(整理)二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论.

西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告
注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。

西安文理学院数学系本科毕业论文进度表
分类号：
西安文理学院数学系学士学位论文
二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论
系院名称数学系
指导老师胡洪萍
学生姓名韩晓莉
学生学号 021********
专业、班级数学与应用数学06级2班
提交时间二〇一〇年五月二十一
西安文理学院数学系
二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论
韩晓莉
（西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065）
摘要： 本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细
的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性.
关键词： 二元函数；连续；偏导数；可微
多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础.
1 二元函数连续、偏导、可微的定义
定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要
0(;)
P U P D δ∈，就有
0()(),f P f P ε-< 则称f 关于集合D 在点0P 连续，也称f 在点0P 连续.
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.
定义2 设函数()y x f z ,=在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量
()()0000,,y x f y x x f -∆+
如果极限()()
x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000
,,lim
存在，则称此极限为函数()y x f z ,=在点
),(00y x 处对x 的偏导数.
如果函数()y x f z ,=在区域D 内每一点()y x ,处对x (或对y )的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x ，y 的函数，称它为函数()y x f z ,=对自变量x （或对y ）的偏导函数.
定义3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，对于
()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 ()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,
其中A,B 是仅与点0P 有关的常数，22y x ∆+∆=ρ，()ρο是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微，并称上式中关于x ∆，y ∆的线性函数A x ∆＋B y ∆为函数f 在点0P 的全微分，记作
()y B x A y x df ∆+∆=00, .
2 二元函数的连续性
一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数()y x f ,来说，即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数
()00,y x f x ，又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ，()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.
不过，我们却有如下定理：
定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点
()000,y x P 连续.
证明 任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则
()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+
= ()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+ (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使
()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ
将它代入(1) 式, 得
()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+
= ()()()000000,,,y x f y y x f x y y x x f x -∆++∆∆+∆+θ . (2) 由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当
()()0,0,→∆∆y x 时, 有
()y y x x f x ∆+∆+00,x ∆→0.
又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有
()()0000,,y x f y y x f -∆+→0.
所以, 由(2) 知, 有
lim →∆→∆y o x [()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+] = 0.
这说明()y x f ,在点()000,y x P 连续.
推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在点()000,y x P 连续,则()y x f ,在点
()000,y x P 连续.
证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.
推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义. 若()y x f x ,在()0P U 有界, ()00,y x f y 存在,则()y x f , 在点()000,y x P 连续.
证明 由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.
推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f x ,在点()000,y x P 连续, ()00,y x f y 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.
证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界. 又由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续. 同理可证如下的定理2及其推论.
