陕西省西安市育才中学2019年高三数学文模拟试卷含解析

陕西省西安市育才中学2019年高三数学文模拟试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 三视图如右图的几何体的全面积是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
略
2. 已知，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
由.
试题立意：本小题考查同角三角函数关系，二倍角公式等基础知识；考查运算求解能力.
3. 已知点P为双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右
焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r表示出等式中的
三角形的面积，解此等式求出λ．
【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
S△IPF1 =|PF1|?r，S△IPF2=|PF2|?r，S△IF1F2=?2c?r=cr，
由题意得： |PF1|?r=|PF2|?r+λcr，
故λ==，
∵|F1F2|=，
∴=
∴
∴=
故选D．
4. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于
两点，；则的实轴长为（）
参考答案：
C
5. 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
判断函数的单调性和奇偶性：为增函数；和为偶函数；排除选项得到答案.
【详解】A. ，函数在[－1,1]单调递增，排除；
B. ，函数为偶函数，排除；
C. ，函数为奇函数，且单调递减，正确；
D. ，函数为偶函数，排除.
故选：C
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的掌握情况.
6. .用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
参考答案：
B
【分析】
就个位数是否为0分类讨论即可.
【详解】解：若个位数是0，则有种，
若个位数不是0，则有种，
则共有种，
故选：B．
【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．
7. 复数的虚部是（）
A．i B．1 C．－i D．－1
参考答案：
D
∵复数z====﹣i，
∴z的虚部是﹣1．
故选：D．
8. 设等比数列的前项和为，若,,，则
（）
A.B.C. D.
参考答案：
C
略
9. 已知函数的图象的一条对称轴是直线，则函数
的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
10. 不等式组的解集记为, 若, 则的最小值是
(A) (B) (C)
(D)
参考答案：
A
画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC为所示，当过A（－2,0）时
取得最上值为－4
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=x﹣3+sinx+1．若f（a）=3，则f（﹣a）= ．
参考答案：
﹣1
【考点】3T：函数的值．
【分析】化简可得f（x）﹣1=x﹣3+sinx是奇函数，从而解得．
【解答】解：∵f（x）﹣1=x﹣3+sinx是奇函数，
又∵f（a）﹣1=3﹣1=2，
∴f（﹣a）﹣1=﹣2，
∴f（﹣a）=﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查原函数构造了奇函数f（x）﹣1，从而利用函数的奇偶性求解．12. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为___________
参考答案：
1.4
13. 设实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________.
参考答案：
9
14. 某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的值为
参考答案：
7
略
15. 若直线被圆截得的弦长为4则
的最小值是 .
参考答案：
4
16. 已知,且,则的值为________.
参考答案：
17. 已知，，，.根据以上等式，可猜想出的一般结论是；
参考答案：
，
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数ξ的分布列与期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量及其分布列；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可．
（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．【解答】解：设A k表示甲种大树成活k株，k=0，1，2
B l表示乙种大树成活1株，1=0，1，2
则A k，B l独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P（A k）=C2k（）k（）2﹣k，P（B l）=C21（）l（）2﹣l．
据此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=．
P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=．
（1）所求概率为P（A1?B1）=P（A1）?P（B1）=×=．
（2）解法一：ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A0?B0）=P（A0）?P（B0）=×=，
P（ξ=1）=P（A0?B1）+P（A1?B0）=×+×=，
P（ξ=2）=P（A0?B2）+P（A1?B1）+P（A2?B0）=×+×+×=，
P（ξ=3）=P（A1?B2）+P（A2?B1）=×+×=．
P（ξ=4）=P（A2?B2）=×=．
综上知ξ有分布列
从而，ξ的期望为
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ1，ξ2分别表示甲乙两种树成活的株数，则
ξ1：B（2，），ξ2：B（2，）
故有Eξ1=2×=，Eξ2=2×=1
从而知Eξ=Eξ1+Eξ2=．
19. 设函数.
（Ⅰ）求的最小值及取得最小值时的取值范围；
（Ⅱ）若集合求实数的取值范围。

参考答案：
（1）的最小值为3，此时.
（2）
当集合
即恒成立时，由数形结合可得.
20. 如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点。

（I）求证：；（II）求证：平面CDB；
参考答案：
21. 如图，设椭圆C1： +=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F
重合，且椭圆C1的离心率是．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．
（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立
得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=，同理得
|CF|=?．△ABC面积
s=|AB|?|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．
【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x 的焦点F重合，∴a=2，
又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，?b=1，∴椭圆C1的标准方程：．
（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立得y2﹣8my﹣16=0．
y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|==8（1+m2）．
过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）
联立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，
x C+2=，?x C=．
∴|CF|=?．
△ABC面积s=|AB|?|CF|=．
令，则s=f（t）=，f′（t）=，
令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．
即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．
【点评】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．22. （本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）∵，∴且．
又∵，
∴．∴在点处的切线方程为：
，即．……… 4分
（Ⅱ）
（i）当，即时，由在上是增函数，在上是减函数，∴当时，取得最大值，即．
又当时，，当时，，
当时，，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，
又因为，所以．………………8分
（ii）当，即时，在上是增函数，
∴在上的最大值为，
∴原问题等价于，解得，又∵∴无解
综上，的取值范围是．……………… 12分。