【北师大版】九年级数学下期末一模试题含答案(1)

一、选择题
1．若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形如右图所示，则这一堆方便面共有（）
A．5桶B．6桶C．9桶D．12桶
2．下图是一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的最多个数是（）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有
．．．．两个视图相同的是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
4．某展厅要用相同的正方体木块搭成一个展台，从正面、左面、上面看到的形状如图所示，请判断搭成此展台共需这样的正方体（）．
A．6个B．5个C．4个D．3个
5．如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是()
A ．24 m
B ．25 m
C ．28 m
D ．30 m
6．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m 高的天桥两端分别修建了50m 长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A ．sin0.2=
B ．2ndF sin0.2=
C ．tan0.2=
D ．2ndF tan0.2=
7．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得
(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（ ）
A ．
1
1sin a
+米
B ．
1
1cos a
-米
C ．
1
1sin a
-米
D ．
1
1cos a
+米
8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（ ）
A ．6
B ．3
C ．32
D ．62﹣6
9．如图，ABC 中，6AB AC AE AC DE ==⊥，，垂直平分AB 于点D ，则EC 的长为
（ ）
A．
23B．43
C
．22D
．42
10．如图，在ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，D是BC的中点，DE BC
⊥，//
CE AD，若2
AC=，30
ADC
∠=︒，①四边形ACED是平行四边形；②BCE
∆是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10213
+；则以上结论正确的是（）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
11．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
①
1
2
DE
BC
=；②
1
2
S
S
=
△DOE
△COB
；③
AD OE
AB OB
=；④
1
6
ODE
ADC
S
S
=
△
△
．其中结论正确的是（）．
A．①②B．①③C．①②③D．①③④12．关于反比例函数
3
y
x
=，下列说法错误的是（）
A．图象关于原点对称B．y随x的增大而减小
C．图象分别位于第一、三象限D．若点(,)
M a b在其图象上，则3
ab=二、填空题
13．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从三个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是个__________．
14．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是
____________．
15．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
_____．
16．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，
()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，
()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，
C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为______．
17．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠D=60°，∠A ＝105°，∠B ＝120°，则AD
BC
的值
为__________．
18．在△ABC 中，若()2
1cos 1tan 02
A B -
+-=，则∠C=____________． 19．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．
20．如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线()0k
y x x
=>经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ，若3ABO
S
=，则k 的值为______．
三、解答题
21．（1）如右图，已知A 、B 、C 是由边长为1的小正方形组成网格纸上的三个格点，根据要求在网格中画图．
①画线段BC ；
②过点A 画BC 的平行线AD ；
③在②的条件下，过点C 画直线AD 的垂线，垂足为点E ．
（2）下图是由10个相同的小立方块搭成的几何体，请在下面方格纸中画出它的主视图．
22．（1）2
2sin 30cos 453
︒-︒+
； （2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．
23．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且BD ＝2AC ．
（1）求∠B 的度数．
（2）求tan ∠BAC （结果保留根号）．
24．定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”．显然，“特征轴三角形”是等腰三角形．
（1）抛物线y ＝x 2﹣23x 对应的“特征轴三角形”是 ；抛物线y ＝
12
x 2
﹣2对应的“特征轴三角形”是 ．（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．） （2）若抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a 的值． （3）如图，面积为123的矩形ABCO 的对角线OB 在x 轴的正半轴上，AC 与OB 相交于点E ，若△ABE 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式．
25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为()0,3，点A 在x 轴的负半轴上，点M 、D 分别在OA 、AB 上，且2AD AM ==；一次函数y kx b =+的图象过点D 和M ，反比例函数m
y x
=的图像经过点D ，与BC 交点为N ．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围；
（3）若点P 在y 轴上，且使四边形OMDP 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．
26．如图①，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，且AD ⊥BD ，过C 点作CF ∥AD 交BD 于F 点，E 为AC 的中点，连接ED ，EF ．
（1）求证：DE＝EF；
（2）如图②，若BA＝BC，连接BE交CF于M点．
①求证：△EFM∽△CBM；
②求证：△DEF∽△ABC．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据三视图得到层数及每层的桶数，即可得到答案.
【详解】
由图可知：共2层，最底层有3桶，最顶层有2桶，共5桶，
故选：A.
【点睛】
此题考查三视图的实际应用，会看三视图的组成特点及分析得到层数，每层的数量是解题的关键.
