北师大版高中数学必修四11 单元测试卷一.docx

11 单元测试卷一
时间：90分钟 满分：150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y ＝sin(－4x ＋1)的最小正周期是( ) A.π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π 答案：A
解析：利用三角函数的周期公式T ＝2π|ω|＝2π4＝π
2
.
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 答案：B
解析：由题意，可得cos θ＝45，所以cos(π－θ)＝－cos θ＝－4
5
.
3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin π3x ，x ≤2015
f (x －4)，x >2015
，则f (2016)＝( )
A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案：C
解析：f (2016)＝f (2012)＝sin 20123π＝sin ⎝⎛⎭⎫670π＋23π＝sin 23π＝32
. 4．若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点中心对称，则φ＝( )
A ．－π2
B ．2k π－π
2
(k ∈Z )
C ．k π(k ∈Z )
D ．k π＋π
2
(k ∈Z )
答案：D
解析：若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋
π
2
(k ∈Z )． 5．下列不等式中，正确的是( )
A ．tan 13π4＜tan 13π5
B ．sin π
5
＞cos ⎝⎛⎭⎫－π7 C ．sin(π－1)＜sin1°
D ．cos 2π
5
＜cos ⎝⎛⎭⎫－π5 答案：D
解析：由三角函数的单调性知D 正确．
6．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π
2的图像如图所示，则当t ＝1
100
s 时，电流强度是( )
A ．－5 A
B ．5 A
C ．5 3 A
D ．10 A 答案：A
解析：由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2π
T
＝100π，∴I ＝10sin(100πt
＋φ)．又⎝⎛⎭⎫1300，10在图像上，∴100π×1300＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1
100
s 时，l ＝－5 A ，故选A. 7．下列四个命题：①函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；②函数y ＝tan(2x ＋1)的最小正周期是π；③函数y ＝tan x 的图像关于点(π，0)成中心对称；④函数y ＝tan x 的图像关于点⎝⎛⎭
⎫－π2，0成中心对称．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C
解析：对于①，函数y ＝tan x 仅在区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内递增，如π4＜5π4，但tan π4
＝tan 5π4，所以①不正确；对于②，其最小正周期是π
2，所以②也不正确；观察正切曲线可知
命题③④都正确．
8．要得到函数y ＝sin2x 的图像，只需将函数y ＝cos(2x －π
4
)的图像( )
A ．向左平移π
8个单位
B ．向右平移π
8个单位
C ．向左平移π
4个单位
D ．向右平移π
4
个单位
答案：B
解析：将函数y ＝cos(2x －π4)向右平移π
8个单位，得到y ＝cos ⎝⎛⎭
⎫2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin2x ，故选B.
9．在△ABC 中，若sin A sin B cos C ＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．锐角或钝角三角形 答案：C
解析：正弦函数在区间(0，π)的函数值都为正，故cos C ＜0，角C 为钝角．
10．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤0，3π2上的函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝3π4对称，当x ≥3π4
时，f (x )＝cos x ，如果关于x 的方程f (x )＝a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为( )
A.54π
B.32π
C.9
4
π D ．3π 答案：A
解析：当a ＝－1时，方程两解关于直线x ＝3π4对称，两解之和为32π，当－1＜a ＜－2
2
时，
方程有四解，对应关于直线x ＝3π4对称，四解之和为3π，当a ＝－2
2
时，方程有三解，它们
关于直线x ＝3π4对称，三解之和为94π，当－22＜a ＜0时，方程有两解，它们关于直线x ＝
3π
4对称，其和为3
2
π.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm 2.
答案：3π2
解析：∵15°＝π12 ∴扇形的面积为S ＝12r 2α＝12×62×π12＝3π
2
.
12．已知在△ABC 中，sin A ＝1
2
，则cos A ＝________.
答案：32或－3
2
依题意可知A ∈(0，π)，又sin A ＝12，所以A ＝π6或5π6，所以cos A ＝32或－3
2.
13．已知0<α<π2，sin α＝4
5
，则tan α＝
________________________________________________________________________；
sin (α＋π)－2cos ⎝⎛⎭
⎫
π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝________.
答案：43
4
解析：由0<α<π2，sin α＝45，得cos α＝35，则tan α＝4
3；sin (α＋π)－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝
－sin α＋2sin αsin α－cos α
＝4.
14．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的图像与直线y ＝－a (a ∈R )的交点中距离的最小值为________．
答案：π2
解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ＝π2
，故y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3与y ＝－a 的交点中距离的最小值为π2
.
