离散数学王元元习题解答 (5)

第二篇集合论
第四章集合及其运算
4.1 集合的基本概念
容提要
4.1.1集合及其元素
集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的对象的总体。

组成集合的对象称为集合的成员或元素（member）。

通常用一对“{ }”把集合的元素括起来，表示一个集合。

元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念。

即当对象a是集合A的元素时，称元素a属于集合A，记为
a∈A
当对象a不是集合A的元素时，称a不属于A，记为
⌝(a∈A)或a∉A
对任何对象a和任何集合A，或者a∈A或者a∉A,两者恰居其一。

这正是集合对其元素的“确定性”要求。

定义4．1空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。

有限集合中元素的个数称为基数（cardina lit y）（无穷集合的基数概念将在以后重新严格定义）。

集合A的基数表示为|A|。

4.1.2 外延公理、概括公理和正规公理
集合论依赖于三大基本原理：外延公理（extensionality axiom）、概括公理（comprehension axiom）和正规公理（regularity axiom）。

它们从根本上规定了集合概念的意义。

外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。

即对任意集合A，B,
A=B ↔∀x(x∈A↔x∈B)
外延公理事实上刻划了集合的下列特性：集合元素的“相异性”、“无序性”，及集合表示形式的不唯一性。

概括公理: 对任意个体域，任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。

即对给定个体域U，对任意谓词公式P(x)，存在集合S，使得
S＝{x ⎢x∈U∧P(x)}
概括公理规定了集合元素的确定性,以及集合的描述法表示的理论依据，它还规定了空集的存在性。

正规公理：不存在集合A1，A2, A3，…，使得
…∈A3 ∈ A2 ∈A1
正规公理的一个自然推论是：对任何集合A，{A}≠A（否则有…∈A∈A∈A）。

从而规定了集合{A}与A的不同层次性,因而正规公理也就规定了集合不能是自己的元素。

4.1.3子集合
定义4.2集合A称为集合B的子集合（或子集，subsets），如果A的每一个元素都是B的元素，即
∀x(x ∈A →x ∈B)
A 是
B 的子集，表示为A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）。

定理4.1对任意集合A ，B ，A ＝B 当且仅当A ⊆ B 且B ⊆ A 。

定理4.2 对任意集合A ，A ⊆ U 。

定理4.3 设A ，B ，C 为任意集合，若A ⊆ B,B ⊆ C ，则A ⊆ C 。

定理4.4 对任何集合A ，∅ ⊆ A 。

即空集是任意集合的子集。

定理4.5 空集是唯一的。

定理 4.6 设 A 为一有限集合，|A | = n ，那么 A 的子集个数为2n 。

习题解答
练习4.1
l 、证明：如果A ∈｛｛b ｝｝，那么b ∈A 。

证 由于A 为集合｛｛b ｝｝的元素，而集合｛｛b ｝｝中只有一个元素｛b ｝，所以A=｛b ｝； 又因为b ∈｛b ｝，所以b ∈A 。

2、用描述法规定下列集合：
（1）A ＝｛1，3，5｝
（2）B = {2，3，5，7，11，13，17，…，89，97}
（3）C ＝｛｛0｝，｛1｝，｛2｝，｛3｝，…，｛9｝｝
（4）全集 U
解 （1）A ＝}531|{=∨=∨=x x x x
（2）B =)}(|{x p x ，)(x p ：x 为小于100的质数
（3）C ＝}10|}{{<∧∈x N x x
（4）U ＝)}()(|{x Q x Q x ⌝∨ )(x Q 为任意一元谓词公式
3、对任意对象a ，b,c ，d ，证明：
{{a},{a,b}}＝{{c},{c ，d}} 当且仅当 a = c 且b = d
证 设a = c 且b = d ，则显然{{a},{a,b}}＝{{c},{c ，d}}；
设{{a},{a,b}}＝{{c},{c ，d}}，则有{a}＝{c}，{a,b}＝{c ，d}或者{a}＝{c ，d}，{a,b}＝ {c}。

前一种情况有a ＝c 且b ＝d ；后一种情况有a ＝c ＝d 且a ＝b ＝c ，所以有a ＝c 且b ＝d 。

命题得证。

4、指出下列集合序列的排列规律，并依此规律再写出两个后续集合：
∅ ，｛∅｝，｛∅,｛∅｝｝,｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝，┅
解 上述集合序列的排列规律是A n+1＝A n ⋃｛A n ｝。

两个后续集合分别为：
｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝，｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝｝；
｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝，｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝，｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝，｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝｝｝。

5、“如果A ∈B, B ∈C ，那么A ∈C ”对任意对象A,B,C 都成立吗？都不成立吗？举例
说明你的结论。

解并不都成立，例如：设A＝1,B＝{1},C＝{{1}}，此时A∈B且B∈C，但A∉C；
另一方面，并不是都不成立，例如：A＝1,B＝{1}, C＝{1，{1}}，此时A∈B，B∈C，且A∈C。

6、确定下列各命题的真、假；
（1）∅⊆∅
（2）∅⊂∅
（3）∅∈∅
（4）∅⊆｛∅｝
（5）∅∈｛∅｝
（6）｛a, b｝⊆｛a , b , c,｛a，b，c｝｝
（7）｛a, b｝∈｛a，b，c，｛a，b，c｝｝
（8）｛a, b｝⊆｛｛a，b｝，｛｛a，b｝｝｝
（9）｛a, b｝∈｛｛a，b｝，｛｛a，b｝｝｝
（10）{{a, b}}⊂｛｛a，b｝，｛｛a，b｝｝｝
（11）对任意集合A，B，C，、若A∈B，B ⊆ C则A∈C。

