初三数学二次函数的图象试题答案及解析

初三数学二次函数的图象试题答案及解析
1.抛物线y=ax2+x+c的顶点在第三象限，且ac＜0，则关于此抛物线的说法正确的是（）
A．抛物线的开口向上，与y轴交于正半轴
B．抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴
C．抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴
D．抛物线的开口向下，与y轴交于负半轴
【答案】B
【解析】根据已知条件“抛物线y=ax2+x+c的顶点在第三象限”推知该函数图象的对称轴x=﹣＜0，从而求得a的符号，并能推断出该函数图象的开口方程；再由已知条件ac＜0求出c的符号，并能推断出该函数图象与y轴的交点的大体位置．
解：∵抛物线y=ax2+x+c的顶点在第三象限，
∴x=﹣＜0，即＞0，
∴a＞0，
∴该抛物线图象的开口方向是向上；
又∵ac＜0，
∴c＜0，即抛物线与y轴交于负半轴．
故选B．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求a的符号．
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c满足（）
A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＞0，b＜0，c＜
C．a＜0，b＞0，c＞
D．a＞0，b＜0，c＞
【答案】B
【解析】根据二次函数的图象开口向上即可得出a＞0，根据二次函数的图象与y轴的交点在y轴
的负半轴上即可推出c＜0，根据二次函数的对称轴在y轴的右边，即可得出﹣＞0，求出b即
可．
解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵二次函数的对称轴在y轴的右边，
∴﹣＞0，
∴＜0，
∵a＞0，
∴b＜0，
故选B．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，注意：二次函数的图象开口向上决定a的正负；
二次函数的图象与y轴的交点的位置决定c的正负，对称轴是直线x=﹣，能求出b．
3.方程有（）个实数解．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出函数y=x2﹣x和y=的图象，根据图象的交点情况来判断方程的实数解．
解：函数y=x2﹣x和y=的图象为：
∵两个函数的图象有一个公共点，
∴方程有1个实数解，
故选B．
点评：本题考查了二次函数的图象与反比例函数的图象，解题的关键是正确的作出函数的图象，然后利用数形结合的方法确定方程的解的个数．
4.已知：点A（1，p），B（2，q），C（3，r）均在二次函数y=x2+mx的图象上，且p＜q＜r，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣2B．m＞﹣3C．m＞﹣4D．m＞﹣5
【答案】B
【解析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点A、B、C分别代入二次函数解析式，分别求得p、q、r的值；然后由已知条件p＜q＜r列出关于m的不等式，通过解不等式求得m的取值范围．
解：∵点A（1，p），B（2，q），C（3，r）均在二次函数y=x2+mx的图象上，
∴p=1+m，q=4+2m，r=9+3m；
又p＜q＜r，
∴1+m＜4+2m＜9+3m，
解得，m＞﹣3．
故选B．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答该题时，也可以根据二次函数的图象的性质解答．
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．a＞0B．c＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＞0
【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据
抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：A、由二次函数的图象开口向上可得a＞0，故选项正确；
B、由图象可知c=0，故选项错误；
C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故选项错误；
D、把x=1代入y=ax2+bx+c
得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，故选项错误；
故选A．
点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟
练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．
6.反比例函数的图象如图，则函数y=2kx2﹣x﹣k的图象（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据反比例函数的图象得到k＜0，然后根据抛物线的性质得到抛物线的开口向下，由对
称轴为直线x=＜0，得到对称轴在y轴的左侧，即可得到正确选项．
解：∵反比例函数图象过第二四象限，
∴k＜0，
∴抛物线的开口向下，A、B选项错误；
又∵对称轴为直线x=＜0，
∴y=2kx2﹣x﹣k的对称轴在y轴的左侧，
所以C选项错误，D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：当a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；a与b同号，对称轴在y轴的左侧；a与b异号，对称轴在y轴的右侧；c＜0，抛物线与y轴的
交点在x轴下方．也考查了反比例函数的图象．
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，
2a﹣b，其值大于0的个数为（）
A．3B．2C．5D．4
【解析】由开口向上知a＞0，由与y轴交于原点得到c=0，然后即可判断ac的符号；
由当x=1时，y＜0，即可判断a+b+c的符号；
由当x=﹣2时，y＞0，即可判断4a﹣2b+c的符号；
由开口向上知a＞0，由﹣＞1可以推出2a+b＜0；
由开口向上知a＞0，﹣＞0可以推出2a与b的符号，即可确定2a﹣b的符号．
解：①∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于原点，
∴c=0，
∴ac=0；
故本选项错误；
②当x=1时，y=a+b+c＜0，
∴a+b+c＜0；
故本选项错误；
③当x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0；
故本选项正确；
④∵a＞0，﹣＞1，
∴﹣b＞2a，
∴b＜﹣2a
∴2a+b＜0；
故本选项错误；
