2019高考数学考点突破__鸭系列：不等式的证明学案.docx

不等式的证明
【考点梳理】
1.基本不等式
定理1：设日，方GR,则a +l)^2ab,当且仅当a=b时，等号成立.
定理2：如果日，力为正数，则当且仅当a=b时，等号成立.
定理3：如果自，b, c为正数，则"+?+、眾嬴,当且仅当2=Z?=c时，等号成立.
定理4：(一般形式的算术一儿何平均不等式)如果务创,…，缶为门个正数，则"+型+…+弘n
2冷&血…当且仅当级=业=••• = &“吋，等号成立.
2.不等式证明的方法
(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.
名称作差比较法作商比较法
理论依据
日＞/心日一Z?＞0
日＜/x二＞臼一方＜0
8= b=0
/?>0, 7>1=>^>Z? b
b<0, 7>1=>^<Z? b
(2)
①综合法：利用某些己经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“市因导果”的方法.
②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.
【考点突破】
考点一、比较法证明不等式
【例1】设臼，〃是非负实数，求证：才+FNp矗(日+力).
[解析]因为a+b~—y[ab(a+ 6)
=(a—cr\[ab) +
= cr^a + lr^~b (y[b—y[a)
=（込—边）cj —Z T \^）
（1
/ 3
3\
/ -b 2
a 2 -h 2
\
7 \ 丿
2 12 因为曰20,力20,所以不论日2力NO,还是0WaWb,都有a 2
-b 2
与/
所以 a +1）^y[ab （ci+ b ）. 【类题通法】
作差比较法证明不等式的步骤
（1）作差；（2）变形；（3）判断差的符号；（4）下结论.其中“变形”是关
键,
成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.
【对点训练】
已知$>o, z?>o,求证：击込+寸2. [解析]法一因为玄+±一（&+血
（V^） '+ （y/1））（込+V^）
（y[2+y{7））'
又$>0,方〉0,寸乔>0,所以玄+#2寸寸厶
考点二、综合法证明不等式
【例2】已知函数f\x) =
| + x+^，〃为不等式f(x) <2的解集.
(1) 求鳳
(2) 证明：当日，b^M Bt, \a+b\<\l+ab\.
( 1
（\_/ 3 3 A
-b 2
a 2 -
b 2 \ /
\ /
30,
5同号，所以
通常将差变形
V c?>0, Z?>0, >0.
因此亡+卓 yfb
JL +A
法二由于
（込+V^） （自—b ）
（士+yp?）
_2x,点一㊁，
［解析］(l)f(x)=V 1, —|<x|,
2x,心
当—*时，由f(0 <2 得一2*2,
解得x> —1,所以-1<穴_*；
当—时，f(力<2恒成立.
当吋，由f{x) <2 得2X2,
解得*1,所以
所以t\x) <2 的解集M= {x\— 1<X1}.
(2)由⑴知,当a, b^M时,-l<a<l, -KZK1,
从而(臼+b)‘一{\+ab)~ = a+Ij—aIj—\
=&一1) (1_旳<0,
所以(匂+b)2<(l + $m 因此 | a+b\< | \ + ab\.
【类题通法】
1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A=B戶B戸・・0BnnB(A为已知条
件或数学定义、定理、公理，〃为要证结论)，它的常见书面表达式是“・・・，・・・”或“=>”.
2.综合法证明不等式，要着力分析己知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.
合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
【对点训练】
已知函数f{x)=2\x+l\ + \x-2\.
(1)求fd)的最小值/〃；
// 店 /
(2)若日，b, c均为正实数，且满足a+b+c=m,求证：一+丁+—M3.
a b c
[解析](1)当x< —1 时，f(x) =—2(^+1) — (x—2) = —3%>3；当一1 WxV2 时，f(x) =2(x+l) — (x—2) =x+4E [3, 6):
当xM2时，f(x) =2(x+l) + (x-2) =3心6.
综上，fd)的最小值仍=3.
(2)臼，b, c 均为正实数，且满足自+方+c=3,
A 2 /
/
因为一+〒+—+@+方+c)
a D c =&+臼丿+厅+方丿+u+c
三2（七•十挣 b+弋• cj=2（a+b+c ）. （当且仅当日=b=c =1时取“=”）
考点三、分析法证明不等式 【例3】设日，方，c, 〃均为正
数，且a+b= c+d,证明： ⑴若自b> cd,则y[a+y[b>y[c+^~ck ⑵y[a+y[b>y[c+y[d7^. \ a — b\< \ c —d\ 的充要条件.
[解析](1)丁日，b, c, 〃为正数，且a+ b= c+ d, 欲证£+卫>迄+甫, 只需证明(y[a+y[l))~> (y[c+y[d)2f
也就是证明臼 + 方 +
c~\~ d~\~2yl~cc/f
只需证明y[晶即证ab> cd.
由于ab> cd,
因 ^y[a+yp)>y[c+y[c/.
(2)①若 | a —b\< I c~d\ ,则(a —Z>)2<(c —dD 2,
即(&+b)'—4臼Z?<(c+ d)~—4cd. 因
为 $+ b= c+ d,所以 ab> cd. 由(1)，得&+讥>讥+*\/^
②若士+卫>\[^+甫,则(&+边)2
> (y[c+y[d) \ 即 a+ b+ 2y[ab> c+ r/+ 2y[cd.
23.
因为 a+b= c+ d,所以 ab>cd.
于是(日一方)'=(^+Z?)2
—4a/X (c+ d)z
—4cd= (c~ d)2
. 因此\a~b\<\ c —d\.
综上，寸讥「日一方|| Q — d 的充要条件. 【类题通法】
1. 本题将不等式证明与充要条件的判定滲透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想 方
法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方來证明.
2. 当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法來寻找证明途径，使用 分
析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
3. 分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：
【对点训练】
己知函数f(x) = | 11.
(1) 解不等式 f(0+/U+4)M8；
(2) 若 |c?|<l, |/?|<1,且日 H0,求证：f(cib) >\a\f
・
［解析］ ⑴依题意,原不等式等价于| l 11 + |卄31 N8. 当* — 3 时，则一2x —2N8,解得 xW —5.
当一3冬虑1时，则4M8不成立，不等式解集为0. 当Q1时，则2/+2M8,解得/N3.
所以不等式f(x) +尸匕+4) $8的解集为{” 或xW —5}.
(2)要证 f (“) >| 日(勺,
只需证I ab —\\>\b —a\,只需证(ab —l)2>(b —a)2
.
V |a|<l, |Z?|<1,知 a<l,方幻,
(ab — 1)' — (b — a)2
= a I)—a —tt+1
= (/-l)(方'一l)>0.
故(必一I)%—»成立.从而原不等式成立.
|铁川一［7両一|雄u/羽
得到一个明显 成立的条件。