（12）对任意集合A，B，C，若A∈B，B ⊆C则A ⊆ C。

（13）对任意集合A，B，C，若A ⊆ B，B∈ C则A ∈ C。

（l4）对任意集合A，B，C，若A ⊆ B，B ∈ C则A ⊆ C。

解（1）真，（2）假，（3）假，（4）真，（5）真，（6）真，（7）假，（8）假，（9）真，（10）真，（11）真，（12）假，（13）假，（14）假。

7、指出下列各组集合中的集合间的不同之处，并列出每一集合的元素和全部子集：
（1）｛∅｝，｛｛∅｝｝
（2）｛a，b，c｝，｛a，｛b，c｝｝，｛｛a，b，c｝｝
解（1）不同之处：前者是以空集为元素的集合，而后者是以前者为元素的集合。

｛∅｝的元素为∅，全部子集为：∅，｛∅｝
｛｛∅｝｝的元素为｛∅｝，全部子集为：∅，｛｛∅｝｝
（2）第一个集合由3个元素组成；第二个集合由2个元素组成，其中一个元素为集合；第三个集合由1个元素组成，该元素为一个集合。

｛a，b，c｝的元素为：a，b，c；全部子集为：∅，｛a｝，｛b｝，｛c｝，｛a，b｝，｛b，c｝，｛a，c｝，｛a，b，c｝。

｛a，｛b，c｝｝的元素为：a，｛b，c｝；全部子集为：∅，｛a｝，｛｛b，c｝｝，｛a，｛b，c｝｝。

｛｛a，b，c｝｝的元素为：｛a，b，c｝；全部子集为：∅，｛｛a，b，c｝｝。

8、罗素曾用下列较通俗的悖论来解释他的集合论悖论（罗素悖论）：某镇上一位理发师宣布，他只给那些不给自己刮脸的人刮脸。

问：为什么这是一个悖论？
解如果理发师给自己刮脸，那么按照规定，理发师不能给自己刮脸（因为他只给那些不给自己刮脸的人刮脸）；如果理发师不给自己刮脸，那么按照规定，理发师应该给自己刮脸（因为他给那些不给自己刮脸的人刮脸）。

这样，理发师给自己刮脸或不给自己刮脸都得出矛盾。

所以这是一个悖论。

9、说明为什么在确定个体域上使用抽象原理(即使用概括公理)时罗素悖论不再成立。

解 在确定的个体域D 上使用概括公理时，罗素悖论中的集合
}|{x x D x x B ∉∧∈=
当我们再问?B B ∈时，回答B B ∉时不会导致矛盾，因为B B D B B B ∈∨∉⇔∉。

从而避免了罗素悖论的产生。

10、设A ，B 为任意集合．证明：如果对任意的集合C ，C ⊆ A 当且仅当C ⊆ B ，那么A ＝B 。

证 因为C 为任意的集合，因此，当令C ＝A 时有A ⊆ B ，当令C ＝B 时有B ⊆ A ，因此有A ＝B 。

11、证明：不能使用“一切集合的集合（所谓大全集）”作为个体域U 。

（提示：若用大全集作为个体域；概括公理也将导致罗素悖论。

）
解 如题9，加上确定的个体域D 为大全集U ，则概括公理为S = {x | x ∈U ∧ P(x)}，它等价于S = {x | P(x)}，这就相同于抽象原理，会产成悖论。

4.2 集合运算
容提要
4.2.1 并、交、差、补运算
定义4.4 设A ，B 为任意集合。

（l ） A ∪B 称为A 与B 的并集（union set ），定义为
A ∪
B ＝｛x ∣x ∈A ∨x ∈B ｝
∪称为并运算。

（2） A ∩B 称为A 与B 的交集（intersection set ），定义为
A ∩
B =｛x ∣x ∈A ∧x ∈ B ｝
∩称为交运算。

（3） A -B 称为A 与B 的差集（difference set ），定义为
A -
B ＝｛x ∣x ∈A ∧x ∉ B ｝
- 称为差运算。

（4）A –称为A 的补集（complement set ），定义为
A –=U -A =｛x | x ∈U ∧x ∉A ｝
– 称为补运算，它是一元运算，是差运算的特例。

定理4.7 设A ，B ，C 为任意集合，那么
（l ）A ⋃A ＝A A ⋂A ＝A （幂等律）
（2）A ⋃B = B ⋃A A ⋂B = B ⋂A （交换律）
（3）A ⋃（B ⋃C ）=（A ⋃B ）⋃C A ⋃（B ⋃C ）=（A ⋃B ）⋃C （结合律）
（4）A ⋃∅＝A ， A ⋂U=A （同一律）
（5）A ⋂∅=∅， A ⋃U = U （零一律）
（6）A ⋃(B ⋂C)=(A ⋃B)⋂(A ⋃C) A ⋂(B ⋃C)=(A ⋂B)⋃(A ⋂C) （分配律）
（7） A ⋃（A ⋂B ）= A ， A ⋂（A ⋃B ）= A （吸收律） 定理 4.8 对任意集合 A ，B ，C ，
（l ） A - B ＝A ⋂B –
（2）A - A ＝∅， A - ∅＝A ， A – U = ∅
（3）A - (B ⋃C)＝(A - B)⋂(A - C)
A - (
B ⋂C)＝(A - B)⋃(A - C)
定理4.9 对任意集合A ，B
（1） A ––＝A （双重否定律）
（2） U –＝∅ , ∅–＝U （补余律）
（3） A ⋃A –＝U , A ⋂A –＝∅ （互否律）
（4）(A ⋃B)–＝A –⋂ B – (A ⋂B)–＝A –⋃ B
– （德摩根律）
定理4.10 对任意集合A , B , C , D ，
（1）A ⊆ A ⋃B ，B ⊆ A ⋃B ．
（2）A ⋂B ⊆ A A ⋂B ⊆ B 。

（3）A - B ⊆ A
（4）A ⊆ B, A - B = ∅,A ⋃B = B , A ⋂B = A 四个命题等价。

（5）若A ⊆ B,则B –⊆ A –
定理4.11 对任意集合A ，B ．若它们满足
（l ）A ⋃B ＝U
（2）A ⋂B ＝∅
那么B ＝A –
4.2.2 求幂运算和广义并、交运算*
定义 4.5 对任意集合 A ，ρ(A)称为A 的幂集（Power set ），定义为
ρ(A)＝｛x | x ⊆A ｝
即A 的全体子集构成A 的幂集。

