[学案]人教版 必修二 第六章 第四节《万有引力理论的成就》学案+练案+答案

第六章 万有引力与航天
6.4 《万有引力理论的成就》学案
【课标要求】
1.了解万有引力定律在天文学上的应用
2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度
【重点难点】中心天体质量的计算 【课前预习】
1．地球上的物体具有的重力是由于 而产生的，若不考虑地球自转的影响，地面上的物体所受的重力等于物体受到的 。

所以我们只需测出 和地球表面的 即可求地球的质量。

2．计算中心天体的质量，首先观测围绕中心天体运动的 r 和 ，然后根据万有引力提供 由牛顿第二定律列出方程，求得中心天体的质量M= 。

3．海王星是在 年 月 日德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现的，发现的过程是：发现 的实际运动轨道与 的轨道总有一些偏差，根据观察到的偏差数据和万有引力定律计算出 ，并预测可能出现的时刻和位置；在预测的时间去观察预测的位置。

海王星的发现最终确立了 也成为科学史上的美谈。

[探究与生成]
[问题1] 科学真实迷人
[教师点拨] 万有引力的发现，给天文学的研究开辟了一条康庄大道。

自从卡文迪许测出了引力常数G 值之后，可以应用万有引力定律“称量”地球的质量，所以卡文迪许宣布他的实验是在“称量地球”。

纬度为θ的位置，万有引力指向地心，分解为两个分力：m 为向心力远小于重力，万有引力大小近似等于重力。

因此不考虑（忽略）地球自转的影响，
2
R Mm
G
mg = 地球质量：
G
gR M 2
=
例1．已知地面附近的重力加速度g=9．8m/s 2
，地球半径
R =6．4×106m ，引力常量G =6．67×10-11Nm 2/kg 2，试估算地球的质量。

【解析】略不计。

【拓展与分享】 某物体在地面上受到的重力为160N ，将它放置在卫星中，在卫星以
的加速度随火
箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物，相互挤压力为90N 时，卫星距地球表面有多远?(地球半径
，g 取10m/s 2
)
【思路分析】重力加速度与高度的变化：若物体静止在距离地面高为h 的高空
kg
kg
由 得：
2
R
Mm
G mg =
卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面为h ，然后根据万有引力定律求解。

这时受到地球的万有引力为G
2
)(h R Mm
地+
在地球表面
地
R GMm
2=mg ① 在上升至地面h 时
2
N )(G
-F h R Mm
地+=ma ②
由①②得地
地R h R 22
)(+=
ma
F mg
N -
H=（
ma
F mg
N --1）R 地
代入数据得h=1.92×104
km [问题2] 计算天体的质量
[教师点拨]
有了G 的数值，我们可以用同样的方法去“测量太阳的质量”。

设M 为太阳(或某一天体)的质量，m 是行星(或某一卫星)的质量，r 是行星(或卫星)的轨道半径，T 是行星(或卫星)绕太阳(或天体)公转的周期，有：
而行星运动的向心力由万有引力提供，
例2． “嫦娥奔月”工程中我国发射的“嫦娥一号”卫星成功进入近月轨道.已知此卫星绕月球飞行一圈的时间为t.试据此求出月球的平均密度.(引力常量G 已知)
即：
地 地 地 地
π
F =mr ω2=mr ( )2
r
GMm 2T
r
G 23
24π即：F 引= 得 ： M=
【思路分析】
答案： C
【拓展与分享】 宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ） A.3年 B.9年 C.27年 D.81年
[问题
3]
[教师点拨]万有引力对研究天体运动有着重要的意义.海王星、冥王星就是这样发现的.请同学们推导：已知中心天体的质量及绕其运动的行星的运动情况，在太阳系中，行星绕太阳运动的半径
r
根据F 万有引力=F 向=2r Mm G , 而F 万有引力=r T
m 2)2(π
,
在18世纪发现的第七个行星——天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离.当时有人预测，肯定在其轨道外还有一颗未发现的新星.后来，亚当斯和勒维列在预言位置的附近找到了这颗新星.后来，科学家利用这一原理还发现了许多行星的卫星，由此可见，万有引力定律在天文学上的应用，有极为重要的意义.
例3．已知地球半径约为6.4×106
m ，又知月球绕地球的运动可近似看做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为________m ．(结果保留一位有效数字)
【解析】地球对月球的万有引力提供月球绕地球运转所需的向心力，月球绕地球运转的周期为27天，即
r 4m r m 22
2T M G π=
① g m 2'='
R
m M G
②
3
122
)4(πM GT r =
答案：4×108
【拓展与分享】经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心（银心）的圆形轨道上运行，这个轨道半径为3×104光年（约等于2.8×1020m ），转动一周的周期约为2亿年（约等于6.3×1015s ）.太阳做圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题.（G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2）
从给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量.
【解析】假设太阳轨道内侧这些星球的总质量为M ，太阳的质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，太阳做圆周运动的向心力来自于这些星体的引力。