⑤∵a＞0，﹣＞0，
∴b＜0，
∴2a﹣b＞0．
故本选项正确；
综上所述，在ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，2a﹣b中，其值大于0的个数为2个；
故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：
①a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
②b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号
③c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0
④b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．
8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列式子中①abc＜0，②9a+3b+c=0，③2a+b=0，
④b2﹣4ac＜0，⑤4a﹣2b+c＞0，正确的是（）
A．①④B．①②③④⑤C．②③④⑤D．②③⑤
【答案】D
【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由抛物线的开口向上知a＞0，与y轴的交点为在y轴的正负轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x==1，得2a=﹣b＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0；
故本选项错误；
②根据图象知，对称轴是x=1，当x=﹣1时，y=0，
∴由抛物线的对称性知，当x=3时，y=0，即9a+3b+c=0；
故本选项正确；
③对称轴为x==1，得2a=﹣b，
∴2a+b=0；
故本选项正确；
④∵本函数与x轴有两个不同的交点，
∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；
故本选项错误；
⑤根据图象知，当x=﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0；
故本选项正确．
综上所述，以上结论正确的是②③⑤．
故选D．
点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．
9.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为（可不化成一般形式）．
【答案】y=2（x﹣3）2﹣3
【解析】由抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，相当于二次函数
y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移3个单位，再根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．
解：∵抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，
∴相当于二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移3个单位，
∴此抛物线的解析式为：y=2（x﹣3）2﹣3．
故答案为：y=2（x﹣3）2﹣3．
点评：本题主要考查了函数图象的平移．注意能理解抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，相当于二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移3个单位是解此题的关键，还要注意熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x=﹣1，交x轴的一个交点为（x
1
，0），且0＜
x 1＜1，则下列结论：
①b＞0，c＜0；②a﹣b+c＞0；③b＜a；④3a+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0
其中正确的命题有．（请填入正确的序号）
【答案】①④⑤
【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：根据题意，得到该抛物线的图象（如图所示）
①∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣=﹣1＜0，a＞0
∴b＞0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
故本选项正确；
②根据图示，知
当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；故本选项错误；
③∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣=﹣1，
∴b=2a；
又∵a＞0，
∴b﹣a=a＞0，
∴b＞a；故本选项错误；
④由图象知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0；
又∵b=2a，
∴3a+c＞0；故本选项正确；
⑤根据图象知，当x=﹣3时，y＞0，即9a﹣3b+c＞0；故本选项正确；
综上所述，其中正确的命题有①④⑤；
故答案是：①④⑤．
点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系．系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定．
11.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a+b+c的取值范围
是．
【答案】﹣2＜a+b+c＜0
【解析】根据函数的图象与两坐标轴的交点可以得到当x=1是a+b+c的取值范围即可．
解：∵函数y=ax2+bx+c，
∴当x=1时，y=a+b+c，
∵函数图象与两坐标轴交于点（﹣1，0）和（0，﹣1），
∴另一个交点位于点（1，0）的右侧，则当x=1是时，函数值一定小于0．
∴当x=1时的函数值一定小于0，
故a+b+c＜0，
∵a=b+1＞0
∴a+b+c=2b＞﹣2
故答案为：﹣2＜a+b+c＜0．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象与两坐标轴的交点
求得另一个交点的位置．
12.对于自变量x为实数的函数f（x），若存在x
0满足f（x
）=x
，则称x
是函数f（x）的一个
不动点．若函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是．【答案】﹣1＜a＜3
【解析】不动点实际上就是方程f（x
0）=x