此种运算称为集合A 的求幂运算。

定理4.12 设A,B 为任意集合, A ⊆B 当且仅当ρ(A) ⊆ρ(B) 。

定义4.6 若集合C 的每个元素都是集合，则称C 为集合族（collections ）。

若集合族C 可表示为
C =｛S d |d ∈
D ｝
则称 D 为集合族的标志集（index set ）。

定义4.7 设C 为非空集合族，
（l ） C Y 称为C 的广义并，定义为 {})(:S x C S S x C ∈∧∈∃=Y
（2） C I 称为C 的广义交。

定义为
{})(:S x C S S x C ∈→∈∀=I
（3）当集合族C =｛A d |d ∈D ｝时，C Y 和C I 可分别表示为
d D d A C ∈=Y Y ，d D d A C I I ∈=
当D 为自然数集N 时，它们又可分别表示为
d d A C ∞==0Y Y ，d d A C ∞==0
I I
定理4.13 对任意集合A 和集合族C ，有
{}C S S A C A ∈⋂=⋂:)(Y Y
{}C S S A C A ∈⋃=⋃:)(I I
定理4.14 对任意集合A 和集合族C ，有
{}C S S A C A ∈-=-:)(I Y
{}C S S A C A ∈-=-:)(Y I
定理4.15 对任意集合族C 有
{}C S S C ∈=--:)(I Y
{}C S S C ∈=--:)(Y I
定理4.16 对任意集合A A A =)(,ρY ．
*4.2.3环和、环积运算
定义4.8 对任意集合A ，B ，
A ⊕
B 称为A 与B 的环和（cycle sum ）或对称差，定义为
A ⊕
B = （A-B ）⋃（B-A ）
A ⊗
B 称为A 与B 的环积（cycle product ），定义为
A ⊗
B = （A ⊕B ）
- 定理4.17 对任意集合A ，B ， 有
（1）A ⊕B = （A ⋃B ）-（A ⋂ B ）
（2）A ⊗B = （A ⋃B -）⋂（A - ⋃B ）
定理4.18 对任意集合A ，B ，C ，
（1）A ⊕ B = B ⊕ A
（2）A ⊕ A = ∅
（3）A - ⊕ B - = A ⊕ B
（4）A ⊗ B = （A ⊕ B ）- = A - ⊕ B = A ⊕ B
- （5）（A ⊕ B ）⊕ C = A ⊕ （B ⊕ C ）
（6）A ⊗ B = B ⊗ A
（7）A ⊗ A = U
（8）A - ⊗ B - = A ⊗ B
（9）（A ⊗ B ）⊗ C = A ⊗ （B ⊗ C ）
习题解答
练习4.2
l 、证明定理4.7之（5）。

证 （1）)(C B A x ⋂⋃∈
)(C B x A x ⋂∈∨∈⇔
)(C x B x A x ∈∧∈∨∈⇔
)()(C x A x B x A x ∈∨∈∧∈∨∈⇔
)()(C A x B A x ⋃∈∧⋃∈⇔
)()(C A B A x ⋃⋂⋃∈⇔
所以)()()(C A B A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃
（2）)(C B A x ⋃⋂∈
)(C B x A x ⋃∈∧∈⇔
)(C x B x A x ∈∨∈∧∈⇔
)()(C x A x B x A x ∈∧∈∨∈∧∈⇔
)()(C A x B A x ⋂∈∨⋂∈⇔
)()(C A B A x ⋂⋃⋂∈⇔
所以)()()(C A B A C B A ⋂⋃⋂=⋃⋂
2、证明定理4.8之（2）中的第二式。

)(C B A x ⋂-∈
)(C B x A x ⋂∈⌝∧∈⇔
)(C x B x A x ∈∧∈⌝∧∈⇔
)(C x B x A x ∉∨∉∧∈⇔
)()(C x A x B x A x ∉∧∈∨∉∧∈⇔
)()(C A x B A x -∈∨-∈⇔
)()(C A B A x -⋃-∈⇔
所以)()()(C A B A C B A -⋃-=⋂-
3、证明定理4.9之（4）。

证 B A x -∈
B x A x ∉∧∈⇔
-∈∧∈⇔B x A x
-⋂∈⇔B A x
所以-⋂=-B A B A 。

4．试以下列次序证明定理4.10的（4）：
P ⇒ R ⇒S ⇒Q ⇒P
证 P ：A ⊆ B ，R ：A ⋃ B = B ，S ：A ⋂ B = A ，Q ：A – B = ∅
1）P ⇒ R ：由定理4.10的（1）容易知道B ⊆ A ⋃ B ，下面要证明A ⋃ B ⊆ B 。

