高考上学期孝感市六校教学联盟.docx

2015—2016学年度上学期孝感市六校教学联盟
期末联合考试 高三数学试卷（理科）
命题人：李燕玲 审题人：李新奇
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上．
1．已知集合A={x |)5lg(x y -=}， B={y |)5lg(x y -=}，则A ∩B=（ ） A ．∅ B ．R C ．(-∞，5) D ．[0，5] 2．命题：“所有梯形都是等腰梯形”的否定形式是（ ）
A ．所有梯形都不是等腰梯形．
B ．存在梯形是等腰梯形．
C ．有梯形是等腰梯形，也有梯形不是等腰梯形．
D ．存在梯形不是等腰梯形． 3．已知21)sin(-
=+απ，那么=+)2
3
cos(απ（ ） A ．21-
B ．2
1
C ．23-
D ．23
4．已知点)2
1
,(a 在幂函数b
x a x f )1()(-=的图象上，则函数)(x f 是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．定义域内的减函数
D ．定义域内的增函数 5．在复平面中，满足等式|34|||i i z -=+的复数z 所对应点的轨迹是（ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．圆
D ．椭圆
6．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数f (x ＋8)为偶函数，则( )
A ．f (6)>f (7)
B ．f (6)>f (9)
C ．f (7)>f (9)
D ．f (7)>f (10)
7．从一批产品中取出三件，设A =“三件产品全不是次品”， B= “三件产品全是次品”，
C= “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A ．A 与C 互斥
B ．B 与
C 互斥 C ．任两个均互斥
D ．任两个均不互斥
8．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切”的( )
A
．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．函数10ln )(2
-+=x x x f 的零点所在的区间为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．(2，3)
D ．（3，4）
10．执行右图的程序框图，则输出的x =（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8 11．已知P 为抛物线x y 42=上的任意一点， 记点P 到y 轴的距离为d ，对给定点A （3，4）
，
则|PA|+d 的最小值为（ ） A ．52 B ．152- C ．152+ D ．252-
12.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了 某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为（ ）
A ．2
B ．22
C ．32
D ．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上． 13.2015
)
32(y x -的展开式中，所有项系数之和为__ _．
14.已知a 与b
为非零向量，||||b a b a -=+，且)()(b a b a -⊥+，则)(b a +与b 的
夹角为__ _．
15.抛掷两枚均匀的正方体骰子，则事件“其向上的点数刚好相差1”的概率为__ _． 16．已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:
①若α∥β,则m ⊥l ; ②若α⊥β,则m ∥l ; ③若m ⊥l ,则α∥β; ④若m ∥l ,则α⊥β
其中正确命题的序号有_____ _． （把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知向量)2,cos 2(x a =，
)2
1
,(cos x b =， 记函数
x b a x f 2sin 3)(+∙=
⑴求函数)(x f 的单调增区间；
⑵ 求函数)(x f 的最值以及取得最值时x 的集合.
18．（本题满分12分）已知正项数列{}n a 满足，11=a ，且1
1+=+n n
n a a a )(*∈N n ， ⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设1+∙=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．（本题满分12分）如图：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=BC=AC=2，AC ⊥BC ． （1）求多面体ABC ﹣A 1C 1的体积；
（2）异面直线A 1B 与AC 1所成角的大小．
20．（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳族的人数
占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6 第二组
[30,35)
195
p
第三组 [35,40) 100 0.5 第四组 [40,45) a 0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组 [50,55]
15
0.3
(1)补全频率分布直方图，并n 、a 、p 的值；
(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .
21．（本题满分12分）
已知函数14)(2
3
4
+-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增． （1）求a 的值；
（2）记21)(bx x g -=，若方程)()(x g x f =的解集恰有3个元素，求b 的取值范围．
22．（本题满分12分）如图：在直角坐标系xoy 中，设椭圆C ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）
的左右两个焦点分别为21F F 、．过右焦点2F 与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为)1,2(M ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，求点M 到直线1BF 的距离；
（3）过M F 1中点的直线1l 交椭圆于Q P 、两点，求｜｜PQ 长的最大值以及相应的直线方
程．
2015—2016学年度上学期孝感市六校教学联盟
期末考试数学(理)参考答案
1. C
2. D
3. B
4. A
5. C
6. D
7. B
8. A
9. C 10. D 11. B 12. C
13. 1- 14. 45° 15.