2
r GMm =m 22
4T πr 故这些星体的总质量为
M=2324GT r π=2
15113
202)103.6(1067.6)108.2()14.3(4⨯⨯⨯⨯⨯⨯-kg =3.3×1041kg.
【课堂练习】
1. 天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动,并测出了行星的轨道半径和运行周期,由此可推算出（ ）
A.行星的质量
B.行星的半径
C.恒星的质量
D.恒星的半径
2.宇宙飞船进入一个围绕太阳的近乎圆形的轨道运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）
A.3年
B.9年
C.27年
D.81年
3.假设太阳系中天体的密度不变,天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半,地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动,则下列物理量变化正确的是（ ）
A.地球的向心力变为缩小前的一半
B.地球的向心力变为缩小前的 1/16
C.地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D.地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 4.若人造卫星绕地球做匀速圆周运动,则下列说法正确的是（ ） A.卫星的轨道半径越大,它的运行速度越大 B.卫星的轨道半径越大,它的运行速度越小
C.卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越大
r ＝
3
2
2
24πT
gR 又已知 T ＝27×24×3600 s
由①、②两式可得：
D.卫星的质量一定时,轨道半径越大,它需要的向心力越小
5.下列说法正确的是（）
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的[来源:教|改|先锋*网]
D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
6.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,设其周期为T,引力常量为G,那么该行星的平均密度为（）
7.某行星绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，万有引力恒量为G，则该行星的线速度大小为多大?太阳的质量为多少?
8.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为r A=8.0×104 km和r B=1.2×105 km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用.(结果可用根式表式）
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比.
(2)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N.已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
6.4 《万有引力理论的成就》练案
【A组】
1.科学研究发现，在月球表面附近没有空气，没有磁场，重力加速度约为地球表面的l／6。

若宇航员登上月球后，在空中从同一高度同时释放氢气球和铅球，忽略地球和其他星球的影响，以下说法正确的是( ) A．氢气球和铅球都将下落，且同时落到月球表面
B．氢气球和铅球都将下落，但铅球先落到月球表面
C．氢气球将加速上升，铅球将加速下落
D．氢气球和铅球都将上升
2.土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km。

已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.7×10-11N m2/kg2，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）
A.9×1016kg
B.6×1017kg
C.9×1025kg
D.6×1026kg
3.在万有引力常量G 已知的情况下已知下列哪些数据,可以计算出地球质量（ ） A.地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B.人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C.月球绕地球运行的周期及地球半径
D.若不考虑地球自转,已知地球半径和地球表面的重力加速度
4.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ ）
A.地球与月球间的万有引力将变大
B.地球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球运动的周期将变大
D.月球绕地球运动的周期将变短 5.在研究宇宙发展演变的理论中，有一种 “宇宙膨胀说”．这种学说认为万有引力常量G 在缓慢地减小．根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比( ) A.公转半径较大 B.公转周期较小 C.公转速率较大 D.公转角速度较小
6.随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其它星球成为可能。

假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的 ( )
A ．0.5倍
B ．2倍
C ．4倍
D ．8倍
7.如果到某一天，因某种原因地球自转加快，则地球上物体重量将发生怎样的变化？当角速度等于多少时，赤道上的物体重量为零？（地球半径m r 6
104.6⨯=，地球质量kg M 24100.6⨯=，2211/107.6kg m N G ⋅⨯=-）。

8.在一次测定引力常量的实验中，已知一个质量为0.8kg 的球，以1.3×10-10
N 的力吸引另一个质量为40×
10-3kg 的球，这两个球相距4.0×10-2m ，地球表面的重力加速度为9.8m/s 2
，地球半径为6400km 。