设x ∈A ⋃ B ，那么x ∈A 或x ∈B 。

若x ∈A ，因为A ⊆ B ，所以x ∈B 。

因此有A ⋃ B ⊆ B 。

所以A ⋃ B = B 。

2）R ⇒ S ：由定理4.10的（2）容易知道A ⋂ B ⊆ A ，下面要证明A ⊆ A ⋂ B 。

设x ∈A ，则x ∈ A ⋃ B 。

因为已知A ⋃ B = B ，那么有x ∈ B ，所以x ∈ A ⋂ B ，从而A ⊆ A ⋂ B 。

故A ⋂ B = A 得证。

3）S ⇒ Q ：反设A – B ≠∅，那么至少有一个元素x ∈ A 且x ∉ B ，则A ⋂ B ≠A ，与已知条件S 矛盾，故A – B = ∅得证。

4）Q ⇒ P ：设x ∈A ，设x ∉ B ，则x ∈ A – B ，与A – B = ∅矛盾，所以x ∈ B ，故A ⊆ B 得证。

5．说明下列各命题是否为真，为什么。

（1）若A ⋃ B = A ⋃ C ，则B = C 。

（2）若A ⋂ B = A ⋂ C ，则B = C 。

解 （1）命题不为真。

例，令A = {1,2}，B = {1}，C = {2}。

（2）命题不为真。

例，令A = ∅，B = {1}，C = {2}。

6．对任意集合A ，B ，C ，证明：
（A ⋃ C ）-（B ⋃ C ）⊆ A - B
证：x ∈（A ⋃ C ）-（B ⋃ C ）⇔ x ∈（A ⋃ C ）⋂（B ⋃ C ）—
⇔ x ∈（A ⋃ C ）⋂ B —⋂ C —
⇔ x ∈（A ⋂ B —⋂ C —）⋃（C ⋂ B —⋂ C —）
⇔ x ∈（A ⋂ B —⋂ C —
）
⇒ x ∈ A ⋂ B —
⇔ x ∈ A - B —
故（A ⋃ C ）-（B ⋃ C ）⊆ A - B 得证。

7．对任意集合A ，B ，C ，证明；
（1） A -（B ⋃ C ）＝（A - B ）- C ＝（A - C ）- B
（2）（A ⋂ B ）- C = A ⋂（B - C ）=（A - C ）⋂ B
（3）（A - B ）- C ＝A -（B - C ）当且仅当A ⋂ C = ∅
（4）（A - B ）- C =（A - C ）-（B - C ）
证：（1）A -（B ⋃ C ）＝A ⋂（B ⋃ C ）—
＝A ⋂ B —⋂ C —
＝（A - B）⋂ C—
＝（A - B）- C
A -（
B ⋃ C）＝A ⋂（B ⋃ C）—
＝A ⋂ B—⋂ C—
＝A ⋂ C—⋂ B—
=（A - C）⋂ B—
＝（A - C）- B
故A-（B ⋃ C）＝（A - B）- C＝（A - C）- B得证。

（2）（A ⋂ B）- C ＝A ⋂ B⋂ C—
＝A ⋂（B⋂ C—）
＝A ⋂（B - C）
（A ⋂ B）- C ＝A ⋂ B⋂ C—
＝A ⋂ C—⋂ B
＝（A - C）⋂B
故（A ⋂ B）- C = A ⋂（B- C）=（A - C）⋂B得证。

（3）ⅰ）设（A - B）- C＝A -（B - C）成立，为证A ⋂ C = ∅，反设有x∈A ⋂ C，则x∈A 且x∈C。

而：
（A - B）- C＝A ⋂ B—⋂ C—，所以x∉ A ⋂ B—⋂ C—，从而x∉（A - B）- C；
A -（
B - C）＝A ⋂（B⋂ C—）—＝A ⋂（B—⋃ C）＝（A ⋂ B—）⋃（A ⋂ C），由假设x∈A ⋂ C，则x∈（A ⋂ B—）⋃（A ⋂ C），从而x ∈ A -（B - C）。

这与（A - B）- C＝A -（B - C）矛盾，所以假设不成立，故A ⋂ C = ∅得证。

ⅱ）设A ⋂ C = ∅，此时设x为A中的任一元素，即x∈A，则x ∉ C，所以A - C＝A，那么：
（A - B）- C＝（A - B）⋂C—＝A ⋂ B—⋂ C—＝A ⋂ C—⋂ B—＝（A - C）⋂ B—＝A ⋂ B—；
A -（
B - C）＝A ⋂（B⋂ C—）—＝A ⋂（B—⋃ C）＝（A ⋂ B—）⋃（A ⋂ C）＝A ⋂ B—
所以在A ⋂ C = ∅时，（A - B）- C＝A -（B - C）。

综合ⅰ）、ⅱ），故（A - B）- C＝A -（B - C）当且仅当A ⋂ C = ∅得证。

（4）证：（A - B）- C＝（A - B）⋂ C—
＝A ⋂ B—⋂ C—
（A - C）-（B - C）＝（A ⋂ C—）⋂（B⋂ C—）—
＝（A ⋂ C—）⋂（B—⋃ C）
＝（A ⋂ C—⋂ B—）⋃（A ⋂ C—⋂ C）
＝A ⋂ B—⋂ C—
故（A - B）- C＝（A - C）-（B - C）得证。

8．证明；对任意集合A，B下列命题等价，
（1）A ⊆ B
（2）A—⋃ B = U
（3）A ⋂ B—= ∅
证：（1）⇒（2）：为证A—⋃ B = U，反设有x∈（A—⋃ B）—，即x∈ A ⋂ B—，所以x∈ A 且x∉B；而由A ⊆ B知道x∈ A必有x∈ B，矛盾，故有A—⋃ B = U。

（2）⇒（3）：因为A—⋃ B = U，所以对任一x，有x∈A—或x∈ B
ⅰ）若x∈A—，则x∉A，那么x∉ A ⋂ B—
ⅱ）若x∈B，则x∉B—，那么x∉ A ⋂ B—
即没有一个元素在集合A ⋂ B—中，所以A ⋂ B—= ∅。

（3）⇒（1）：反证设A不包含于B，即有x∈ A且x∉B，所以有x∈ A ⋂ B—，与已知A ⋂ B—= ∅矛盾。

所以A ⊆ B。

9．设A = {∅}，B = {1，2}，求ρ（ρ（ρ（A））），ρ（ρ（B））。

解：A = {∅}，所以ρ（A）= {∅，{∅}}，ρ（ρ（A））= {∅，{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}，故
ρ（ρ（ρ（A）））= {∅，{∅}，{{∅}}，{{{∅}}}，{{∅，{∅}}}，{∅，{∅}}，{∅，{{∅}}}，{∅，{∅，{∅}}}，{{∅}，{{∅}}}，{{∅}，{∅，{∅}}}，{{{∅}}，{∅，{∅}}}，{∅，{∅}，{{∅}}}，{∅，{∅}，{∅，{∅}}}，{{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}，{∅，{{∅}}，{∅，{∅}}}，{∅，{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}}。