2．A
解析：A
【分析】
根据俯视图可看出最底层小正方体的个数及形状，再从左视图看出每一层小正方体可能的数量，并再俯视图中标出个数，即可得出答案.
【详解】
根据左视图在俯视图中标注小正方形最多时的个数如图所示：
1+1+2+2+2+1=9，故选A.
【点睛】
本题考查根据三视图判断小正方形的个数，根据左视图在俯视图中标注小正方形的个数是关键，需要一定的空间想象力.
3．D
解析：D
【分析】
逐个分析几何体的三视图，作出解答．
【详解】
解：正方体的三个视图都是正方形，三棱台的三个视图都不同，所以①③都不满足题意；
圆锥的正视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是有圆心的圆，满足题意；
正四棱锥正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是正方形和两条对角线，满足题意．故选D
【点睛】
本题考查几何体的三视图，掌握各立体图形的特点以及三视图的概念是解题的关键．4．C
解析：C
【分析】
这些正方体分前、后两排，左、右两行．后排左边是一列2个正方体，右边一个正方体；前排1个正方体，与后排右列对齐．
【详解】
如图
搭成此展台共需这样的正方体（如下图）共需4个这样的正方体．
故选C. 【点睛】
本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形．
5．D
解析：D 【解析】
由题意可得:EP ∥BD ,所以△AEP ∽△ADB ,所以
AP EP
AP PQ BQ BD
=++,因为EP =1.5,BD =9,所以
1.59220
AP
AP =+,解得:AP =5,因为AP=BQ ,PQ =20,所以AB=AP+BQ+PQ =5+5+20=30,故选D. 点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用,应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度,解题时关键是找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.
6．B
解析：B 【分析】
先利用正弦的定义得到10
sin 0.250
A ==，然后利用计算器求锐角∠A ． 【详解】 ∵ 10
sin 0.250
A =
=， ∴ 用计算器求值的顺序为20.2ndFsin =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算器的应用是解决本题的关键．
7．C
解析：C 【分析】
设P A=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，根据sin αPC
PB =＇
，列出方程即可解决问题． 【详解】
解：设PA=PB=PB′=x ，
在RT △PCB′中，sin αPC
PB =＇
∴1
sin αx x
-=
∴x 1xsin α-=， ∴（1-sin α）x=1，
∴x=
1
1sin α-．
故选C ． 【点睛】
本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
8．D
解析：D 【分析】
根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得
2
AB AD '=
，1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．
【详解】
解：
6,2
AB AB AB AD AD ==='∴
=
', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=, 又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,
又
2
AB AD '=
AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',
D B
E ∴'、、三点共线，
在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,
∴
BE=BC-CE=6,
故选D.. 【点睛】
本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键．
9．B
解析：B 【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE ，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BAE ，根据三角形的外角的性质得到∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B ，求得∠C=30°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
∵DE 垂直平分AB 于点D ，
∴AE=BE ，
∴∠B=∠BAE ，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B ，
∵AB=AC ，
∴∠AEC=2∠C ，
∵AE ⊥AC ，
∴∠EAC=90°，
∴∠C=30°，
∴
CE=cos30AC ==︒ 故选：B ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及特殊角的三角函数值．注意掌握数形结合思想的应用．
10．A
解析：A
【分析】
证明AC ∥DE ，再由条件CE ∥AD 可证明四边形ACED 是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB 可得△BCE 是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，
CD=出AB 长可得四边形ACEB 的周长是
10+
【详解】
①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC ∥DE ，
∵CE ∥AD ，
∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确；
②∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，
∴EC=EB ，
∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=cos30AD ⋅︒
=
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB ，
∴EB=4，
DB=
∴
BC=
∴
==
∴
四边形ACEB 的周长是10+③正确；
综上，①②③均正确，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．
11．D
解析：D 【分析】
先判断DE 为ABC 的中位线，则根据三角形中位线性质得到//DE BC ，12
DE BC =，于是可对①进行判断；证明DOE △∽COB △，利用相似比得到12OE DE OD OB BC OC ===，14DOE COB