定理2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义,()y x f y ,在
()0P U 内有界,()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在()000,y x P 连
续.
推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义, ()y x f y ,在点()000,y x P 连续, ()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在点
()000,y x P 连续.
推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义,()y x f y ,在
()0P U 内有界, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.
推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义, ()y x f y , 在点()000,y x P 连续, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续. 3 二元函数()y x f ,在点()00,y x 偏导与可微的关系
定理3 若二元函数()y x f ,在点()y x P ,可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数存在且为y x f f ,.
证明 如果函数在点()y x P ,可微，()∈∆+∆+y y x x P ,0P 的某个邻域，则
()ρο+B∆+A∆=∆y x z 总成立，当y ∆=0，上式仍成立， 此时，x ∆=ρ，()()()x x y x f y x x f ∆+A∆=-∆+ο,,，
()()x x f x
y x f y x x f =∆-∆+→∆,,lim
所以x f 存在，同理可证y f 存在.
注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微，()y x f ,在该点偏导数必存在;但()y x f ,在某点()y x ,偏导数存在，函数在该点却不一定可微. 例1 证明函数()y x f ,=xy 在原点()0,0存在两个偏导数但不可微.
证明 由于()0,0x f =()()x
f x f x ∆-∆→∆0,00,lim
0 =x
x ∆→∆0
lim 0
=0 ()0,0y f =()()y
f y f y ∆-∆→∆0,0,0lim
=y
y ∆→∆0lim 0
=0
所以函数在原点两个偏导数存在.
下证函数在原点不可微，用反证法，设函数在原点可微，于是 df =()0,0x f x ∆+()0,0y f y ∆=0
f ∆=f (0+x ∆,0+y ∆)-f (0,0)=y x ∆∆ 特别取x ∆=y ∆，有f ∆=y x ∆∆=2x ∆=x ∆ 22y x ∆+∆=ρ=2x ∆ 所以x
x df
f x ∆∆=-∆→∆→2lim
lim
ρ
ρ=
2
1≠0
这说明df f -∆比ρ不是高阶无穷小，（当0→ρ时）此与可微的定义矛盾，故函数()y x f z ,==
xy 在原点()0,0不可微.
4 二元函数()y x f ,在点()00,y x 可微与连续的关系
定理4 若二元函数()y x f ,在其定义域内一点()y x ,可微，则f 在该点必然连续.
证明 事实上()ρο+B∆+A∆=∆y x z ，0lim 0
=∆→z ρ，
()()[]()y x f z y x f y y x x f y x ,,lim ,lim 0
0=∆+=∆+∆+→→∆→∆ρ
故f 在()y x ,连续.
注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微，则()y x f ,在该点连续;但()y x f ,在某点
()y x ,连续，函数在该点却不一定可微.
例2 证明函数()y x f ,=22sin y x +在()0,0点连续，但在该点不可微. 证明 ()200,R y x ∈∀,有
()()2
202200sin sin ,,y x y x y x f y x f +-+=- =22
sin
2
cos 2
20222
2022y x y x y x y x +-++++
≤2
2022y x y x +-+ ()()2020y y x x -+-≤
则ε∀>0，εδ=∃ ，当
()()2020y y x x -+-<δ时，有
()()00,,y x f y x f -<ε 则f 在()00,y x 连续，即在()0,0点连续. 又因为()()x
x x f x f x x ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim 0,00,lim
00
不存在
()()y y y f y f y y ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim
0,0,0lim 00不存在 所以f 在()0,0点不存在偏导数，即在该点不可微. 5 二元函数()y x f ,在点()00,y x 连续、偏导、可微的关系
对于二元函数可微的充分性条件，一般的数学分析教材如华东师范大学编的《数学分析》是这样叙述的：
[]1定理 若函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点()00,y x 处连续，则函数f 在点()00,y x 可微.
关于二元函数可微的充分性条件，如果完全放弃对两个偏导数的连续性要求，从另一个条件出发，仍可得到可微的充分条件的另一命题.
定理5 若函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的邻域G 内()y x f x ,连续，()00,y x f y 存在，则函数f 在点()00,y x 可微.
证明 对于邻域G 内任意一点()y y x x ∆+∆+00,，函数有全增量 z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+
=()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+
由于一元函数()y y x f ∆+0,在点()y y x ∆+00,的邻域G 内满足微分中值定理条件，有
()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ（0<θ<1）
已知()y x f x ,在点()000,y x P 连续，故有
()x y y x x f x ∆∆+∆+00,θ=()x x y x f x ∆+∆α00,
（0lim 0
=→αρ，22y x ∆+∆=ρ）
又由于()00,y x f y 存在，故一元函数()y x f ,0在0y 可导，于是有
()()()y y y x f y x f y y x f y ∆+∆=-∆+β000000,,, （0lim 0
=→βρ）
从而有