B = {1，2}，所以ρ（B）= {∅，{1}，{2}，{1，2}}，
故ρ（ρ（B））= {∅，{∅}，{{1}}，{{2}}，{{1，2}}，{∅，{1}}，{∅，{2}}，{∅，{1，2}}，{{1}，{2}}，{{1}，{1，2}}，{{2}，{1，2}}，{∅，{1}，{2}}，{∅，{1}，{1，2}}，{{1}，{2}，{1，2}}，{∅，{2}，{1，2}}，{∅，{1}，{2}，{1，2}}}。

10．对任意集合A，B。

求证：
（1）A = B当且仅当ρ（A）=ρ（B）
（2）ρ（A）⋂ρ（B）＝ρ（A ⋂ B）
（3）ρ（A）⋃ρ（B）⊆ρ（A ⋃ B）
证：（1）若A = B成立，那么有
x∈ρ（A）⇔ x ⊆ A
⇔ x ⊆ B
⇔ x ∈ρ（B）
故有ρ（A）=ρ（B）；
若ρ（A）=ρ（B）成立，反设A ≠ B，那么有x∈ A且x∉ B（因为A，B为任意集合，所以作此假设是合理的），则{x}∈ρ（A），而ρ（A）=ρ（B），则{x}∈ρ（B），这与x∉ B 矛盾。

因此A = B。

综上所述，故A = B当且仅当ρ（A）=ρ（B）得证。

（2）x∈ρ（A）⋂ρ（B）⇔ x ⊆ A ∧ x ⊆ B
⇔ x ⊆ A ⋂ B
⇔ x ∈ρ（A ⋂ B）
故ρ（A）⋂ρ（B）＝ρ（A ⋂ B）得证。

（3）x∈ρ（A）⋃ρ（B）⇔ x ⊆ A ∨ x ⊆ B
⇒ x ⊆ A ⋃ B
⇔ x ∈ρ（A ⋃ B）
故ρ（A）⋃ρ（B）⊆ρ（A ⋃ B）得证。

11. 若C = {{x }| x ∈B } 求C Y 。

解：C Y = B 。

12. 对下列诸C ，求 C Y 和C I 。

（l ）C =｛∅｝
（2）C =｛∅，｛∅｝｝
（3）C =｛｛a ｝，｛b ｝，｛a,b ｝｝
（4）C =ρ（ρ（N ））
（5）若允许C = ∅,请讨论C Y 和C I 。

解：（1）C Y = ∅，C I = ∅。

（2）C Y =｛∅｝，C I = ∅。

（3）C Y =｛a ，b ｝，C I = ∅。

（4）C Y =ρ（N ），C I = ∅。

（5）C Y =｛x | ∃s (s ∈ C ∧ x ∈ s)｝，C I =｛x | ∀s (s ∈ C → x ∈ s)｝，那么当C = ∅时,C 中无任何元素，则此时
Φ=C Y ， U C =I
13．对任意非空集合族C1，C2，证明：
（1）⋃)(1C Y )()(212C C C ⋃=Y Y
（2）⋂)(1C Y {}2211212:)(C S C S S S C ∈∧∈⋂=Y Y
（3）⋃)(1C I {}2211212:)(C S C S S S C ∈∧∈⋃=I I
（4）⋂)(1C I )()(212C C C ⋃=I I
证 （1）x ∈1C Y ⋃2C Y ⇔ ∃s (s ∈1C ∧ x ∈ s) ∨ ∃s (s ∈2C ∧ x ∈ s)
⇔ ∃s (s ∈1C ∧ x ∈ s) ∨ (s ∈2C ∧ x ∈ s)
⇔ ∃s (s ∈(1C ⋃2C )∧ x ∈ s)
⇔)(21C C ⋃Y
因此， ⋃)(1C Y )()(212C C C ⋃=Y Y 。

（2）设x ∈(1C Y ) ⋂ (2C Y )，那么x ∈(1C Y )且x ∈(2C Y )，则：
∃s (s ∈1C ∧ x ∈ s)且∃s (s ∈2C ∧ x ∈ s)，
那么有：
∃(s 1 ⋂ s 2)(s ⊆ (s 1 ⋂ s 2) ∧ x ∈ s ∧ s 1 ∈1C ∧ s 2 ∈2C )，
则：x ∈Y { s 1 ⋂ s 2| s 1 ∈1C ∧ s 2 ∈2C }，即有(1C Y ) ⋂ (2C Y ) ⊆Y { s 1 ⋂ s 2| s 1 ∈1C ∧ s 2 ∈2C }；
且以上推导均可逆，故有)(1C Y ⋂=)(2C Y Y { s 1 ⋂ s 2| s 1 ∈1C ∧ s 2 ∈2C }。

（3）设对于任一x ∈⋃)(1C I (2C I )，则对任一s 1 ∈1C 有x ∈ s 1或对任一s 2 ∈2C 有x ∈ s 2，那么对任一s 1 ⋃ s 2（s 1 ∈1C ，s 2 ∈2C ）有x ∈ s 1 ⋃ s 2，因此：
x ∈I { s 1 ⋃ s 2| s 1 ∈1C ∧ s 2 ∈2C }，所以⋃)(1C I (2C I )⊆I { s 1 ⋃ s 2| s 1 ∈1C ∧ s 2 ∈2C }，且以上推导均可逆，故有⋃)(1C I (2C I ) =I { s 1 ⋃ s 2| s 1 ∈1C ∧ s 2 ∈2C }。

（4）仿上题，易证)(1C I ⋂)(2C I ⊆)(21C C ⋃I ；
而对任一s ，s ∈1C ⋃2C ，有x ∈s ，则对任一s 1∈1C ，有x ∈ s 1，且对任一s 2∈2C 有x ∈ s 2，因此)(21C C ⋃I ⊆)(1C I ⋂)(2C I 。

