2009-2010(2)线代A卷
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a0b6c6d43已知321???是非齐次线性方程组axb?的三个不同的解那么下列向量121232112322323????????????????中是导出组0ax?的解共有
武汉理工大学考试试题纸（A 卷） A
课程名称 线 性 代 数 题号 题分 一 10 二 10 三 24 四 21 五 25 专业班级 全校 09 级本科 六 10 七 八 九 十 总分 100
） 。
(A) 0 (B) 6 (C) -6 (D) 4 3、已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组 Ax = b 的三个不同的解，那么下列向量 2 α1 − α 2 , α1 + α 2 − 2α 3 , (α 2 − α1 ), α1 − 3α 2 + 2α 3 3 中是导出组 Ax = 0 的解共有（ ） 。 (A) 4 个； (B) 3 个； (C) 2 个； (D) 1 个 1 −1 1 4、设 A = 2 4 a 的特征值为 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 2 。若 A 相似于对角矩阵，则 a =（ −3 −3 5 (A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4
p1 = (1, 0, 0)T , p2 = (1,1, 0)T , p3 = (1,1,1)T
求矩阵 A 及 A100 ；
2 2 （ 2、 15 分） 已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x3 + 2ax1 x2 + 2 x1 x3 经正交变换 X = PY 2 2 变为标准形 f = y2 + 2 y3 ，求参数 a 和正交矩阵 P 。
2 2 5、如果实二次型 f = x12 + 2 x2 + tx3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 为正定的,则 k >
二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 单项选择题（ 1、设矩阵 Am×n 的秩为 r ，则非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分条件是（ (A) m = n ； (B) r = m ； (C) r = n ； (D) m < n ； 1 0 2011 2010 0 1 1 2 3 1 1 ） 。 2、设 A = 0 1 ，则行列式 A ＝（ 1 0 4 5 6 1 1 0 1
）
5、设 A, B 均为 n 阶方阵，且 AB = 0 ，则必有（ (A) A = 0 或 B = 0 ； (B) A + B = 0 ；
） 。 (D) A + B = 0 ；
(C) A = 0 或 B = 0 ；
三、计算题(每小题 8 分，共 24 分) 计算题( 0 2 2 L 2 1、计算 n 阶行列式 2 0 2 L 2 ； M M M M 2 2 2 L 0
六、证明题（共 10 分） 证明题（ 1、 5 分） 设向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关， β1 = α1 + 2α 3 , β 2 = 5α1 + 2α 2 + 3α 3 , β3 = 2α1 + 3α 3 （ 证明：向量组 β1 , β 2 , β 3 线性无关； （1） A 的特征值为 1 ； （2） A = E 。 2、 5 分） 设 A 为 n 阶实对称阵，且 A3 = E ，证明： （
2、已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, − 2 ，求行列式 A∗ − 3 A + 2 E ； 3、设向量组 α1 = (1, −1, 2,3)T , α 2 = (0, 2, 5,8)T , α 3 = (2, 2, 0, −1)T , α 4 = ( −1, 7, −1, −2)T , 求向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的一个最大无关组，并将其余向量用所求最大无关组线性表示。 四、解方程组（共两题，共 21 分） 解方程组（共两题， 2 2 3 4 2 （8 1、 8 分）设 A = 1 −1 0 ， B = 1 1 ，求矩阵 X ，使其满足 AX = B ； （ −1 2 1 −1 2 （1 2、 13 分）已知线性方程组 （ x1 + x2 + kx3 = 4 2 − x1 + kx2 + x3 = k x − x + 2 x = −4 3 1 2 （1） 求： k 为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解； （2） 在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。 五、计算题(共两题，共 25 分) 计算题(共两题， 1、 10 分）已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, − 1, 1 ，对应的特、选择题等客观题)
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 填空题（ 2x x 1 2 1、设多项式为 1 3 1 x 1 −1 ，其中 x 3 的系数为____________。 2 −x 1 1 1 −2 x
3 0 0 2、设 A = 1 4 0 ，则 ( A − 2 E ) −1 ＝____________。 0 0 3 3、设 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 都是 4 维列向量, A = (a1 , b1 , b2 , b3 ), B = (a2 , b1 , 2b2 , 3b3 ) ,且 | A |= 2 ， ． | B |= −1 , 则 | A + B | = 4、已知向量组 α1 = (1,1, −2)T ， α 2 = (1, −2,1)T ， α 3 = (t 2 , t , −2)T ， α 4 = (−2,1, t )T ，当 t = _____时，向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩最小。
