【常考题】九年级数学下期末一模试卷附答案

【常考题】九年级数学下期末一模试卷附答案
一、选择题
1．已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =a x 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
2．下列四个实数中，比1-小的数是（）
A．2-B．0 C．1 D．2
3．地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（）A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106
4．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＞0；④b2﹣4ac＞0；正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
5．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
6．直线y=﹣kx+k﹣3与直线y=kx在同一坐标系中的大致图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．估计10+1的值应在（ ）
A ．3和4之间
B ．4和5之间
C ．5和6之间
D ．6和7之间
8．下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如果关于x 的分式方程11222ax x x
-+=--有整数解，且关于x 的不等式组0322(1)
x a x x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩的解集为x ＞4，那么符合条件的所有整数a 的值之和是（ ） A ．7 B ．8 C ．4 D ．5
10．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．
606030(125%)x x -=+ B ．606030(125%)x x -=+ C ．60(125%)6030x x ⨯+-= D ．6060(125%)30x x
⨯+-= 11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）
A ．
1201508
x x =- B ．1201508x x =+ C ．1201508x x =- D ．1201508x x =+ 12．8×200=x+40
解得：x=120 答：商品进价为120元．
故选：B ．
【点睛】 此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．
二、填空题
13．已知扇形的圆心角为120°，半径等于6，则用该扇形围成的圆锥的底面半径为
_________．
14．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为_____．
15．已知扇形AOB 的半径为4cm ，圆心角∠AOB 的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为________cm
16．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a +的值等于_______．
17．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：
（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角∠CBD ＝60°；
（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度AB ＝1.5米．
根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为_____米．（精确到0.1米，3≈1.73）．
18．计算：82-=_______________．
19．如图，把三角形纸片折叠，使点B ，点C 都与点A 重合，折痕分别为,DE FG ，若15,2C AE EG ︒∠===厘米，ABC △则的边BC 的长为__________厘米。

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=
k x
（k ＞0，x ＞0）的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 的中点E ，若菱形OACD 的边长为3，则k 的值为_____．
三、解答题
21．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？
23．4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地
面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈12
13
，cos67°≈
5
13
，tan67°≈
12
5
，
2≈1.414)．
24．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元
(1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
25．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
(3)若BE＝8，sinB＝
5
13
，求DG的长，
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．
【详解】
∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
解析：A
【解析】
试题分析：A ．﹣2＜﹣1，故正确；
B ．0＞﹣1，故本选项错误；
C ．1＞﹣1，故本选项错误；
D ．2＞﹣1，故本选项错误；
故选A ．
考点：有理数大小比较．
3．C
解析：C
【解析】
试题分析：384 000=3.84×105．故选C ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
由图像可知a ＞0，对称轴x=-
2b a
=1，即2a +b =0，c ＜0，根据抛物线的对称性得x=-1时y=0，抛物线与x 轴有2个交点，故△＝b 2﹣4ac ＞0，由此即可判断.
【详解】 解：∵抛物线开口向上，
∴a ＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣
2b a
＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c ＜0，
∴abc ＞0，所以①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵x ＝﹣1时，y ＝0，
∴a ﹣b +c ＝0，所以②错误；
∵b ＝﹣2a ，
∴2a +b ＝0，所以③错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△＝b 2﹣4ac ＞0，所以④正确．
故选B ．
此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.