故有)(1C I ⋂)(2C I =)(21C C ⋃I 。

*14．对任意集合A ，B ，C ，证明：
（1）A ⊕ A ⊕ B = B
（2）（A - B ）⊕ B = A ⋃ B
（3）（A ⊗ B ）⋃ C =（A ⋃ C ） ⊗（B ⋃ C ）
（4）（A ⊕ B ）⋂ C =（A ⋂ C ） ⊕（B ⋂ C ）
（5）（A ⊕ B ）– C =（A – C ） ⊕（B – C ）
（6）A ⋃ B = A ⊕（B ⊕（A ⋂ B ））
证 （1）A ⊕ A ⊕ B = ∅ ⊕ B
= ( ∅ – B) ⋃ (B – ∅)
= B
（2）(A –B) ⊕ B = (A ⋂ B –) ⊕ B
= (A ⋂ B –– B) ⋃ (B – A ⋂ B –)
= (A ⋂ B –) ⋃ B
= (A ⋃ B) ⋂ (B – ⋃ B)
= A ⋃ B
（3）(A ⊗ B) ⋃ C = (A – ⊕ B) ⋃ C
= (A –– B) ⋃ (B –A –) ⋃ C
= (A –⋂ B –) ⋃ (A ⋂ B) ⋃ C
(A ⋃ C) ⊗ (B ⋃ C) = (A ⋃ C) – ⊕ (B ⋃ C)
= ((A ⋃ C) –– (B ⋃ C)) ⋃ ((B ⋃ C) – (A ⋃ C) –)
= (A –⋂ C –⋂ B –⋂ C –) ⋃ ((B ⋃ C) ⋂ (A ⋃ C))
= (A –⋂ B –⋂ C –) ⋃ (A ⋂ B) ⋃ C
= (A –⋂ B –⋂ C –) ⋃ C ⋃ (A ⋂ B)
= ((A–⋂ B–) ⋃ C) ⋂ (C–⋃ C) ⋃ (A ⋂ B)
= (A–⋂ B–) ⋃ C ⋃ (A ⋂ B)
所以有（A ⊗ B）⋃ C =（A ⋃ C）⊗（B ⋃ C）。

（4）(A ⋂ C) ⊕ (B ⋂ C) = ((A ⋂ C) – (B ⋂ C)) ⋃ ((B ⋂ C) – (A ⋂ C))
= (A ⋂ C ⋂ (B–⋃ C–)) ⋃ (B ⋂ C ⋂ (A–⋃ C–))
= (A ⋂ C ⋂ B–) ⋃ (A ⋂ C ⋂ C–) ⋃ (B ⋂ C⋂ A–) ⋃ (B ⋂ C ⋂ C–)
= (A ⋂ C ⋂ B–) ⋃ (B ⋂ C⋂ A–)
= ((A ⋂ B–) ⋃ (A–⋂ B)) ⋂ C
= ((A – B) ⋃ (B – A)) ⋂ C
= (A ⊕ B) ⋂ C
所以有(A ⊕ B) ⋂ C = (A ⋂ C) ⊕ (B ⋂ C)。

（5）(A ⊕ B) – C = (A ⋂ B–) ⋃ (A–⋂ B) ⋂ C–
= ((A ⋂ B–) ⋂ C–) ⋃ ((A–⋂ B) ⋂ C–)
= (A ⋂ B–⋂ C–) ⋃ (A–⋂ B ⋂ C–)
(A – C) ⊕ (B – C) = ((A – C) – (B – C)) ⋃ ((B – C) – (A – C))
= (A ⋂ C–⋂ (B – C)–) ⋃ (B⋂ C–⋂ (A – C)–)
= (A ⋂ C–⋂ (B–⋃ C)) ⋃ (B⋂ C–⋂(A–⋃ C))
= (A ⋂ C–⋂ B–) ⋃ (A⋂ C–⋂ C) ⋃ (B⋂ C–⋂ A–) ⋃ (B⋂ C–⋂ C)
= (A ⋂ C–⋂ B–) ⋃ (B⋂ C–⋂ A–)
所以有(A ⊕ B) – C = (A ⋂ C–⋂ B–) ⋃ (B⋂ C–⋂ A–)。

（6）A ⊕ (B ⊕ (A ⋂ B)) = A ⊕ ((B – A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ B – B)
= A ⊕ ((B ⋂(A ⋂ B)–) ⋃ (A ⋂ B⋂ B–))
= A ⊕ (B ⋂(A–⋃ B–))
= A ⊕ (A–⋂ B)
= (A – A–⋂ B)⋃ (A–⋂ B – A)
= (A ⋂ (A⋃ B–))⋃ (A–⋂ B ⋂ A–)
= A ⋃ (A ⋂ B–)⋃ (A–⋂ B)
= (A⋃ A–) ⋂ (A ⋃ B) ⋃ (A ⋂ B–)
= (A ⋃ B) ⋃ (A ⋂ B–)
= (A ⋃ B ⋃ A) ⋂ (A ⋃ B⋂ B–)
= A ⋃ B
所以有A ⋃ B = A ⊕ (B ⊕ (A ⋂ B))。

*15.对任意集合A，B，C，证明：
（1）若A – C = B – C，则A ⊕ B ⊆ C。

（2）若A ⊕ B = A ⊕ C，则B = C。

证（1）反设┐(A ⊕ B) ⊆ C，则存在x∈(A – B) ⋃ (B – A)且x∉C，
ⅰ）若x∈ A – B，则有x∈A，x∉B，x∉C，所以x∈ A – C而x∉ B – C，与已知的A– C = B – C矛盾；
ⅱ）若x∈ B – A，则有x∈ B，x∉ A，x∉C，所以x∈ B – C而x∉ A – C，与已知的A– C = B – C矛盾。