武汉理工大学考试试题纸（A 卷） A
课程名称 线 性 代 数 题号 题分 一 10 二 10 三 24 四 21 五 25 专业班级 全校 09 级本科 六 10 七 八 九 十 总分 100
） 。
(A) 0 (B) 6 (C) -6 (D) 4 3、已知 α 1 , α 2 , α 3 是非齐次线性方程组 Ax = b 的三个不同的解，那么下列向量 2 α1 − α 2 , α1 + α 2 − 2α 3 , (α 2 − α1 ), α1 − 3α 2 + 2α 3 3 中是导出组 Ax = 0 的解共有（ ） 。 (A) 4 个； (B) 3 个； (C) 2 个； (D) 1 个 1 −1 1 4、设 A = 2 4 a 的特征值为 λ1 = 6, λ2 = λ3 = 2 。若 A 相似于对角矩阵，则 a =（ −3 −3 5 (A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4
p1 = (1, 0, 0)T , p2 = (1,1, 0)T , p3 = (1,1,1)T
求矩阵 A 及 A100 ；
2 2 （ 2、 15 分） 已知实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x3 + 2ax1 x2 + 2 x1 x3 经正交变换 X = PY 2 2 变为标准形 f = y2 + 2 y3 ，求参数 a 和正交矩阵 P 。
2 2 5、如果实二次型 f = x12 + 2 x2 + tx3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 为正定的,则 k >
二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 单项选择题（ 1、设矩阵 Am×n 的秩为 r ，则非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分条件是（ (A) m = n ； (B) r = m ； (C) r = n ； (D) m < n ； 1 0 2011 2010 0 1 1 2 3 1 1 ） 。 2、设 A = 0 1 ，则行列式 A ＝（ 1 0 4 5 6 1 1 0 1
）
5、设 A, B 均为 n 阶方阵，且 AB = 0 ，则必有（ (A) A = 0 或 B = 0 ； (B) A + B = 0 ；
） 。 (D) A + B = 0 ；
(C) A = 0 或 B = 0 ；
三、计算题(每小题 8 分，共 24 分) 计算题( 0 2 2 L 2 1、计算 n 阶行列式 2 0 2 L 2 ； M M M M 2 2 2 L 0
六、证明题（共 10 分） 证明题（ 1、 5 分） 设向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关， β1 = α1 + 2α 3 , β 2 = 5α1 + 2α 2 + 3α 3 , β3 = 2α1 + 3α 3 （ 证明：向量组 β1 , β 2 , β 3 线性无关； （1） A 的特征值为 1 ； （2） A = E 。 2、 5 分） 设 A 为 n 阶实对称阵，且 A3 = E ，证明： （
2、已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, − 2 ，求行列式 A∗ − 3 A + 2 E ； 3、设向量组 α1 = (1, −1, 2,3)T , α 2 = (0, 2, 5,8)T , α 3 = (2, 2, 0, −1)T , α 4 = ( −1, 7, −1, −2)T , 求向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的一个最大无关组，并将其余向量用所求最大无关组线性表示。 四、解方程组（共两题，共 21 分） 解方程组（共两题， 2 2 3 4 2 （8 1、 8 分）设 A = 1 −1 0 ， B = 1 1 ，求矩阵 X ，使其满足 AX = B ； （ −1 2 1 −1 2 （1 2、 13 分）已知线性方程组 （ x1 + x2 + kx3 = 4 2 − x1 + kx2 + x3 = k x − x + 2 x = −4 3 1 2 （1） 求： k 为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解； （2） 在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。 五、计算题(共两题，共 25 分) 计算题(共两题， 1、 10 分）已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, − 1, 1 ，对应的特、选择题等客观题)
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 填空题（ 2x x 1 2 1、设多项式为 1 3 1 x 1 −1 ，其中 x 3 的系数为____________。 2 −x 1 1 1 −2 x
3 0 0 2、设 A = 1 4 0 ，则 ( A − 2 E ) −1 ＝____________。 0 0 3 3、设 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 都是 4 维列向量, A = (a1 , b1 , b2 , b3 ), B = (a2 , b1 , 2b2 , 3b3 ) ,且 | A |= 2 ， ． | B |= −1 , 则 | A + B | = 4、已知向量组 α1 = (1,1, −2)T ， α 2 = (1, −2,1)T ， α 3 = (t 2 , t , −2)T ， α 4 = (−2,1, t )T ，当 t = _____时，向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩最小。