z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+ =()()y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆βα0000,,
而 ρ
βραρ
βαy x y
x ∆⋅
+∆⋅≤∆+∆ 0→+≤βα （0→ρ）
或 ()ροβα=∆+∆y x ，
于是 ()()()ρο+∆+∆=∆y y x f x y x f z y x 0000,, 即函数f 在点()00,y x 可微.
注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件，即()y x f z ,=在()00,y x 的邻域G 内()00,y x f y 存在但()y x f x ,不连续，但()y x f ,在点()00,y x 也可微.
例3 设函数()y x f ,=()
⎪⎩
⎪⎨⎧++,
0,1sin 2
22
2y x y x 002
222=+≠+y x y x ，讨论()y x f ,在原点 （1）()0,0y f 是否存在 （2）x f 是否连续 （3）是否可微.
解 （1）由定义知()0,0y f =()()y
f y f y ∆-∆→∆0,0,0lim
=y
y y y ∆∆∆→∆2
20
1sin
lim
=0 所以()0,0y f 是否存在.
（2）因为当022≠+y x 时，()y x f ,偏导数存在，故
()⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++-+=,
0,1cos 11sin 2,222222y x y x y x x y x f x 002
2
22=+≠+y x y x ， 而()y x f x y x ,lim 0
0→→不存在，故()y x f ,在原点不连续.
（3）因为()2
2221
sin
y x y x z ∆+∆∆+∆=∆，
01
sin
lim lim
2
==-∆→→ρ
ρρ
ρρdz
z
所以()y x f ,在原点可微.
对于二元函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续性与偏导数存在，两者之间没有必然的联系，即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.
例4 证明函数()y x f ,=22y x +（圆锥）在原点的连续性，但偏导数不存在.
证明 因为
()()
()()()
220,0,0,0,lim
,lim
y x y x f y x y x +=
→→
=0 =()0,0f 所以()y x f ,在原点连续.
又因为()()x
f x f x f x x x ∆-∆=∆∆→∆→∆0,00,lim lim 00
=x x x ∆∆→∆0
lim
=x
x x ∆∆→∆0
lim
此极限不存在，因此()y x f ,在原点关于x 的偏导数不存在，同理可证，()y x f ,在原点关于y 的偏导数也不存在.
例5 证明函数()y x f ,=⎪⎩⎪⎨⎧+,
0,2
2y x xy
002
222=+≠+y x y x ，在原点存在偏导数但不连续.
证明 由偏导数的定义有
()()()x
f x f f x x ∆-∆=→∆0,00,lim 0,00 =x
x ∆-→∆0
0lim 0
=0
同理可证()0,0y f =0，即在原点关于x 与y 的偏导数存在. 又因为当动点()y x ,沿直线mx y =而趋于定点()0,0时，由于此时
()()2
1,,m m
mx x f y x f +==
所以()()
()()mx x f y x f x mx
y y x ,lim ,lim 0
0,0,→=→=
=
2
1m
m
+ 此结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于定点时，对应得极限值也不同，故在原点没有极限，从而不连续.
以上两例说明()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存,()y x f ,在点()00,y x 可以不连续；()y x f ,在某点()00,y x 连续，()y x f ,在点()00,y x 偏导数也可能不存在.即
()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.
结束语
本文以上的讨论说明了函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续、偏导数及其在该点是否可微之间的关系，它们虽然没有直接的联系，但当偏导数存在且连续时，其可微性、连续性都存在了.
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Dual function continuity, partial derivative and
differentiability discussion
HAN Xiao-li
（Department of Mathematics, Xi’an University of Arts and Science, Xi’an
710065,China）
Abstract：This article to the function of many variables differential calculus in continuously, between the partial derivative and the differentiable three concept's relations has made a more detailed elaboration, and has given the succinct comprehensive proof, simultaneously gives the corresponding counter-example to explain, explained with the example their independency with the general character which has under the controlled condition.
Key words：dual function; continuously;partial derivative; differentiable
致谢
在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师胡洪萍老师，感谢她的热情关怀和悉心指导。

在我撰写论文的过程中，胡老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了胡老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是她广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，在此表示我最真诚地感谢和深深的谢意。

再次，感谢本文涉及到的大量学者。

本文引用了大量的研究文献，如果没有这些学者的研究成果的启发，我将很难完成论文的写作。

最后，感谢我的同学和朋友，他们不但为我提供了很多的论文素材，还在论文的撰写，排版等过程中提出了修改意见和热情的帮助。

不可遗漏的是，由于我的水平有限，不足在所难免，恳请各位评审老师提出宝贵意见。

2006级2班
韩晓莉
2010年5月21日。