S S =△△，则可对②进行判断；加上12AD AB =，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到13ODE DCE S S =
△△，12DCE ADC S S =△△，则可对④进行判断．
【详解】
解：∵BE 、CD 为ABC 的中线，
∴DE 为ABC 的中位线， ∴//DE BC ，
12DE BC =，所以①正确； ∵//DE BC ，
∴DOE △∽COB △，
∴12OE DE OD OB BC OC ===，214
DOE COB S DE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，所以②错误； ∵
12AD AB =， ∴AD OE AB OB =，所以③正确； ∵:1:2OD OC =，
∴13
ODE DCE S S =
△△， ∵AE CE =，
∴12DCE ADC S S =
△△， ∴16
ODE ADC S S =
△△，所以④正确． 故选D ．
【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和判定定理．
12．B
解析：B
【分析】
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵反比例函数3y x
=， ∴该函数图象关于原点轴对称，故选项A 正确；
在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故选项B 错误；
该函数图象为别位于第一、三象限，故选项C 正确；
若点M （a ，b ）在其图象上，则ab=3，故选项D 正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
二、填空题
13．5【分析】根据俯视图打地基主视图疯狂盖左视图拆违章的原则解答可得
【详解】几何体分布情况如下图所示：则小正方体的个数为2+1+1+1=5故答案为：5【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力
解析：5
【分析】
根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答可得．
【详解】
几何体分布情况如下图所示：
则小正方体的个数为2+1+1+1=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 14．36cm2【分析】从上面看到6个正方形从正面和右面可看到6个正方形从两个侧后面可看到6个正方形从底面可到到6个正方形面积相加即为所求【详解】从上面看到的面积为6从正面和右面看到的面积为从两个侧后面看 解析：36cm 2
【分析】
从上面看到6个正方形，从正面和右面可看到62⨯个正方形，从两个侧后面可看到62⨯个正方形，从底面可到到6个正方形，面积相加即为所求.
【详解】
从上面看到的面积为62116cm ⨯⨯=，从正面和右面看到的面积为2621112cm ⨯⨯⨯=，从两个侧后面看到的面积为2621112cm ⨯⨯⨯=，从底面看到的面积为62116cm ⨯⨯=， 那么这个几何体的表面积为6+12+12+6=362cm .
【点睛】
本题考查了几何体的表面积，解决问题的关键是分别从各个视角求出面积，然后相加即可. 15．5【解析】试题
解析：5
【解析】
试题
综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，
所以这个几何体的体积是5．
16．【分析】由A 的坐标确定出c 的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y 轴且开口向下求出b 的值如图1所示可得三角形ABC 为等边三角形确定出B 的坐标代入抛物线解析式即 解析：2233
=-+y x 【分析】
由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出y 1-y 2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．
【详解】
解：∵抛物线过点A （0，3），
∴c=3，
当x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，由（x 1-x 2）（y 1-y 2）＞0，得到y 1-y 2＜0，
∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，
同理当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b=0，
∵以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示，
∴△ABC 为等腰三角形，
∵△ABC 中有一个角为60°，
∴△ABC 为等边三角形，且OC=OA=3，
设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD=CD ，且∠OBD=30°，
333cos30sin 302︒︒∴=⋅=
=⋅=BD OB OD OB ∵B 在C 的左侧，
∴B 的坐标为333,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
∵B 点在抛物线上，且c=3，b=0，
327432
∴+=-a 解得：23
a =- 则抛物线解析式为2233=-
+y x 故答案为: 2233
=-
+y x ． 【点睛】 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
17．【分析】沿AB 作垂线与C 的延长线相交于M 点可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形根据三角函数求解即可【详解】解：如图连接AC 并过B 点作BM ⊥CM 设BM=k ∵AD ＝CD ∠D=60°∴△ACD 是 解析：62
【分析】
沿AB 作垂线与C 的延长线相交于M 点，可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形，根据三角函数求解即可.
【详解】
解：如图
连接AC 并过B 点作BM ⊥CM ，设BM=k ，
∵AD ＝CD ，∠D=60°,
∴△ACD 是等边三角形，AD=AC ，
∵∠A ＝105°，∠B ＝120°，∠DAC=60°,
∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，
∵BM=k ，
∴BC=2k ，MC=BM tan 30=3， ∵∠BAC=45°，∠MCA=45°， ∴AD=AC=MC 3k sin 4522=6k ， ∴
6k 6==AD BC . 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值和公式的应用，正确应用公式和作出辅助线是解题的关键.3tan 30=，sin45=22
. 18．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75
解析：75°
【分析】
根据非负数性质得1cos 0,1tan 02
A B -
=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.