18
5
16.①④
17.解：（1）
…………2分
.…………3分
由，所以,
∴函数
的单调递增区间为.…………6分
（2）
①当且仅当,即时，，
此时的集合是.…………8分
②当且仅当，即，,
此时的集合是.…………10分
18．【解析】：此题由《教材》必修5，第47页B 组第4题改编 ⑴∵11+=
+n n n a a a ∴n n a a 1111+=+ ∴
11
11=-+n
n a a 2分
又
11
1
=a ∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以1为首项，1为公差的等差数列 4分 ∴
n a n =1 ∴n
a n 1
=)(*∈N n 6分 ⑵由⑴知，1
1
1)1(1+-=+=
n n n n b n ， 8分
∴n n b b b b T +++=321
1
111)111(
)4131()3121()2111(+=
+-=+-+-+-+-=n n
n n n 12分 19．解：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1
B 1
C 1
中，AA 1
=BC=AC=2，AC ⊥BC ，
∴CC 1
⊥平面ABC ，BC ⊥平面AA 1
C 1
，
∵S △ABC =
=
，
=
=
=2，
CC 1
=2，BC=2，
∴多面体ABC ﹣A 1
C 1
的体积：
V==+
=
=． 6分
（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1
为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1
（2，0，2），B （0，2，0），A （2，0，0），C 1
（0，0，2），
=（﹣2，2，﹣2），
=（﹣2，0，2），
设异面直线A 1
B 与A
C 1
所成角的大小为θ，
则cos θ=|cos ＜，＞|=||=0，
∴异面直线A 1
B 与A
C 1
所成角的大小为． 12分
(其它解法可酌情给分)
20．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，
∴高为0.3
5
＝0.06.频率直方图如下：
2分
第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，∴n ＝200
0.2＝1000. 3分
由题可知，第二组的频率为0.06×5＝0.3，∴第二组的人数为1000×0.3＝300， ∴p ＝195
300＝0.65. 4分
第四组的频率为0.03×5＝0.15，∴第四组的人数为1000×0.15＝150， ∴a ＝150×0.4＝60. 5分 (2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60∶30＝2∶1，∴采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人， [45,50)岁中有6人． 6分 ∵随机变量X 服从超几何分布，∴P (X ＝0)＝C 0
12C 3
6C 318＝5204，P (X ＝1)＝C 1
12C 2
6C 318＝15
68，
P (X ＝2)＝C 2
12C 1
6C 318＝3368，P (X ＝3)＝C 3
12C 0
6C 318＝55
204
.∴随机变量X 的分布列为:
X 0 1 2 3 P
5
204
1568
3368
55204
10分
∴EX ＝0×5204＋1×1568＋2×3368＋3×55
204＝2. 12分
21．【解析】：【考点】利用导数研究函数的单调性和极值；根的存在性及根的个数判断．
解：（1）ax x x x f 2124)(23'-+-=， 2分
因为函数)(x f 在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以x=1是)(x f 的极值点，所以0)1('=f ，即0121121423=⨯-⨯+⨯-a ．
解得4=a ，经检验满足题意，所以4=a ． 6分
（2）由)()(x g x f =整理可得0)44(22=-+-b x x x ，
由题意知此方程有三个不相等的实数根，又0=x 为方程的一实数根， 则方程0442=-+-b x x 应有两个不相等的非零实根， 9分 所以△＞0，且04≠-b ，即0)4(4)4(2 b ---且4≠b ，
解得0 b 且4≠b ，所以所求b 的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）． 12分
22．解：（1）设右焦点F 2
为（c ，0），令x=c ，代入椭圆可得22
1a
c b y -±=，
由M （
，1），即有2=c ， 12
=a
b ，又222=-b a ，解得2,2==b a ， 则椭圆方程为12
42
2=+y x ； 4分 （2）由题意可得B （0，﹣
），F 1
（﹣
，0），直线BF 1的方程为x+y+
=0，
则点M 到直线BF 1的距离为
=2+； 8分
（3）过F 1
M 中点的直线l 1
的方程设为x=m （y ﹣），代入椭圆方程，可得（2+m 2
）y 2
﹣
m 2
y+m 2
﹣4=0，由于中点（0，）在椭圆内，故直线与椭圆相交，
设交点P （x 1
，y 1
），Q （x 2
，y 2
），即有y 1
+y 2=
，y 1
y 2=
，
弦长|PQ|=•|y 1
﹣y 2|=
•
=，令t=2+m 2
（t ≥2），
则|PQ|==
，
当m=0即t=2时，取得最小值2
，即有2
≤|PQ|＜
；
当直线l 1：y=时，代入椭圆方程，可得x=±
，
即有|PQ|=．
综上可得，|PQ|的最大值为，此时直线方程为y=． 12分。