的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，是
指方程x=x2+ax+1无实根．即方程x=x2+ax+1无实根，然后根据根的判别式△＜0解答即可．解：根据题意，得x=x2+ax+1无实数根，
即x2+（a﹣1）x+1=0无实数根，
∴△=（a﹣1）2﹣4＜0，
解得：﹣1＜a＜3；
故答案是：﹣1＜a＜3．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．
13.（2010•嘉定区一模）抛物线y=﹣2x2+3x﹣1与y轴的交点坐标是．
【答案】（0，﹣1）
【解析】把x=0代入抛物线y=﹣2x2+3x﹣1中，求y的值，即可求出答案．
解：把x=0代入抛物线y=﹣2x2+3x﹣1得：
y=﹣1，
∴抛物线y=﹣2x2+3x﹣1与y轴的交点坐标是（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，知道抛物线与Y轴交点的横坐标等于0是解此题的关键．
14.（2010•鸡西二模）某二次函数y=ax2+（a+c）x+c必过定点．
【答案】（﹣1，0）
【解析】把函数式因式分解，观察x、y的取值中，与a、c无关的值，可求x、y的对应值，确定定点坐标．
解：y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），
由此可得当﹣1时，y=0，且与a、c取值无关．
故二次函数所过定点为（﹣1，0）．
点评：本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．
15.二次函数y=（x﹣1）2+2图象与y轴的交点的纵坐标为．
【答案】3
【解析】根据题意知，本题就是求当x=0时，y的取值，所以将x=0代入二次函数y=（x﹣1）
2+2求y的值即可．
解：∵二次函数y=（x﹣1）2+2图象与y轴的交点的横坐标x=0，
∴y=（0﹣1）2+2=3，
∴二次函数y=（x﹣1）2+2图象与y轴的交点的纵坐标为3；
故答案是：3．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点的坐标，都满足该二次函数的关系式．
16.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，判断△ABC的形状．
【答案】直角三角形
【解析】抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0，根据顶点的纵坐标公式，列方程求解．
解：抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，
∴=0，
整理，得a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形．
故本题答案为：直角三角形．
点评：本题是抛物线顶点纵坐标公式的运用．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．
17.抛物线y=﹣x2+2x上有A（﹣2，y
1）、B（2，y
2
）两点，则y
1
y
2
．（填“＞”、“＜”或“=”）
【答案】＜
【解析】把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．解：当x=﹣2时，y
1
=﹣（﹣2）2+2×（﹣2）=﹣4﹣4=﹣8，
当x=2时，y
2=﹣22+2×2=﹣4+4=0，
∵﹣8＜0，
∴y
1＜y
2
．
故答案为：＜．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入求出相应的函数值即可，比较简单．
18.如果点A（1，y
1），B（2，y
2
），C（3，y
3
）都在抛物线y=﹣x2图象上，则y
1
，y
2
，y
3
用“＜”
连接为．
【答案】y
3＜y
2
＜y
1
【解析】将点A（1，y
1），B（2，y
2
），C（3，y
3
）分别代入该抛物线的方程，分别求得y
1
，y
2
，
y
3
的值，然后再来比较它们的大小．
解：∵点A（1，y
1），B（2，y
2
），C（3，y
3
）都在抛物线y=﹣x2图象上，
∴y
1
=﹣12=﹣1；
y
2
=﹣22=﹣4；
y
3
=﹣32=﹣9；
又∵﹣9＜﹣4＜﹣1，
∴y
3＜y
2
＜y
1
，
故答案是：y
3＜y
2
＜y
1
．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数ax2+bx+c=0（a≠0）图象上所有的点
的坐标均满足该二次函数的解析式．
19.（1）二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的图象表达式为．（2）事实上，其他函数也有类似的平移规律，试写出函数的图象向右平移2个单位，再向上
平移1个单位后的表达式为．
【答案】y=2（x+3）2﹣2；y=+1
【解析】（1）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；
（2）根据（1）的规律进行解答即可．
解：（1）根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的图象表达式为
y=2（x+3）2﹣2（或一般式y=2x2+12x+16）；
（2）由（1）的规律可知，函数y=的图象向右平移2个单位，
再向上平移1个单位后的表达式为y=+1
故答案为：y=2（x+3）2﹣2；y=+1．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知上加下减，左加右减”的原则是解答此题的
关键．
20.已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B两点，图中的曲线是它的一部分．根据图中提
供的信息，
（1）确定a，b，c的符号；
（2）当b变化时，求a+b+c的取值范围．
【答案】（1）a＞0，b≤0，c＜0（2）﹣2＜a+b+c≤0
【解析】（1）根据开口方向可确定a的符号；与y轴交于负半轴，所以判定c＜0；由抛物线对
称轴在y轴的右侧，得﹣≥0，又a＞0，得b≤0．
（2）由抛物线过点（﹣1，0），得a﹣b+c=0．进而求得a+b+c的取值范围．
解：（1）如图，由抛物线开口向上，得a＞0．
由抛物线过点（0，﹣1），得c=﹣1＜0．
∵抛物线在y轴左侧没有最低点，
∴抛物线对称轴在y轴的右侧或是y轴，得﹣≥0，
又a＞0，得b≤0．
∴a＞0，b≤0，c＜0；
（2）由抛物线过点（﹣1，0），得a﹣b+c=0．
即a=b﹣c=b+1，由a＞0，得b＞﹣1．
由（1）知，b≤0，
∴﹣1＜b≤0，
∴a+b+c=（b+1）+b﹣1=2b．
∴﹣2＜a+b+c≤0．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解决本类题目的关键是弄清其系数与图象的关系．。