5．D
解析：D
【解析】
如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，
∵∠AEB=∠D+∠DBE，
∴∠AEB>∠D，
∴∠C>∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C>sin∠D，故①正确；
cos∠C<cos∠D，故②错误；
tan∠C>tan∠D，故③正确；
故选D．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
若y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，可对A、D进行判断；若y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，则可对B、C进行判断．
【详解】
A、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以A选项错误；
B、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以B选项正确；
C、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以C选项错误；
D、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以D选项错误．故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．7．B
解析：B
解：∵34<<
，∴415<<．故选B ．
的取值范围是解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确． 故选D ．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
解关于x 的不等式组0322(1)
x a x x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩，结合解集为x ＞4，确定a 的范围，再由分式方程
11222ax x x
-+=--有整数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求出所有符合条件的值之和即可．
【详解】 由分式方程
11222ax x x -+=--可得1﹣ax+2（x ﹣2）＝﹣1 解得x ＝22a
-， ∵关于x 的分式方程
11222ax x x -+=--有整数解，且a 为整数 ∴a ＝0、3、4
关于x 的不等式组0322(1)
x a x x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩整理得4x a x >⎧⎨>⎩ ∵不等式组0322(1)
x a x x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩的解集为x ＞4
∴a≤4
于是符合条件的所有整数a 的值之和为：0+3+4＝7
故选C ．
【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
解析：C
【解析】
分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．
详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%
x +万平方米， 依题意得：606030125%
x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.
【详解】
解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，
∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴
1201508
x x =+， 故选D.
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键. 12．无
二、填空题
13．2【解析】分析：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长列出方程进行计算即可详解：扇形的圆心角是120°半径为6则扇形的弧长是：=4π所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π设圆锥的底面半
解析：2
【解析】
分析：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程进行计算即可． 详解：扇形的圆心角是120°，半径为6，
则扇形的弧长是：1206
180
π⋅
=4π，
所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，
设圆锥的底面半径是r，
则2πr=4π，
解得：r=2.
所以圆锥的底面半径是2.
故答案为2.
点睛：本题考查了弧长计算公式及圆锥的相关知识.理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题的关键.
14．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-
30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA
解析：60°
【解析】
试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，
∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为60°.
15．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式可设圆锥的底面圆的半径为rcm根据题意得2πr=解得r=1故答案为：1点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面
解析：1
【解析】
试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长
公式，可设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr=904
180
π⨯
，解得r=1．
故答案为：1.
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于a和c的等式整理后即可得到的答案【详解】解：根据题意得：△＝4﹣4a（2﹣c）＝0整理得：
解析：【解析】
【分析】
根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
【详解】
解：根据题意得：
△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得：
1
2
c
a -=-，
则1
2
c
a
+=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
17．1【解析】试题分析：在Rt△CBD中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD中DC=BC•sin60°=70×≈6055（米）
∵AB=15∴CE=6055+15≈621
解析：1．
【解析】
试题分析：在Rt△CBD中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答．
试题解析：在Rt△CBD中，
．55（米）．
∵AB=1．5，
∴CE=60．55+1．5≈62．1（米）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
18．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键
【解析】
【分析】
.
【详解】
=.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
19．【解析】【分析】过点E 作交AG 的延长线于H 根据折叠的性质得到根据三角形外角的性质可得根据锐角三角函数求出即可求解【详解】如图过点E 作交AG 的延长线于H 厘米`根据折叠的性质可知：根据折叠的性质可知：（ 解析：423+
【解析】
【分析】
