b 2 + ab = 1 - 2 a 2b 2 + ab = -2(ab - )2 +
. 4 8
1 1 3 1 1
因为 2 | ab |≤ a 2 + b 2 = 1 ,所以 - ≤ ab ≤ ,从而 - ≤ ab - ≤ ,
2 2 4 4 4
1 9 1 9 9 9 4 16 4 8 8 8
因此 a 4 + ab + b 4 的最小值为 0,当 a = -
2 2 2 2
4、代几综合
（1） 结合线角
【例9】 （2010 年联赛）二次函数y = x 2 + bx + c 的图象与 x 轴正方向交于 A , B 两点,与 y 轴
正方向交于点 C ．已知 AB = 3AC , ∠CAO = 30︒ , 则 c =
．
【解析】观察可知 A 必须在 B 左边,否则 B 会跑到 x 轴负半轴上．
设 A 的横坐标为 a ,则C 的纵坐标为 3 a , AC = 2 3 a , AB = 2a ．
3 3
因此,考虑两根之积, a ⨯ 3a = 3 a , a = 3 , 3 a = 1 ．
3 9 3 9
（2） 结合三角形
【例7】 （2011 年联赛）二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象的顶点为 D ,与 x 轴正方向从左
至右依次交于 A ,B 两点,与 y 轴正方向交于C 点,若△ABD △和 OBC 均为等腰直
角三角形（ O 为坐标原点）,则b + 2c =
．
【解析】 △OBC 为等腰直角三角形,∴OB = OC ,∴ B 点坐标为 (c ,0) ∴c 2 + bc + c = 0 又
c ≠ 0 ,∴ c + b + 1 = 0 , AB =
b 2 - 4
c , D 点纵坐标为 c - b 2 , △ABD 为等腰直
4
角三角形,∴ c - b 2 = 1 b 2 - 4c 4 2
, , ∴b 2 = 4c + 4 = -4b , b ≠ 0 ,∴b = -4 ,∴c = 3 , b + 2c = 2
（3） 结合圆
【例8】 （2009 年联赛）已知二次函数 y = x 2 + bx + c (c < 0) 的图象与 x 轴的交点分别为 A 、
B ,与 y 轴的交点为
C ．设△ABC 的外接圆的圆心为点 P ． ⑴ 证明：⊙P 与 y 轴的另一个交点为定点．
△
S ABC ⑵ 如果 AB 恰好为⊙P 的直径且
【解析】⑴ 易求得点 C 的坐标为(0,c ) , = 2 ,求b 和 c 的值． 设 A (x ,0), B (x , ),则 x + x = -b , x x = c ．
1 2 1 2 1 2
设⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D ,由于 AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦,它们的交
1 2
1 2
所以 S
2
3 ． b 2
+ 4 ⋅1 = 2 ,解得 b = ±2
= AB ⋅ OC =1
点为点 O ,所以 OA ⨯ OB = OC ⨯ OD 则 O D = OA ⨯ OB
OC c = x x = = 1．
1 2
c c
因为c < 0 ,所以点C 在 y 轴的负半轴上,从而点 D 在 y 轴的正半轴上,所以点 D
为定点,它的坐标为 (0 , )．
⑵ 因为 AB ⊥CD ,如果 AB 恰好为⊙P 的直径,则C 、 D 关于点 O 对称,所以 点C 的坐标为(0,-1) ,即c = -1 ． 又 AB = x - x = (x + x )2 - 4x x =
(-b )2 - 4c = b 2 + 4 ,
1
2
1
1 2
整体可见：二次函数既有配方和一元二次方程等代数问题 ,也有函数图象和单调性等函
数自身的问题,也有代几综合的题目。

不过返璞归真,只要我们把二次函数里的最基本的
知识掌握好,了解二次函数的常见考法,一切问题都只是等着我们攻克。