中山市—高二第二学期期末考试数学(理)

中山市高二级2010 — 2011学年度第二学期期末统一考试
数学试卷(理科)
本试卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡 考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上
2、 选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，
答案不能答在试卷上.
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上.如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案 .不准使用铅笔和
涂改液.不按以上要求作答的答案无效 .
4、 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交 .
5、 不可以使用计算器.
n
n
__
(X i -刃(y i -y)
、 Xi% -nXy
参考公式： 回归直线 ？ =bx - a ，其中 b =
----------------- =二
，a = y - bx .
2
迟(x -
i 1
2
-x)
、X j 2 - nx
i =4
、
‘选择题(本大题共 8小题，每小题 5分， 共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只 有- 项是符合题目要求的
.)
1.
复数(1 i)2的共轭复数是
A . 2i
B . -2i
C . 2 2i
D . 2 -2i 2.
2
计算,o x 3
dx 二
A . 1
B . 2
C . 4
D .
8 3. 已知函数y 二x n e x
, 则其导数
y'=
八 n 4 x
A . nx e n x
B . x e
C . 2x n e x
D . n -1 x (n x)x e 4. 21 法国数学家费马观察到 22 -1 二 5 ,
22 22
23
1 =17 , 1 =257 24
,2 '1 =65 537 都是质 n
数，于是他提出猜想：任何形如22 1 (n ・N*)的数都是质数，这就是著名的费马猜想.半 个世纪之后，善于发现的欧拉发现第 5个费马数22_ 1 = 4 294 967 297 =641 6 700 417 不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明
A .归纳推理，结果一定不正确
B .归纳推理，结果不一定正确
C .类比推理，结果一定不正确
C .类比推理，结果不一定正确
5.复数a bi与c di的积是纯虚数的一个必要不充分条件是
A . ad be = 0
B . ac bd = 0
C . ac = bd
D . ad = be
6•圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为
A . 720
B . 360
C . 240
D . 120
7.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热
•如果第
2
x 小时时，原油的温度（单位：C ）为 y 二f （x ）二x -7x -15 （0岂x 乞8）.则第2小时时， 原油温度的瞬时变化率为
C . — 5
D . 5
&设有一个边长为3的正三角形，记为A 1 ,将A 1的每边三等份，在中间的线段上向形外 作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记为 A ,，将A 2的每边三等份，再重复上述过
题卡相应横线上）
（一）必做题（9〜13题）
In x
9.函数y 二叱的单调递增区间是 ____________
x
10 .我国自从1979年实行计划生育政策以来，
独生子女”就作为一种特殊的群体存在于
我国社会中.从理论研究的角度看， 对独生子女”的研究横跨和占据了多学科的研究领地， 例如心理
2 P(k >k) 0.50 0.40 0.25 0.15
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
程，得到图形A 3，再重复上述过程，得到图形
人，人，则A 5的周长是
256
D .空
9
3
、填空
题（本
7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，共30分，把答案填在答 ——
不偏执 偏执 独生子女
12
18 非独生子女
12
8
根据表中数据, 计算统计量 K 2 n(ad -be)
(a b)(c d)(a c)(b d)
1.9231 , 参考以下临界数据:
A . 16
格与独
生是否
11.（X-1）7的展开式中，X 3的系数是 _________ .
X
12 •中山某旅游公司组织亚运线路一天游，景点包括：广东省博物馆新馆、广州歌剧院、 亚运会开闭幕式场地海心沙、广州新电视塔、广州大学城体育中心体育场、广州新中轴线 花城广场•安排线路时，要求上午游览
4个景点，下午游览 2个景点，广州大学城体育中
心体育场排在第一个景点，广东省博物馆新馆、广州歌剧院安排在上午，广州新中轴线花 城广场安排在下午•则此线路共有 ____________________ 种排法（用数字作答）• 13.已知函数 f x 满足f 1 =2,且对任意 x, y • R 都有f x = f x • yL f -y ，记
n 12 II a 」二印山2山*・，则丨【f 7-i ]=
i 4
i 4
（二）选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题, 14 .（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系
x =t 3
y =3-t
距离为 ________ .
15. ___________ （几何证明选讲选做题）如图所示，圆 O 的直径AB =6 ,
C 为圆周上一点，BC -3 .过C 作圆的切线I ，过A 作I 的 垂线A
D , AD
分别与直线丨、圆交于点D , E ，则线段AE 的长为 .
三、解答题（本大题共 6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .）
1 2
16. （13分）已知函数 f （x ） =（ x -4）x.
3
（1） 求 f （x ）的导数 f '（x ）；
（2）
求f （x ）在闭区间0,3 ］上的最大值与最小值.
17. （13分）某人在自己的林场种植了杨树、沙柳等植物.一次种植了 n 株沙柳，各株沙
柳成活与否是相互独立的，成活率为
p ，设•为成活沙柳的株数，数学期望
E 3，标准
（1）求n,p 的值
若两题都做，取14题得分为最后得分）
xOy 中，直线l 的参数方程为
（参数t € R ）,圆C 的参数方程为
x = 2cos 二 y = 2si 2
（参数日乏［0,2兀）），圆心到
直线
D
（2）若一株沙柳成活，则一年内通过该株沙柳获利10 0元，若一株沙柳不能成活,
一年内通过该株沙柳损失3 0元，求一年内该人通过种植沙柳获利的期望
18. (13分)我市某高中的一个综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少 之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了
1至6月份每月10号的昼夜温差情况与
日 期
1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x (°) 10 11 13 12 8 6 就诊人数y (个)
22
25
29
26
16
12
数据求线性回归方程，再用被选取的 2组数据进行检验.
(1) 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据 2至5月份的数据，求出y 关于x 的 线性回
归方程y =bx 亠a .
(2)
若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过
2人，则
认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想
？
4
参考数据： ' xy i =11 25 13 29 12 26 8 16=1092.
i 1
19.
(13分)一袋子中有大小、质量均相同的 10个小球，其中标记 开”字的小球有5个， 标记 心”
字的小球有3个，标记 乐”字的小球有2个.从中任意摸出1个球确定标记后放 回袋中，再从中任取 1个球•重复以上操作，最多取 3次，并规定若取出 乐”字球，则停 止摸球.求：
(1) 恰好摸到2个“心”字球的概率； (2) 摸球次数X 的概率分布列和数学期望.
20.
(14分)美籍匈牙利数学家波利亚( GeorgePolya,1887~1985 )曾说过： 类比是一个伟 大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题 .'确实，类比是科学发 现的灵魂，是数学发现的重要工具之一 .例如，在Rt^ABC 中，.C =90 , a,b,c 分别是 角A,B,C 对边，由勾股定理可得 c 2 =a 2 b 2.
(1) 由平面内直角三角形的勾股定理， 我们可类比猜想得出空间中四面体的一个性质：
在四面体 S - ABC 中，三个侧面SAB 、SBC 、SAC 两两相互垂直，则 ____________________
(2)
试证明你所猜想的结论是否正确 .
21.
( 14
分)设b >0，椭圆方程为紀 ，抛物线方程为厂］
2
".如图所示，
过点F (0, b+2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为
G ，已知抛物线在 G 点
的切线经过椭圆的右焦点 F 1.
(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2)
设A, B 分y
F
G
别是椭圆的左右端点，P在抛物线上.
证明：抛物线上存在四个点P，使ABP为直
角三角形.
中山市高二级2010 — 2011学年度第二学期期末统一考试
数学试卷(理科)答案
、选择题：BCDB CDAC
所以，E =130E -180=210
1 — 1 18.
解：(1) x =-(11 13 12 8) =11 , y =一(25 29 26 16) =24 , 4
4
4
x
x i y i =11 25 13 29 12 26 8 16 =1092,
i 土
4
X i 2 ^112 132 122 82 =498.
i ±
二、填空题：9.
(0,e)(若填
0,e ］
也对);
12. 24;
13. 64 ; 14 . 2 2 . 15.
三、解答题：
1 2 1 3
16.解：(1) f(x) =( x -4)x x -4x .
3
3
求导得 f (x) =x 2 -4.
(2)令 f (x)二x -4 =(x -2)(x 2) =0，解得：x - -2 或 x =2 .
x
(0, 2)
2 (2, 3)1
3
f (x)
一
+
f(x)
16 3
/
-3
英
V. 2
3 1
17•解：(1)由 E 二n p =3,(二)=n p(1-p)=?,得〔〜卩二?,从而 n =6, p =丄
2
(2)设 为该人通过种植沙柳所获得的利润
则 =100 -30(6-)=130, -180 .
n
__
£ x % -nxy b
=十
n
2
―- nx i 1
1092-4 11 24 -498 -4
a = y _bx = 2 4_
英11」。

所以，f(x)在闭区间10,3 ］上的最大值是0,最小值是一16 .
于是，得到y关于x的回归直线方程-30.
7 7
证法二：设三条棱 SA 、SB SC 分别为a 、b 、c.
150 当
5时，7° 型—22 7 ：：
2 ;
同样，当x=6时孑二78,虫—12 <2.
7 7
所以，该小组所得线性回归方程是理想的
19.
解：(1)恰好摸到两个 心”字球的取法共有 4种情形:
开心心，心开心，心心开，心心乐.
则恰好摸到2个心”字球的概率是
3 2^222 io io io io io io 153 iooo (2) X 9,2,3
则P(X J 耳1 , G i o 5， P(X =2)=C^
C io G
c i 。

25，
i6
P(X =3) =i —P(X =i) -P(X =2)= 25
X i 2 3
P i 4 i6
5 25 25
EX J i / 2卫3卫
5 25 25 25
2o.解：(i ) S S AB S .SBC ' S S AC - S.A BC .
(2)证明：经过四面体的棱 SA 与点H 作平面，与棱BC 交于点D.易 知，棱BC 丄平面SAD.在Rt A SAD 中，有SD 2 =HDLAD .
又•/ △ SBC 、△ HBC 、△ ABC 有公共边 BC ,
••• (1 BC L SD )2 =(1BC _HD )L(1BC J AD )，即 S 2$BC =s BCH Ls ABC . 同理可以得到其他侧面，
有 S.S AB 二S.ABH LS.ABC , S ；AC 二 S A CH Ls. ABC .
所以 S .S AB S .S BC ' S .S AC =(S .A BH ' S .B CH ' S .A CH )LS 「ABC = S .Ai
BC BH BC ・
：• . 2 2 2~2 2 2 , 2 2 2 2
va b +b c +c a 则。

2 a b +b c +c a 则 S ABC 2 -
1 S.SCB =2cb ，所以，S SAB ' S.SBC ' S SCA = S ABC 成立。

1 2
21.解：(1) y =b +2 代入 y = — x 2 +b ，解得 x =当,
8
••• G 点的坐标为(4, b 2).
1 2 1
对 y = x b 求导，得 y'= x , y'|x ^-1 , 8 4
过点G 的切线方程为y 「(b • 2) =x -4即y = x • b -2 . 令y =0得x=2-b , . R 点的坐标为(2 -b,0).
由椭圆方程得F ,点的坐标为(b,0),
■ 2 _b =b ，解得 b =1 ,
2 1
即椭圆和抛物线的方程分别为 — y 2=1和y = 1 x 2 • 1. 2 8 (2)v 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,
•以.PAB 为直角的BP 只有一个.
同理，以ZPBA 为直角的BP 只有一个.
若以• APB 为直角，设P 点坐标为(xjx 2 1), 8
又A 、B 两点的坐标分别为 ^-：.'2,0)和(.2,0),
2 1 2 2 1 4 5 2 PALPB =x -2 (-X 1) x -x -1=0. 8 64 4
关于x 2的二次方程有一大于零的解，
• x 有两解，即以• APB 为直角的Rt^ABP 有两个.
因此抛物线上存在四个点使得 「ABP 为直角三角形.
则厶ABC 的三边分别为.a 2 • b 2 , - b 2 c 2 , . c 2 a 2 . ._ _ 2 , _ _ 2 2 (J a 2 +b 2 ) +(J a 2 +c 2 ) _(J b 2
+c 2 ) 由余弦定理，cosBAC = 2 … a 2 b 2 , a 2 c 2 「―_，所以, a 2 b 2、a 2 c 2 sin ZBAC 二 a 2b 2 +b 2c 2 +c 2a 2 a 2 b 2 a 2 c 2 小
1 则 S^BC =
2 AB
AC sin BAC =〉EE
a 2
b 2 b 2
c 2 c 2a 2 a 2 又 S.SAB 1 「 c 1 ab ，Ss A^2aC ，。