过点E 作EH AG ⊥交AG 的延长线于H,根据折叠的性质得到15,C CAG ∠=∠=o
根据三角形外角的性质可得30,EAG EGA ∠=∠=o 根据锐角三角函数求出GC ,即可求解. 【详解】
如图，过点E 作EH AG ⊥交AG 的延长线于H ，
15,2C AE EG ︒∠===厘米，`
根据折叠的性质可知：15,C CAG ∠=∠=o
30,EAG EGA ∴∠=∠=o
322cos302223,AG HG EG ==⋅=⨯=o 根据折叠的性质可知：23,GC AG ==
2,BE AE ==
222342 3.BC BE EG GC ∴=++=++=+（厘米）
故答案为：4 3.+
【点睛】
考查折叠的性质，解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
20．【解析】【分析】过D 作DQ ⊥x 轴于Q 过C 作CM ⊥x 轴于M 过E 作EF ⊥x 轴于F 设D 点的坐标为（ab ）求出CE 的坐标代入函数解析式求出a 再根据勾股定理求出b 即可请求出答案【详解】如图过D 作DQ ⊥x 轴于Q
解析：25
【解析】
【分析】过D 作DQ ⊥x 轴于Q ，过C 作CM ⊥x 轴于M ，过E 作EF ⊥x 轴于F ，设D 点的坐标为（a ，b ），求出C 、E 的坐标，代入函数解析式，求出a ，再根据勾股定理求出b ，
即可请求出答案．
【详解】如图，过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，
设D点的坐标为（a，b），则C点的坐标为（a+3，b），
∵E为AC的中点，
∴EF=1
2
CM=
1
2
b，AF=
1
2
AM=
1
2
OQ=
1
2
a，
E点的坐标为（3+1
2
a，
1
2
b），
把D、E的坐标代入y=k
x
得：k=ab=（3+
1
2
a）
1
2
b，
解得：a=2，
在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32，
即22+b2=9，
解得：5
∴5
故答案为5
【点睛】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等，得出关于a、b的方程是解此题的关键．
三、解答题
21．甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．
【解析】
【分析】
设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x-4）个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做100个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣4）个零件，
根据题意得：120100
4
x x
=
-
，
解得：x=24，
经检验，x=24是分式方程的解，
∴x﹣4=20．
答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．
【解析】
试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：120009000
150
1.5
x x
+=
解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．
答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．
23．风筝距地面的高度49.9m．
【解析】
【分析】
作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H．设AF=BF=x，则CM=BF=x，
DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，在Rt△AHE中，利用∠AEH的正切列方程求解即可.【详解】
如图，作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H．
∵∠ABF=45°，∠AFB=90°，
∴AF=BF，设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，
在Rt△AHE中，tan67°=AH HE
，
∴1228.5 540
x
x
+
=
-
，
解得x≈19.9 m．
∴AM=19.9+30=49.9 m．
∴风筝距地面的高度49.9 m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学
模型，把实际问题转化为数学问题.
24．（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品．
【解析】
【分析】
（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．
答：该档次蛋糕每件利润为18元．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：[10＋2（x－1）]×[76－4(x－1）]＝1024，
整理得：x2﹣16x＋48＝0，
解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是四档次的产品．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．
25．(1)见解析;(2)243.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
【详解】
证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBF，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠DBC=30°，
∴BD=DC=12，
∵DF ∥AB ，
∴∠FDC=∠A=90°，
∴
==
在Rt △DOF 中，=
=
∴菱形BFDE 的面积=
12×EF •BD ＝12
×12× 【点评】 此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
26．(1)证明见解析； 【解析】
【分析】
（1）连接OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证； （2）连接DF ，由（1）得到BC 为圆O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD 与三角形ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；
（3）连接EF ，设圆的半径为r ，由sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF=sinB ，进而求出DG 的长即可．
【详解】
(1)如图，连接OD ，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD ，
∵OA=OD ，
∴∠ODA=∠OAD ，
∴∠ODA=∠CAD ，
∴OD ∥AC ，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD ⊥BC ，
∴BC 为圆O 的切线；
(2)连接DF ，由(1)知BC 为圆O 的切线，
∴∠FDC=∠DAF ，
∴∠CDA=∠CFD ，
∴∠AFD=∠ADB ，
∵∠BAD=∠DAF ，
∴△ABD ∽△ADF ， ∴AB AD AD AF =，即AD 2=AB•AF=xy ， 则AD=xy ； (3)连接EF ，在Rt △BOD 中，sinB=
513OD OB =， 设圆的半径为r ，可得
5813r r =+， 解得：r=5，
∴AE=10，AB=18，
∵AE 是直径，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴EF ∥BC ，
∴∠AEF=∠B ，
∴sin ∠AEF=513
AF AE =， ∴AF=AE•sin ∠AEF=10×
513=5013， ∵AF ∥OD ，
∴501013513
AG AF DG OD ===，即DG=1323AD ， ∴AD=503013·1813AB AF =⨯=， 则DG=133033013231323
⨯=．
【点睛】
圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。