15．给出下列命题：
(1)函数y ＝sin|x |不是周期函数；
(2)函数y ＝tan x 在定义域内为增函数；
(3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的最小正周期为π
2
； (4)函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的一个对称中心为⎝⎛⎭
⎫－π
6，0. 其中正确命题的序号是________． 答案：(1)(4)
解析：(1)由于函数y ＝sin|x |是偶函数，作出y 轴右侧的图像，再关于y 轴对称即得左侧图像(图略)，观察图像可知没有周期性出现，即y ＝sin|x |不是周期函数，命题(1)正确；(2)正
切函数在定义域内不单调，命题(2)错误；(3)令f (x )＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12，因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝⎪
⎪⎪⎪－cos2x ＋12≠f (x )，所以π
2
不是函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期，命题(3)错误；(4)由于f ⎝⎛⎭⎫－π6＝0，故⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝4sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3的一个对称中心，命题(4)正确． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期是π2
. (1)求ω的值；
(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．
解：(1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期是π2
， ∴2π2ω＝π
2
，所以ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π16＋k π
2
(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1， 所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x 的集合为{x |x ＝π16＋k π
2
，k ∈Z }．
17．(12分)角α的终边上的点P 与A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠0，b ≠0)，角β的终边上
的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos β＋tan αtan β＋1
cos αsin β的值．
解：∵P (a ，－b )，∴sin α＝－b a 2＋b 2，cos α＝a a 2＋b
2，tan α＝－b
a .
∵Q (b ，a )，∴sin β＝a a 2＋b 2，cos β＝b a 2＋b 2
，tan β＝a
b .
∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos αsin β＝－1－b 2a 2＋a 2＋b 2a
2＝0. 18．(12分)已知函数f (x )＝a sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋a
2＋b ()x ∈R ，a >0，ω>0的最小正周期为π，函数f (x )的最大值是74，最小值是3
4
.
(1)求ω，a ，b 的值；
(2)求出f (x )的单调递增区间．
解：(1)由函数f (x )的最小正周期为π，得ω＝1.
又f (x )的最大值是74，最小值是3
4
，
则⎩
⎨⎧
a ＋a 2＋
b ＝74
－a ＋a 2＋b ＝
34，
解得a ＝1
2
，b ＝1.
(2)由(1)，知f (x )＝1
2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6＋54， 当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
即k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )时，f (x )单调递增，
故f (x )的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π
6(k ∈Z )． 19．(12分)对任意的θ∈R ，不等式sin 2θ＋2m cos θ－2m －2<0恒成立，求实数m 的取值范围．
解：对任意的θ∈R ，
不等式sin 2θ＋2m cos θ－2m －2<0恒成立，
即1－cos 2θ＋2m cos θ－2m －2<0恒成立，得cos 2θ－2m cos θ＋2m ＋1>0恒成立． 由θ∈R ，得－1≤cos θ≤1. 设t ＝cos θ，则－1≤t ≤1.
令g (t )＝t 2－2mt ＋2m ＋1，－1≤t ≤1，则g (t )的图像关于直线t ＝m 对称． ①当m ≤－1时，g (t )在t ∈[－1,1]上为增函数，
则g (t )min ＝g (－1)＝4m ＋2>0，得m >－1
2
，与m ≤－1矛盾；
②当－1<m <1时，g (t )min ＝g (m )＝－m 2＋2m ＋1>0，得1－2<m <1＋2，所以1－2<m <1；
③当m ≥1时，g (t )在t ∈[－1,1]上为减函数，则g (t )min ＝g (1)＝2>0. 综上，实数m 的取值范围为(1－2，＋∞)．
20．(13分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，在同一个周期内，当x ＝π
4
时，y 取最大值1，当x ＝7π
12
时，y 取最小值－1.
(1)求函数的解析式y ＝f (x )．
(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图像？
(3)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0<a <1)，求此方程在[0,2π]内的所有实数根之和．
解：(1)∵T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π4＝2π
3，
∴ω＝2πT ＝3.
又sin ⎝⎛⎭⎫3π
4＋φ＝1， ∴3π4＋φ＝2k π＋π
2，k ∈Z . 又|φ|<π2，
∴φ＝－π
4
，
∴y ＝f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫3x －π4. (2)y ＝sin x 的图像向右平移π
4
个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像， 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像上所有点的横坐标缩短为原来的13
， 纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π
4的图像． (3)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为2π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π
4在[0,2π]内恰有3个周期， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3x －π
4＝a (0<a <1)在[0,2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π
2，
x 3＋x 4＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2＝11π6，x 5＋x 6＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2×2＝19π6
， 故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π
2
.
21．(14分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)＋B ⎝
⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2，x 为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f (x )的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解：(1)由题可知T 2＝7－3＝4，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π
4
.
又⎩⎨⎧
5＋9
2
＝B 9－52＝A
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
A ＝2
B ＝7.
即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋7.(*)
又f (x )过点(3,9)，代入(*)式得2sin ⎝⎛⎭⎫3π
4＋φ＋7＝9， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，
∴3π4＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z . 又|φ|<π2，∴φ＝－π4
，
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *
)．
(2)令f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
π4x －π4＋7>8，
∴sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4>12， ∴π6＋2k π<π4x －π4<5π
6＋2k π，k ∈Z ， 可得53＋8k <x <13
3
＋8k ，k ∈Z .
又1≤x ≤12，x ∈N *，
∴x＝2,3,4,10,11,12，
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．。