因此，A ⊕ B ⊆ C。

（2）反设┐B = C，那么不妨设有x，x∈B，x∉C。

ⅰ）若x∈ A，则x∉ A ⊕ B，但x∈A ⊕ C，与A ⊕ B = A ⊕ C矛盾。

ⅱ）若x∉A，则x ∈A ⊕ B，但x∉A ⊕ C，又与A ⊕ B = A ⊕ C矛盾。

因此有B = C。

4.3 集合的归纳定义及归纳法证明
容提要
4.3.1集合的归纳定义
集合的归纳定义由三部分组成:
（1）基础条款：规定待定义集合以某些元素为其基本成员，集合的其它元素可以从它们出发逐步确定。

（2）归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则。

于是，可以从基本元素出发，反复运用这些规则来确认待定义集合的所有成员。

（3）终极条款：规定待定义集合只含有（l），（2）条款所确定的成员。

条款（l），（2）又称归纳定义的完备性条款，它们必须保证毫无遗漏地产生出待定义集合的全部成员；条款（3）又称归纳定义的纯粹性条款，它保证整个定义过程所规定的集合只包括满足要求的那些对象。

△4.3.2 自然数的集合论定义
定义 4.9
（l）称空集∅为自然数，记为0。

（2）称A’为集合A的直接后继，如果
A’＝A ⋃｛A｝
定义4.10归纳定义自然数集N：
（l）基础条款：∅∈N 。

（2）归纳条款：如果x∈N ，则x’= x ⋃｛x｝∈ N。

（3）终极条款（略）．
按照上述定义。

自然数集N由下列元素组成：
∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝，｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝，…
或
0，0’，0”，0’”，…
将它们依次表示为
0，1，2，3，…
习题解答
练习 4.3
1．归纳定义∑*（∑*＝∑+⋃{λ}），令∑= {a，b}。

解（1）基础条款：∑⊆∑*，λ∈∑*
（2）归纳条款：如果x∈∑，y∈∑*，则xy∈∑*
（3）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，∑*中没有别的元素。

2．令∑= {a,b,c}，归纳定义：
（l）L ⊆∑*，使L中所有字里都有字ab的出现，且所有含字ab的字全在L中。

（2）L ⊆∑*，使L中所有字里都含有字符a和b，且所有含字符a,b的字全在L中。

解（1）ⅰ）基础条款：ab ∈ L
ⅱ）归纳条款：如果x∈∑，y∈ L，则xy ∈L，yx ∈L
ⅲ）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，L中没有别的元素。

（2）ⅰ）基础条款：ab∈ L，ba∈ L
ⅱ）归纳条款：如果x∈∑，y∈ L，y=w1w2则w1xw2∈L
ⅲ）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，L中没有别的元素。

3．归纳定义下列集合：
（1）十进制无符号整数集合，非零数不得以0为字头。

（2）十进制非负有穷小数。

（3）全体十进制有理数。

（4）二进制形式的非负偶数，非零数不得以0为字头
解（1）设I表示十进制无符号整数集合，其归纳定义如下：
ⅰ）基础条款：{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}⊆ I
ⅱ）归纳条款：如果x∈ I且x ≠ 0，y∈ I，则xy ∈ I 。

ⅲ）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，I中没有别的元素。

（2）设R表示十进制非负有穷小数集合，其归纳定义如下：
ⅰ）基础条款：{x. ⎢ x∈ I}⊆ R
ⅱ）归纳条款：如果x∈ R，y∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则xy∈ R
ⅲ）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，R中没有别的元素。

（3）设Q表示全体十进制有理数集合，其归纳定义如下：
ⅰ）基础条款：I ⊆ Q (I为整数集)
ⅱ）归纳条款：如果x∈ Q且x ≠ 0，y∈ Q，则x/y ∈ Q
ⅲ）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，Q中没有别的元素。

4．回忆命题公式的定义（公式中括号不省略）。

现将公式中命题变元、命题常元和联结词全部删去，所留下的括号串称为成形括号串。

（l）归纳定义成形括号串集合（假定它含有空括号串λ）。

（2）证明：成形括号串中左括号数等于右括号数。

（3）证明：成形括号串的字头中，左括号数不少于右括号数。

解（1）设R表示成形括号串集合，其归纳定义如下（为了明晰，用[ ]代替（））：ⅰ）基础条款：λ∈ R
ⅱ）归纳条款：如果x、y∈R，则[x] ∈R，xy ∈R
ⅲ）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，R中没有别的元素。

（2）证明：设L（x），R（x）分别表示成形括号串x中的左、右括号数。

ⅰ）基础：L （λ）= R （λ）= 0，命题成立。

ⅱ）归纳：设L （x ）= R （x ），L （y ）= R （y ），则
L （[x]）= L （x ）+ 1 = R （x ）+ 1 = R （[x]），
L （xy ）= L （x ）+ L （y ）= R （x ）+ R （y ）= R （xy ）
因此对一切成形括号串x ，有L （x ）= R （x ）。

（3）证明：ⅰ）基础：空成形括号串的字头的左括号数不少于右括号数无义地真。

ⅱ）归纳：设成形括号串x ，y 的字头中左括号数大于或等于右括号数，则[x]的字头为λ 或 [ 或 [ 毗连x 的字头，而x 的字头中左括号数大于或等于右括号数，因此[x]的字头中左括号数大于或等于右括号数。

又xy 的字头集合中包括x 的字头以及x 与y 的字头毗连而成的字头。

因为x ，y 的字头中左括号数大于或等于右括号数，而x 中左括号数等于右括号数，因此xy 的字头的左括号数大于或等于右括号数。

归纳完成，命题得证。

5．用归纳法证明：对任意正整数n 有
(1 + 2 + … + n)2＝13 + 23 + … + n 3
证 ⅰ）基础：当n = 1时，12＝ 13
ⅱ）归纳：设当n = k 时，(1 + 2 + … + k)2＝13 + 23 + … + k 3
那么当n = k +1时，
(1 + 2 + … + k + k + 1)2＝(1 + 2 + … + k)2 + ( k + 1)2 + 2(1 + 2 + … + k) ( k + 1)
＝13 + 23 + … + k 3+ ( k + 1)2+ k ( k + 1)2
＝13 + 23 + … + k 3+( k + 1)3
归纳完成，命题得证。