【详解】 因为()21cos 1tan 02A B -
+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -
=-= 所以1cos ,tan 12
A B == 所以∠A=60°，∠B=45°
所以∠C=180°-∠A-∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】
考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．
19．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43
【分析】
根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12
AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，
∵E 为CD 的中点，
∴DE=12CD=12
AB ， ∴△ABP ∽△EDP ， ∴
AB PB DE PD =， ∴
21PB PD = ， ∴23
PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，
∴PQ ∥CD ，
∴△BPQ ∽△DBC ， ∴23
PQ BP CD BD ==，
∵CD=2，
∴PQ=43
， 故答案为：
43．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20．【分析】设点B 的坐标为先根据三角形的面积公式可得从而可得点A 的坐标为再根据线段中点的定义可得点C 的坐标为然后将点C 的坐标代入双曲线的解析式即可得【详解】设点B 的坐标为则解得点C 是OA 的中点即又点在双
解析：32
【分析】
设点B 的坐标为(,0)(0)a a >，先根据三角形的面积公式可得6AB a
=，从而可得点A 的坐标为6(,)A a a ，再根据线段中点的定义可得点C 的坐标为3(,)2a C a
，然后将点C 的坐标代入双曲线的解析式即可得．
【详解】
设点B 的坐标为(,0)(0)a a >，则OB a =， 132ABC S OB AB =⋅=， 32a AB ∴⋅=，解得6AB a
=， 6(,)A a a ∴， 点C 是OA 的中点，
600(,)22
a a C ++∴，即3(,)2a C a
， 又点3(,)2a C a 在双曲线上，
3322
a k a ∴=⋅=， 故答案为：
32． 【点睛】 本题考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）见解析
【分析】
（1）①根据线段的定义画图即可；
②根据网格特点和平行线的定义画图即可；
③根据网格特点和垂线的定义画图即可；
（2）主视图有3列，左侧一列有3层，中间一列有2层，右侧一列有1层；
【详解】
（1）①如图所示；
②如图所示；
③如图所示；
（2）如图所示，
【点睛】
本题考查了线段、平行线、垂线的画法，以及三视图的画法，熟练掌握三视图的画法是解答本题的关键．
22．（1）32
； （2）几何体的体积是60.
【分析】
（1）化简各项的三角函数，再把各项相加；
（2）原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体，由此可求几何体的体积．
【详解】
（1）原式=212(22⨯
- =1112-
+ =32
（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体． ∴444114V =⨯⨯-⨯⨯=60
∴几何体的体积是60．
【点睛】
本题考查了三角函数的混合运算以及几何体的体积问题，掌握特殊三角函数的值以及几何体的体积计算方法是解题的关键．
23．（1）15°；（2）2+
【分析】
（1）首先证明DA ＝DB ，再证明∠ADC ＝30°即可解决问题．
（2）设AC ＝a ，则AD ＝BD ＝2a ，CD =，BC ＝2a ，推出tan ∠BAC BC AC =即可解决问题．
【详解】
（1）连接AD ．
∵DE 垂直平分线段AB ，
∴DA ＝DB ，
∴∠B ＝∠DAB ，
∵BD ＝2AC ，
∴AD ＝2AC ，
∵∠C ＝90°，
∴∠ADC ＝30°，
∵∠ADC ＝∠DAB +∠B ，
∴∠B ＝15°．
（2）设AC ＝a ，则AD ＝BD ＝2a ，
根据勾股定理得CD ===，
∴BC ＝BD +CD =2a
，
∴tan ∠BAC 23BC a a AC a
+===23+．
【点睛】
本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线、三角形外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用线段的垂直平分线定理解决问题．
24．（1）②；④；（2）12±
；（3）y ＝﹣x 23x ﹣24． 【分析】
（1）根据题意先求出这两个抛物线的顶点及与x 轴的交点坐标，然后进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点及与x 轴的交点坐标，然后根据题意列方程求解即可； （3）如图，过点A 作AH ⊥x 轴，交于点H ，由题意易得S △ABE ＝
14ABCD S 矩形＝143332＝3A （3，3），E （3，0），B （30），然后利用待定系数法求解即可． 【详解】
解：（1）由抛物线y ＝x 2﹣3可得顶点坐标为：)
3,3-，与x 轴的交点坐标为：()()
0,0,23,0， ∴抛物线y ＝x 2﹣3对应的“特征轴三角形”是等边三角形；
由抛物线y ＝
12x 2﹣2可得顶点坐标为：()0,2-，与x 轴的交点坐标为：()()2,0,2,0-， ∴抛物线y ＝12