试根据这些数据计算地球的质量为多少千克？ 【B 组】
1．设在地球上和在x 天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K(均不计阻力)，且已知地球和x 天体的半径比也为K ，则地球质量与x 天体的质量比为( ) A ．1
B ．K
C ．K
2
D ．1/K
2．(1988年·全国高考)设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R(R 是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g ，则g/g 0为( ) Ａ．1
Ｂ．1/9
Ｃ．1/4
Ｄ．1/16
3.物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了( ) A ．地球的半径是月球半径的6倍 B ．地球的质量是月球质量的6倍
C ．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D ．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6
4.太阳表面半径为R ′，平均密度为ρ′，地球表面半径和平均密度分别为R 和ρ，
地球表面附近的重力加速度为g 0 ，则太阳表面附近的重力加速度g ′( )
A ．
0g R
R ' B ．
0g ρρ' C ．0g ρ
ρR R ''
D ．
0g ρρ
'
'R R 5．假设火星和地球都是球体，火星质量M 火和地球质量M 地之比为M 火/M 地＝p ，火星半径R 火和地球半径R 地之比为R 火/R 地＝q ，那么火星表面处的重力加速度g 火和地球表面处的重力加速度g 地之比g 火/g 地等于( )
A ．p/q
2
B ．pq 2
C ．p/q
D ．pq
6. 如图所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星
的周期为T 2，在某一时刻两行星相距最近，则( ) A.经过时间t=T 1+T 2，两行星再次相距最近 B.经过时间2
t 2
1T T +=
，两行星再次相距最近 C.经过时间1
221t T T T T -∙= ，两行星首次相距最远
D.经过时间 )
(2t 1221T T T T -∙= ，两行星首次相距最远
7.用火箭把宇航员送到月球上，如果他已知月球的半径，那么他用一个弹簧测力计和一个已知质量的砝码，能否测出月球的质量?应该怎样测定?
8．两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m 1、m 2，相距L ，求这两颗恒星的转动周期．
答案
6.4 《万有引力理论的成就》 【课前预习】
1.地球的吸引；地球的万有引力；地球半径；重力加速度
2.星球的轨道半径；运动周期T ；向心力；2
3
24GT r π
3.1846; 9; 23; 天王星；根据万有引力定律计算出来；这颗“新”行星的运行轨道；万有引力定律的地位 【课堂练习】
1.C
2.C
3.BC
4.BD
5.D
6.B
7. 8.
练案 【A 组】
1.A
2.D
3.BD
4.BD
5.BC
6.D
7.重力是万有引力的分力，地球上物体随地球自转作圆周运动的向心力由万有引力的分力提供，引力的另一分力为重力。

在赤道上的物体万有引力、重力和向心力在一条直线上，结合其特点和题中条件可知重力为零时，万有引力充当向心力。

由以上分析可知，地球自转加快，重力减小。

当重力为零时有r m r
Mm G
2
2ω= 则3r
GM
=
ω 代入数值得s rad /102.13
-⨯=ω
说明：在通常情况中，物体随地球自转所作的圆周运动所需向心力很小，故可在近似计算中认为万有引力等于重力。

但若要考虑自转的影响时则不能近似处理。

8.由于地球对物体的引力等于物体受到的重力
G 2R
Mm
=mg,∴M 地=G gR 地2 ①
又因为两球之间的万有引力为F=G 2
2
1r m m ② 所以有：G=2
12
m m Fr
②式代入上①式得：M 地=
2
2
12Fr m m gR 地
代入数据可得：M=2
2103
26100.4103.1100.48.0104.68.9）（）（---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=6.2×1024
（kg ） 【B 组】
1.B
2.D
3.D
4.C
5.A
6.D
7.将砝码挂在弹簧测力计上，测出弹簧测力计的读数F. 由F=mg 月，得：g 月=
m
F
① 在月球表面，砝码的重力应等于月球的引力
mg 月=G 2R
Mm
,则M=G R g 月2 ②
将①代入②，解得M=
Gm
F R
G m F
R 2
2=⋅
8解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m 1、m 2做匀速圆周运动的半径分别为R 1、R 2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以
122
12214m m m R T
L G π=
①
222
22214m m m R T
L G π=
② R 1+R 2＝L
③
由①②③得：
1221m m R R =
，得： L R 2
12
1
m m m +=
代入①式
所以：
T 2
＝
)
(442122222122m m L
m Gm L Gm R L +⋅=ππ。