6．用归纳法证明：当∣A ∣= n 时，∣ρ(A)∣= 2n 。

证 ⅰ）基础：当n = 0时，A = ∅,则ρ(∅) = {∅},∣ρ(∅)∣= 1= 20
ⅱ）归纳：设当n = k 时，∣ρ(A)∣= 2 k
则当∣A ∣= n = k +1时，设元素为x 1，x 2，…，x k ，x k+1，则x 1，x 2，…，x k 这k 个元素可组成2k 个A 的子集，而第k+1个元素可与这2k 个子集合组成另外2k 个A 的子集，因此A 的子集共有2k + 2k 。

即∣ρ(A)∣= 2k + 2k =2k+1。

归纳完成，命题得证。

7．试判断n 为何自然数时有2n ≥ n 2，并用归纳法证明你的结论。

解 n ≥ 4时有2n ≥ n 2，下面用归纳法证明：
ⅰ）基础：当n = 4时，24 ≥ 42
ⅱ）归纳：设当n = k 时，2k ≥ k 2
当n = k + 1时，2k +1 = 2k + 2k 。

由假设知道2k ≥ k 2，当n ≥ 4时k 2 – 2k –1 ≥ 0，即k 2 ≥ 2k + 1，因此当n ≥ 4时有2k ≥ k 2 ≥ 2k + 1，于是2k +1 = 2k + 2k ≥ k 2 + 2k + 1= ( k + 1)2。

归纳完毕，命题得证。

8．求证：关于x ，y 的方程x + 2y ＝n 的自然数解的组数r(n)等于
4)1(121n
n -+++
（提示：对n 用起始于两个值的归纳）
证 当n=0时，显然x + 2y ＝n 有一组解，y = 0，x ＝0，故 r(n)=1 。

而
12
1214)1(121=+=-+++n n 当n=1时，x + 2y ＝1的解有一组解，y = 0，x ＝1，故 r(n)=1。

而
1014
)1(121=+=-+++n
n 设n=k 时命题成立，即r(k)=4
)1(121k
k -+++ 。

当n=k+2时, r(n)= r(k+2)。

由于x ＝n - 2y 中y 可取值0，1， ，n/2 （或（n-1）/2）,因此x + 2y ＝k+2的解的组数比x + 2y ＝k 的解的组数多一组：y = k/2 +1（或（k-1）/2 + 1），x ＝0（或x ＝1）。

故
r(k+1)= 1+ r(k)= 4)1(1211k k -++++=4)1(1232+-+++k k =4
)1(121n
n -+++ 归纳完成，命题得证。

9.用数学归纳法证明“从n 个不同元素中每次取出r 个不同元素的排列数r
n A 为
)1()2)(1(+---=r n n n n A r n Λ
（提示：先用排列意义证明11--=r n r n nA A ，再进行归纳证明）． 证 从n 个不同元素中取出r 个不同元素，相当于先从n 个不同元素中取出1个元素，
在从余下的n - 1个元素中取出r - 1个，则有11--=r n r n nA A ，那么：
1）当r = 1时，对任意n ，根据定义n A n =1，满足公式。

2）当r = k 时，对任意n ，设)1()2)(1(+---=k n n n n A k n Λ成立，则当r = k + 1
时，)11()2)(1(11+----==-+k n n n n nA A k n k n Λ)1)1()...(
2)(1(++---=k n n n n ，满足公式。

因此上式成立，命题得证。

10．已知e 为一常数，试确定 a ，使得n ≥ a 时有n! ≥ e n ，用归纳法证明你的结论。

证 当n ≥ 5时有n! ≥ e n ，下面用归纳法证明：
（1）当n = 5时，5! = 120 > e 5
（2）设当n = k 时，有k! ≥ e k ，则当n = k + 1时：
(k + 1)! = (k + 1) ⋅ k! > 3 ⋅ k! ≥ 3 ⋅ e k > e k+1
归纳完成，命题得证。

11.证明所有大于 1的整数n 均能用一个质数或若干个质数的积来表示。

证 （1）当n = 2时，2 = 2，命题成立。

（2）假设任意n < k （n > 1）时，n 都可表示为若干质数之积。

当n = k 时，若k 是质数，则k = k ；若k 不是质数，则存在一质数p ，p ≠ 1，p ≠ k ，使k = p ⨯ q ，其中q 是整数，并且q < k 。

由归纳假设知道，q 可写成若干质数之积，因此n = k 时可写成若干质数之积。

归纳完成，命题得证。

12．下列证明是错误的，试指出错误所在。

求证：
3
2n n = 对一切自然数均真 证明: 当n = 0时，显然 3
2n n = 。

设n < k 时命题成立，即3020=，3121=，…，3121-=-k k 。

现对n = k 时的情况进行证明。

这时
3131212122+-=+-==k k k n (据归纳假设) 3
3n k == 归纳完成，命题得证。

解 证明过程
3131212122+-=+-==k k k n 33n k ==依赖于3121=，而3121=的证明又依赖于此式在k=1成立，因此证明是错误的。

13. 设集合族C={A 1，…，An}，用归纳法证明：
(1) -=-==i n
i i n i A A 11
)(I Y
(2) -=-
==i n i i n i A A 11)(Y I
证 ⅰ）基础：当n = 1，2时，显然结论成立。

ⅱ）归纳：设对n 结论成立，n + 1时，
（1）-
+-=-+=-+=⋂=⋃=111111)()()(n i n i n i n i i n i A A A A A Y Y Y
-
+=-+-==⋂=i n i n i n i A A A 1111I I
（2）-
+-=-+=-+=⋃=⋂=111111)()()(n i n i n i n i i n i A A A A A I I I
-
+=-+-==⋃=i n i n i n i A A A 1111Y Y
所以n + 1时结论也成立。

归纳完成，命题得证。