20191218带电粒子有界磁场中的部分圆周运动问题

小专题一、带电粒子在有边界的纯磁场中的部分圆周运动问题
带电粒子在有边界的匀强磁场中的圆周运动通常不是一个完整的圆而是部分圆，这是因为它的圆心、轨迹和运动半径受到了磁场边界的限制。

解决这类问题有较大的难度。

如何解决？下面说明。

一、轨迹特点：有进有出，轨迹是部分圆而不是完整圆。

二、常见问题： B
R q mv
⇔
⇔边角大小，即是以轨迹半径R 为联系的桥梁，在边角大小和q 、B 、m 、v 之间完成未知量的分析和计算，说白了就是已知边角大小求解物理量的大小或已知物理量的大小求解边角大小。

三、解题关键：找圆心、画轨迹、算半径。

四、准备知识：研究带电粒子仅在洛仑兹力作用下的匀速圆周运动（如下图），回答下列问题：
1如何找圆心？2用什么方法计算运动半径？3它做部分圆周运动的总时间如何计算、又决定于什么？4速度偏角、圆心角、弦切角三者间的大小有何关系？
知条件，已知条件不同，找圆心的方法不同。

⑴两处洛仑兹力作用线
的交点，即两处速度垂线的交点，也即两条半径线的交点（下图1）。

⑵弦的中垂直线和某一处洛仑兹力作用线的交点（下图2）。

⑶如果带电粒子的q 、B 、m 、v 等等4个量都已知(可能给出字母可能给出具体数值)，则在速度垂线上取长度为m v/qB 的线段就可以找到圆心（下图3和例4、例5）。

总之，圆心位置的确定是难点，是解决这类问题最为重要的一步。

针对练习：下面的三个图中，磁场的边界情况相同（仅在第一象限内，AO 间距离＝1m ），运动电荷都是负离子。

其中图1告诉了圆轨迹上AB 两处速度的方向；图2中的AB 是圆周上轨迹的两点，但仅知道A 处的速度方向；图3中诉了A 处的速度方向，还知道由R ＝mv/qB 计算得到的轨迹半径是2米。

请找出它们各自的圆心位置。

求q 、B 、m 、v 等；如果q 、B 、m 、v 等等都是已知量时，则是先用物理方法算出半径再求其它。

AB 运动，对应的圆心角为θ，部分圆周运动的总时间为t ，由：T
t
πθ
ω2=
=
得T t πθ2=
，结合qB m T π2=
或v R T π2=得qB m t ππθ22=或v
R
t ππθ22= (已知条件不同计算公式不同)。

由此可见，在m 、q 、B 一定的情况下，运动时间与速度无关、与运动半径运动轨迹无关，t 只决定于
圆心角θ，圆心角越大，运动时间越长。

式：速度偏向角α=轨迹圆心角θ=弦切角的2倍。

五、解题思路方法与步骤：
，两思路（数学物理两条路、殊途同归算半径）。

⑶写出洛仑兹力和运动半径的关系式，即向心力公式q v B=m v 2
/r 。

⑷计算得结果。

对步骤⑵的补充说明：受力分析仅限于用左手定则分析洛仑兹力的方向。

如果涉及临界问题还应想办法画出临界轨迹。

这里的算半径是指用几何方法去算半径，这是一个难点。

【例1】宽为d 的有界磁场，方向垂直纸面向外。

一带电粒子的质量为
m ，电量为+q ，以初速v 射入该磁场，速度的方向既垂直于磁场方向，又垂
直于磁场的左边界，如图所示，粒子经磁场偏转后速度与右边界成α=60o
角射出。

不计重力，求该磁场的磁感应强度B 。

解析：依据 “两处洛仑兹力作用线的交点”找到圆心并画出轨迹如下图，
由几何知识得 d R 2=………①
洛仑兹力充当向心力得
R
v m qvB 2
=………②
解得：∴qd
mv
B 2=
【例2】如图所示，虚线所示的半径为R 的区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，一束带正电电量为q 的粒子以速度v 正对该区域的圆心O 从A 处射入这个磁场最后从B 处离开磁场。

（不计重力）已知速度偏角是60°，磁场的磁感应强度为B ，求粒子的质量m=?(提示：磁场在圆形边界内，当电荷对准圆心进入时，则离开磁场时速度的反向延长线过圆心，这叫似心飞出)。

解析：依据
由几何知识得
o 30cot R
r
=………① 洛仑兹力充当向心力得R
v m qvB 2
=………②
解得：v
qBR
m 3=
【例3】如图所示，在边长为L 的正方形区域ABCD 中，有方向垂直纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。

一束质量为m 、电量为e 的电子沿AB 边射入磁场，恰从C 处离开磁场，则⑴电子进入磁场的速度为多少？⑵如果电子只能从DC 边离开磁场，那么最短时间和最长时间分别是多少？⑶如果电子只能从DC 边离开磁场，则电子运动的速度在什么范围内？
⑴m
eBL
v = ⑵eB
m
t min 2π=
eB
m
t max π=
【例4】如图所示，在x 轴上方有磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，x 轴下方有磁感应强度大小为B/2、方向垂直纸面向外的匀强磁场，一质量
为m 、电荷量为－q 的带电粒子（不计重力），从x 轴上O 点以速
度v 0垂直x 轴向上射出。

求：
⑴粒子第二次到达x 轴时离O 点的距离？
⑵射出之后经过多长时间粒子第二次到达x 轴？
【例5】如图，有界匀强磁场的磁感应强度为B ，边界为AB 。

一个质量为m 电量为e 的电子，从边界上的O 点以速度v 0进入匀强磁场，v 0方向与边界的夹角为30°，经过一段时间该电子从边界上的另一点P 飞出磁场区域。

求：⑴电子在磁场中的运动时间。

⑵OP 之间的距离。

说明1：本例中找圆心的方法是从物理角度去找：在of 射线上取线段oo ′=
eB
mv 0
，则o ′点即为圆心。

说明2：从直线单边界先进后出时，进出磁场具有对称性，即进出边界时，速度与边界的夹角相等。

⑴eB
m
t 35π=
⑵op=R
R
v
m B ev 2
00=
∴eB
mv op 0
=
B/2
【例6】（2010四川卷改编）如图所示，间距d = 0.2m 的两平行金属板水平放置，板间分布有垂直于纸面向里、磁感应强度B =1T 的匀强磁场和竖直方向的匀强电场。

将一带正电的小球以初速度v = 0.1m/s 沿两板间中线水平射入板间。

若小球进入板间做匀速度圆周运动并与板相碰，碰时速度与初速度的夹角为60°，求电场强度的方向和两板间电压U 的大小(忽略空气对小球的作用，取g =10m/s 2)。

解析：mg d
U
q
= R
v m qvB 2
=
由几何：R=d ∴U=4(v)
( B D )【例7】如图所示，直角三角形ABC
入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则： A ．从P 射出的粒子速度大 B ．从Q 射出的粒子速度大
C
．从P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D ．两粒子在磁场中运动的时间一样长 【例8】如图所示，一带电量为q=3×10-8
C 的粒子，重力不计，垂直射入磁感应强度为B=0.8T 的匀强磁场中，在场中反时针方向运动的轨迹
如图。

它从点a 经短弧运动到点b 的时间t ab =2×10-4
s ，从b 经长弧运动
到a 的时间t ba =10-3
s,ab 直线相距0.3m,则该粒子动量的大小为多少?
∵1
5=ba ab t t ∴α=60° ∴R=ab
由R
v m qvB 2
=
∴mv=qBR =()s /kgm .9
1027-⨯
v。