山西省阳泉市、大同市、晋中市2010年五月三市高三联考试题(卷)(数学文)扫描版

山西省阳泉市、大同市、晋中市2010年五月三市高三联考试题（卷）（数学文）
2010年三市5月高三联考试题
文科数学参考答案
13. -160 14.
227 15. 2
5 16. （1） （2） （3） 三、解答题
17
、（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B 的坐标为()θθsin 2,cos 2…………1分
在AOB ∆=2， ∠BAO =
4π
，∠B =π-4
π-θ=43π-θ. 4sin 22
2
⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4sin ...............3分 =22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θπ43…………………………………………………5分 (注：仅写出正弦定理，得3分，若用直线AB 的斜率等于-1())4sin(22cos sin 2πθθ+=+x 也得分。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得OA θcos ⋅=θθπcos 43sin 24⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-…7分 因为tan θ= 34-
，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈432ππθ， 所以sin ==θθcos 54，，5
3-……………………………………………………8分 又sin θπθπθπsin 43cos cos 43sin 43⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=54225322⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=102.9分 所以⋅=425
12531022-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅ ………………………………………10分 18（本小题满分12分）
（Ⅰ）由.4,12
1131==⋅n n 得 ……………………………………………………4分 （Ⅱ）解：记23,A A 分别表示从甲盒中各抽取一个小球得3号球和2号球，21,B B 分别表示从乙盒中各抽取一个小球得1号球和2号球，A 表示在一次抽取中甲盒的标号大于乙盒的标号，B 表示在三次抽取中甲盒的标号恰有两次大于乙盒的标号，则()()231312B A B A B A P A P ++==()()1312B A P B A P +
+()23B A P =4
1413141314131=⨯+⨯+⨯．…………………………………8分
（）
由于每次抽取相互独立，所以事件B 为三次独立重复试验中发生两次的事件()B P =C 2364943412
=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛．………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD =60°知，
△BCD 是等边三角形.因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ,又AB ∥CD ,
所以BE ⊥AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以
P A ⊥BE .而PA ⋂AB =A ,因此BE ⊥平面P AB .
又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB …………6分
（Ⅱ）延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .
过点A 作AH ⊥PB 于H ，由（Ⅰ）知
平面PBE ⊥平面P AB ,所以AH ⊥平面PBE .
在Rt △ABF 中，因为∠BAF ＝60°， 所以，AF =2AB =2=AP . 在等腰Rt △P AF 中，取PF 的中点G ，连接AG .
则AG ⊥PF .连结HG ，由三垂线定理的逆定理得，
PF ⊥HG .所以∠AGH 是平面P AD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）……8分. 在等腰Rt △P AF 中，
AG PA == 在Rt △P AB 中，5
525222==+⋅=⋅=AB AP AB AP PB AB AP AH ………10分 所以，在Rt △AHG 中，
sin AH AGH AG ∠=== 故平面P AD 和平面PBE
所成二面角（锐角）的大小是arcsin
………12分 解法二: 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关
各点的坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0）
，3(2
C 1(2
D P （0，0，2）
,E …2分
（Ⅰ）因为(0,,0)2BE =， 平面P AB 的一个法向量是0(0,1,0)n =，
所以(0,2
BE =和0(0,1,0)n =共线.从而BE ⊥平面P AB . 又因为BE ⊂平面PBE ，
故平面PBE ⊥平面P AB ………6分 源头学子
(Ⅱ)
易知(1,0,2),(0,
0PB BE =-
=）， 1(0,0,2),(,2PA AD =-= 设1111(,,)n x y z =是平面PBE 的一个法向量，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
11n n 得
111122020,
000.2
x y z x y z +⨯-=⎧⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===故可取…8分 设2222(,,)n x y z =是平面PAD 的一个法向量，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
022
n n 得
2222220020,
100.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪
⎨
+
+⨯=⎪⎩所以2220,.z x ==故可取2(3,1,0).n =- (10)
分
于是，5
15
2
532,cos 21=
⨯=
>=
<n n
故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是arccos 5
…12分 20．（本小题满分12分） 解:（1）解法一：
()1122,n n n a a n --≥-=
∴当2n ≥时，()()()12132121()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-+
+-+-
2
2
1
1232222
22112
n
n n n ---=+++++=+=+-．………4分
检验知当1n =时，结论也成立，故21n n a =+ (n )*
∈N ． ………5分
2
1
12(12)
(222
2)2212
n n n
n n S n n n -+-=++
+++=+=+--(n )*∈N ．……7分
解法二：
()1122,n n n a a n --≥-=1122n n n n a a --∴-=- ()2n ≥, …………3分
∴数列{}2n a -是首项为121a -=,公差为0的等差数列,
21n n a ∴-=,21n n a =+ (n )*∈N ． ……………5分
2
1
12(12)
(222
2)2212
n n n
n n S n n n -+-=++
+++=+=+--(n )*∈N . …7分
证明:（2）()()11
1
222121n n n n n b --+=++()()()()11121211112212122121n n n n n n ++++-+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
(n )*∈N ． …………10分
11222n n n T b b b -∴=++
+ 22
311111
1
1
12121212
12212
1
n
n +⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=
-+-++-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++
++
+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ 1111111
212212126
n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． …………12分 21.
解：由条件知(20)F ，，设11(
)A x y ，，22()B x y ，．
（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2，
， 此时1)2,1()2,1(-=-⋅=⋅．………………………………… 1分 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=，有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．…………… 3分
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是)2)(2()1)(1()1)(1(212212121--+--=+--=⋅x x k x x y y x x CB CA
2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++
2222222
(1)(42)4(21)
4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．
综上所述，CB CA ⋅为常数1-．…………………………………………… 5分 （II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，
22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，
，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨
=+⎩，即1212
2x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，
于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫
⎪⎝⎭
，．…………………………………………… 7分 ①当AB 不与x 轴垂直时，1212
22222
y
y y y x x x x -==
+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．
将1212()2
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得224x y -=．………………10分 ②当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．……11分
所以点M 的轨迹方程是2
2
4x y -=．……………………………12分
解法二：同解法一得1212
2x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，①…………………………7分
当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2
12241k x x k +=-②
1
4)414()4(2222121-=--=-+=+k k
k k k x x k y y ③
由①②③得22421k x k +=-④,241
k
y k =-⑤………………………9分
当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
2
x k y
+=，将其代入⑤有 222
2
2
44(2)(2)(2)1x y x y y x x y
y +⨯
+==++--．整理得22
4x y -=．………………11分
当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．
当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是2
2
4x y -=……………………12分 22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）对()()(),112
+-+='x b ax x f x f 求导得 ………1分
由题意是方程21,x x ().0的两根='x f ………2分 由得且0,4221><<<a x x ()()⎩⎨⎧>'<',04,02f f 即()
()⎩
⎨⎧>-+<-+2,034161,0124b a b a ……4分
()(),32411242+-=+--=-'b a b a f
由（1）、（2）所表示的平面区域可求得024>-b a ,故().33242>+-=-'b a f
所以()()∞+-'，
的取值范围是32f . …………6分 （Ⅱ）方程()0112
=+-+x b ax 的两根为21,x x 由根与系数的关系得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=--=+,1,12121a x x a b x x 由于,021≠x x 两式相除
得(),1
112
12121x x x x x x b +=+=
--…8分
即.11
12
1+--
=x x b 由条件212+=x x 可得(),1211111++-
-==x x x b ϕ…10分 易知当()()是增函数，时，x x ϕ2,01∈当()()(),4
1
22,011=
<∈ϕϕx x 时， 故b 的取值范围是.,41,得证⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞- …………12分。