第6章 鞅论

X n和Z n 相互独立，则 {X n Z n , n 0}
关于 {Yn , n 0} 是鞅。
关于 代数的鞅
定义2
设 (, F , P) 是完备概率空间，{Fn , n 0} 是F上 的一列 子代数，若 Fn Fn1, n 0 ，则称 {Fn , n 0} 为单调递增子 代数族，或称为 子代数流。
• 定理 （Kolmogorov）设分布函数族
{Ft1 ,tn ( x1 , xn ),t1,tn T , n 1}
满足对称性和相容性，则必存在某一随机过程， 使得此分布函数族恰好是这一随机过程的有限 维分布族。
2.3 随机过程的分类 • 1、平稳过程 • 如果随机过程 { X (t ), t dT } 对任意 t1, , tn T , h (t h T ) ( X (t1 h), X (t1 h)) ( X (t1 ),, X (t1 )) 有 则称 { X (t ), t T } 为严平稳过程。 2、宽平稳过程（二阶平稳过程） 如果随机过程 { X (t ), t T } 的所有二阶矩都存在，且 E[ X (t )] , 协方差函数 （s，t）只与时间差 t s有关
• 6.1基本概念
定义1
{Yn , n 0} 是两个随机过程， • 设 {X n , n 0} ，
如果满足：
（ 1）n 0, X n是(Y0 , Y1 , , Yn )的函数； （2） E (| X n |) ; (3) E ( X n 1 | Y0 , Y1 , , Yn ) X n
(3) E( X nk | Y0 , Y1,, Yn ) X n , k 0.
（4）如果 {X n , n 0}和 {Z n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅，则 {X n Z n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。 （5）如果 {X n , n 0}和 {Z n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅，且
2宽平稳过程二阶平稳过程如果随机过程的所有二阶矩都存在且则称为宽平稳过程二阶平稳过程3独立平稳增量过程tttx?1ththtttn?????1111txtxhtxhtxd?????tttx?tttx?有关只与时间差协方差函数sttstxe????tttx?
第六章 鞅
鞅论是现代概率论的一个重要内容，也是随机过 程和数理统计研究的重要工具。“martingale” 愿意是“赌输后加倍赔偿”的含义。但是鞅论本 身在近几年的迅速发展 有着理论和实际两方面的 需求。一方面，鞅是独立随机变量部分和的自然 推广，人们致力于把概率论中的极限理论推广到 鞅上去；另一方面，在随机过程和数理统计的研 究中遇到了形形色色的鞅，形成了鞅论研究的强 大推动力。
定义3 随机过程 {X n , n 0}称为适应的，如果 n 0, X n 是 F n 可测的，即 x R,{X n x} Fn ，此时 称 {X n , Fn , n 0} 为适应列。
定义4
性质
设 {Fn , n 0} 为单调递增子 代数族 随机过程 {X n , n 0} 称为关于 {Fn , n 0} 的鞅，如果 { X n } 是 {Fn } 适应的， E(| X n |) 且n 0, E( X n1 | Fn ) X n 称为下鞅。如果 E( X n ) 且n 0, E( X n1 | Fn ) X n 且n 0, E( X n1 | Fn ) X n E ( X 称为上鞅。如果 n )
• 例1.设
Xn
一维直线上的简单随机游动
0
1 Y1=1
2 Y2=1
3 Y3=－1
4 Y4=1
5 Y5=1
6 Y6=－1
7 Y7=1
8 Y8=－1
9 n Y9=1
N(t)
第三个信号到达 … … … …
第二个信号到达 第一个信号到达
0
S1
S2
S3
S4S5S6Fra bibliotekt2.2 有限维分布及相应函数
有限维分布族的性质： 1、对称性 2、相容性
则称 { X n , n 0} 是关于 {Yn , n 0} 的鞅。
如果条件（ 2）和（ 3）变为

如果条件（ 2）和（ 3）变为
（2） E ( X n ) （这里 ; X n m an {0, X n }） （2） E ( X n ) （这里 ; X n man{0, X n }） (3) E ( X n 1 | Y0 , Y1 , , Yn ) X n (3) E ( X n 1 | Y0 , Y1 , , Yn ) X n 则相应地称为下鞅。 则相应地称为上鞅。
鞅的基本性质
(1) E( X n | Y0 , Y1 ,, Yn ) X n
(2) E ( X n1 ) E ( X n ) E ( X 0 ) E ( X n1 ) E[ E ( X n1 | Y0 , Y1 ,, Yn )] E ( X n ) E ( X 0 )
（1）适应列 {X n , Fn , n 0} 是下鞅，当且仅当 { X n , Fn , n 0} 是上鞅。
{Yn , Fn , n 0} 是两个下鞅。 （2）如果 {X n , Fn , n 0} ， a，b是两个正常数，则 {aXn bYn , Fn , n 0} 是下鞅。 （3）如果 {X n , Fn , n 0} ，{Yn , Fn , n 0} 是两个下鞅（或上 ( X n , Yn ), Fn , n 0} (或{min(X n , Yn ), Fn , n 0}) 鞅）。则 {man 是下鞅（或上鞅）。
则称 { X (t ), t T } 为宽平稳过程（二阶平稳过程） 3、独立平稳增量过程