《比例》知识梳理及典型例题

例题 根据正比例的意义，确定下面各式中x与y是否 成正比例关系。（x、y均不为0） （1）y=5x （2）x－y=0 （3）x－y=5
y （1）由y=5x得 y （2）由x－y=0得x=y，即 x =1，x与y的比值一定， 所以x与y成正比例关系。 （3）此题中x－y的差是一定的，但是它们的比值 不是一定的，所以x与y不成正比例关系。
二、正比例和反比例
成反比例的量 【1.成反比例的量 】两种相关联的量，一种量变化，另一 种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系成为反比例关系。
例：轮船行驶的路程一定，那么，它行驶的时间
与行驶的速度就成反比例。
二、正比例和反比例
成反比例的量 【2. 反比例关系的字母表达式】如果用字母 x 和 y 表示两种 相关联的量，用k表示它们的乘积，则反比例关系式是： x×y=k（一定）。 【3. 两种量成反比例的条件】这两种量是相关联的，其中 一种量随着另一种量的变化而变化，变化的方向相反。相对应 的两个量的乘积一定。 【4.正比例关系的图像 】※ 如下图所示：
1 1 方法一 因为6.4:1.6=4，2: =4，所以6.4:1.6=2: 。 2 2 1 1 方法二 因为6.4× =3.2，1.6×2=3.2，所以6.4× 2 2 1 =1.6×2，从而得出1.6:6.4= :2。 2 （2）（答案不唯一）
方法一
方法二
因为 1 : 2 因为 1 × 2
1 =2， 1 : 1 =2，所以 1 : 1 = 1 : 1 4 3 6 3 6 2 4 1 = 1 12 6
1、每块砖的面积一定，铺地总面积和用砖的总块数 2、铺地总面积一定，每块砖的面积和用砖的总块数 3、每立方厘米的铁的重量一定，铁的总重量和体积 4、购买各种货物的总价和数量 5、互相咬合的齿轮的齿数和转数 6、一个人的身高和体重 7、一个人的年龄和身高 8、总人数一定，每排人数和排数 9、一堆货物的总重量一定，每辆车的载重量和汽车辆数 10、正方体的棱长一定，它的体积和表面积 （ 正 ）比例 （ 反 ）比例 （ 正 ）比例 （ 正 ）比例 （ 反 ）比例 （不成 ）比例 （不成 ）比例 （ 反 ）比例 （ 反 ）比例 （不成 ）比例
例：30
:
2 = 90
内项 外项
:
6
一、比例的意义和基本性质
比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫 做比例的基本性质。
例：120:2=300:5→120×5=2×300
如果把比例写成分数形式，等号两边的 分子和分母分别交叉相乘，所得的积相等。 120 300 即 2 = 5 →120×5=2×300。
二、正比例和反比例
成正比例的量
【4.正比例关系的图像 】 正比例关系的图像是一条经过原点 O 的直线。从正 比例图像中，可以直观看到成正比例的两种量的变化 情况，不用计算，就可以根据其中一个量的值直接找
到或者估计出另一个量的值。
某辆汽车所行驶的时间和路程统计如下表：
时间/时 路程/km 1 60 2 120 3 180 4 240 5 300 6 360 7 420
例：汽车的速度一定，那么，它所行驶的路程与 所用的时间就成正比例。
二、正比例和反比例
成正比例的量 【2.正比例关系的字母表达式】 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值 y （一定），则正比例关系式是： x =k（一定）
成正比例的量 【3.两种量成正比例的条件】 这两种量是相关联的，其中一种量随着另一种量的变化而 变化，变化的方向一致。相对应的两个量的比值（商）一定。
9×15 x= 6 42 x= 2
（2） x = 0.2 解：7x=0.2×4
4 7
x=0.8÷7
4 x= 35
二、正比例和反比例
成正比例的量 【1.成正比例的量】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就 叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
例题
用每组中的四个数分别写出一组比例式。
1 1 1 1 （2）2 ，3 ，6 和 4
1 （1）1.6，6.4，2和 2
可以根据比例的意义或者比例的基本性质来组成比例。
例题
用每组中的四个数分别写出一组比例式。
1 1 1 1 （2）2 ，3 ，6 和 4
1 （1）1.6，6.4，2和 2 解答
（1）（答案不唯一）
观察发现：正比例图像是一条直线。 （3）观察图像，在横轴上4时和5时之间找到4.5时的点，再 竖直向上看，找到与这条竖直线相交的横隔线，最后顺着横 隔线往左看纵轴，找出与这个点相对应的纵轴上的数是270 （在240与300的正中间）。 同理，在纵轴上找到大约200千
米的点，过这点向右画一条水平 线，使其与图像相交，再由此交 点向下竖直画线，与横轴相交点 即为所要找的点。根据图像估计 出行驶200千米大约需要3.3时 （如右图）。
一、比例的意义和基本性质
写比例式的方法 判断四个数能否组成比例有两种思路：一是根据比例的 意义，二是根据比例的基本性质。 根据比例的意义组成比例时，要把四个数分成两组：一 是将较小的两个数分成一组，将较大的两个数分成一组；二 是将每组中四个数按大小顺序排列，将最大的数和第二小的 数分为一组，将第二大的数和最小的数分为一组。写两个比， 求出比值，只要这两个比值相等，就说明这四个数能组成比 例。 根据比例的基本性质判断，先看最大与最小的两个数相 乘的积与另外两个数相乘的积是否相等，再将积相等的两个 算式转化成比例。若能组成比例，一般可以得到八个比例， 这八个比例虽然表现的形式不一样，但它们都能满足“两个 外项的积等于两个内项的积”。
比例的意义
比例的性质 比 正 比 例 和 反 比 例 正比例 解比例
成正比例的量
y 正比例关系的字母表达式：x =k（一定）
两种量成正比例的条件
正比例关系的图像 成反比例的量
反比例
反比例关系的字母表达式：x×y=k（一定）
两种量成反比例的条件
一、比例的意义和基本性质
比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个 数，叫做比例的项。两端两项叫做比例的外项，中 间的两项叫做比例的内项。
例题
根据反比例的意义，确定下面各式中x与y是否
成反比例关系。（x、y均不为0）
5 （1）y= x
（2）x＋y=6.5
解答 （1）由y= 5 得xy=5，x与y的乘积一定，所
x
以x与y成反比例关系。 （2）此题中x＋y的和是一定的，但是他们的乘积 不是一定的，所以x与y不成反比例关系。
判断下面每题中的两种量是否成比例，成什么比例。
（1）表中有哪两种相关联的量，它们之间成什么比例关系？ （2）根据表中的数据在方格纸上画图，制成图像，观察一下， 它的图像有什么特点？ （3）不计算，根据图像判断：该汽车4.5时行驶多少千米？行 驶200千米大约需要几时？
解答 （1）表中的路程和时间是两种相关联的量， 它们之间成正比例关系。 （2）在方格纸中用横轴表示时间，纵轴表示路程， 根据上表中的每一组数据描出相对应的点，然后 把各点按顺序连接起来，制成一幅正比例图像 （如下图）。
一、比例的意义和基本性质
解比例 根据比例的基本性质，如果已经知道比例中的任何三项， 就可求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项， 叫做解比例。 解比例时，先根据比例的基本性质把原比例式改写成两个 外项乘积与两个内项乘积相等形式的方程，再用已知的两项乘 积除以另一个已知项求出未知项。
例：（1）6:9=15:x 解：6x=9×15