x 2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形； 故答案为②；④；
（2）设抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，
∴A （﹣3，0），B （1，0），D （﹣1，﹣4a ），
∵抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，
∴AB 2＝AD 2+BD 2，
∴16＝4+16a 2+4+16a 2，
∴a ＝12
±
； （3）如图，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AE ＝CE ＝OE ＝BE ，
∴S △ABE ＝14
ABCD S 矩形＝143＝3 ∵△ABE 是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE ＝AB ，
∴AE ＝AB ＝BE ，
∴△ABE 是等边三角形，
过点A 作AH ⊥BE ，
∴AH ＝AB sin ∠ABE 33， ∴32＝3 ∴BE ＝3
∴AH ＝3，EH 3
∴A （33），E （3，0），B （30），
设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣3）2+3，将点E （30）代入得，a ＝﹣1， ∴y ＝﹣（x ﹣32+3＝﹣x 23﹣24．
∴过点A ，B ，E 三点的抛物线的解析式y ＝﹣x 23x ﹣24．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合及三角函数，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．
25．（1）反比例函数的解析式为6y x
=-，一次函数的解析式为1y x =--；（2）x ＜-3或0＜x ＜2；（3）703⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 【分析】
（1）由正方形OABC 的顶点C 坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据
2AD AM ==，求出AD 的长，确定出D 坐标，代入反比例解析式求出m 的值，再由2AD AM ==，确定出MO 的长，即M 坐标，将M 与D 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）联立方程组求得一次函数与反比例函数的交点坐标，然后结合函数图像确定使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围；
（3）设P （0，y ），根据四边形OMDP 的面积与四边形OMNC 的面积相等，列方程求出y 的值，确定出P 坐标即可．
【详解】
解：（1）∵正方形OABC 的顶点C （0，3），
∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，
∵2AD AM ==
∴D （-3,2），M （-1,0）
把D （-3,2）代入反比例函数m y x =中，23
m =-，解得m=-6 把D （-3,2），M （-1,0）代入一次函数y kx b =+中
320k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩
∴反比例函数的解析式为6y x
=-，一次函数的解析式为1y x =-- （2）联立方程组61
y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得1132x y =-⎧⎨=⎩，222-3x y =⎧⎨=⎩ ∴使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围为x ＜-3或0＜x ＜2
（3）连接MN ，DP ，OD
由题意可得N （-2,3） ∴119()(12)3222OMNC S OM NC OC =
+=+⨯=四边形 1131231222
OMD OPD OMDP S S S y y =+=⨯⨯+⨯=+△△四边形 由题意，391=22y +
，解得7=3y ∴P 点坐标为703⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．
【分析】
（1）延长DE交CF于点G，根据直角三角形的性质解答即可；
（2）①根据题意可先证明△EMC∽△FMB，利用其结论DE AE
EG CE
=结合∠EMF＝∠BMC，
即可证得结论；
②由①可得结论∠EFC＝∠EBC，且由题意可推出∠EFD＝∠EDF，∠ECB＝∠EAB，从而证明结论即可．
【详解】
（1）延长DE交CF于G点，如图①：
∵AD∥CF，且点E为AC中点，
∴DE AE
EG CE
=，
∴DE＝EG，
∵AD⊥BD，
∴CF⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∴EF＝1
2
DG=DE；
（2）①如图②，
∵AB＝BC，E为AC中点，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CEM＝∠BFM，
∵∠EMC＝∠FMB，
∴△EMC∽△FMB，
∴EM CM
，
FM BM
∵∠EMF＝∠BMC，
∴△EFM∽△CBM，
②∵△EFM∽△CBM，
∴∠EFC＝∠EBC，
∵∠ECB+∠EBC＝∠EFC+∠DFE＝90°，
∴∠EFD＝∠ECB，
由（1）可知ED＝EF，
∴∠EFD＝∠EDF，
∵BA＝BC，
∴∠ECB＝∠EAB，
∴△DEF∽△ABC．
【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定并性质以及直角三角形的性质是解题关键．。