第3章插值与拟合
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多项式，但高次插值多项式存在着不可控制的数值震荡现象， 在实际问题建模中一般不推荐使用。
分段低次多项式插值方法：
在实际问题观测中，一般会得到很多个观测点的 观测结果，采用插值方法近似时，一般采取分段 插值的方法。基本思想是： （1）把插值区间划分成若干个小区间； （2）在每一小区间上用低次多项式进行插值； （3）在整个插值区间上就得到一个分段插值函数.
的形式，其中c 为待定系数。又由 l0 (x0 ) 1 , 代入上式得
Hale Waihona Puke c1(x0 x1 )( x0 x2 )
于是，可得
l0
(x)
(x (x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地，可得
l1 (x)
(x ( x1
x0 x0
)( x x2 ) )( x1 x2 )
3.2 曲线拟合 3.2.1 问题提出
利用插值方法求多项式函数作为未知函数的近似时， 要求
1、所有插值节点互不相同，否则不可解； 2、近似函数曲线必须通过所有观测点。 在实际观测或实验中，一般存在以下问题 1、为了得到更加准确、合理的观测结果，经常进行多 次重复观测，插值节点互不相同的要求已不成立； 2、由于在观测过程中，常存在许多随机因素，如身高、 体重的测量，受测量设备精度、发型、服装、站立方式等影 响，测量结果不可避免地存在误差，甚至由于某些因素，误 差很大。因此在考虑观测误差的因素下，要求近似函数曲线 一定通过观测点已显得没有必要。 因此，只要要求近似函数在观测点上近似地满足插值 条件，并使它们的整体误差最小就可以了。
y1
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
y2
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
（3.8） 且也可以很容易地验证上式满足所要求的插值条件。
利用构造插值基函数的思想，可非常方便地给出 n 次
Lagrange插值多项式的表达式，有兴趣的同学不妨试一下。 理论上，只要给出足够多的观测点，就可以构造任意次插值
求一线性多项式 p1 (x) a0 a1x
(x0 , y0 )
和
(x1, y1 ),
使其通过这两个观测点，即 p1(x0 ) y0 , p1(x1 ) y1 。显然p1 (x) 是平面上的一条直线，其表达式可采用两点式或点斜式直接
给 当出然，，即也可p以1(x利) 用 代y0数方yx11程组xy的00 (方x 法x求0 )出待定参（数3a.40）, a1 .
求一个次数不超过2次的多项式 p2 (x) ，使其满足插值条件：
p2 (xi ) yi , i 0,1,2
受Lagrange 线性插值构造思想启发，我们类似地构造对应于插
值节点 x0 , x1, x2 的二次插值基函数 l0 (x), l1(x), l2 (x) ，使其满足
l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0, l0 (x2 ) 0 l1 (x0 ) 0, l1 (x1 ) 1, l1 (x2 ) 0
使其通过这三个观测点。求解方法与线性插值完全类似，此处
不再累述。二次插值又称抛物型插值。
n 次插值多项式：当 n 大于或等于2时，采用上述方法无法直 接给出多项式的表达式，需要求解线性方程组。对 n次插值多 项式的确定，由于多项式中含有 n +1 个待定系数，通常需要 给定 n +1个互不相同的观测点，由此可建立 n +1元线性方程
由插值条件aa，00p1(x)aa通11 xx过10这两个yy1观0 测点，故有
解此线性方程组，可采用消元法，也可以采用矩阵方法直接
求解. 详见3.1.3.
二次插值：给定三个互不相同的观测点，(x0 , y0 ) , (x1, y1 ) 和 (，x2 y2 )
求一个次数不超过2次的多项式 p2 (x) a0 a1x a2 x 2
11.5 11 12 11
2.4849
2.4414
即y x11.5 的近似估计值为2.4414.
例2 已知观测数据如表3-3所示
试用二次插值方法求 x 2 处的插值.
解： 取包含 x 2 的三个观测点x0 1.9, x1 2.5, x2 3.1
作为插值节点，作二次插值，并令 x 2 ,由(3.8)式，可得
l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0 l1(x0 ) 0,l1 (x1 ) 1 称 l0 (x), l1 (x)为分别对
应于插值节点 x0 , x1 的Lagrange线性插值基函数。
抛物型插值：给定三个互不相同的观测点，(x0 , y0 ) , (x1, y1 )和(x2 , y2，)
pn (x) a0 a1x an x n
使其在插值节点上，满足
（3.2）
则p此n (类x插i ) 值 问yi题, i称为0,1代,2数,插n值. 问题（，3称.3）pn (x) 为 n 次插值
多项式。
3.1.2 插值多项式的求法
1 一般方法
线性插值：给定两个互不相同的观测点
假定给出 n 1 个互不相同的观测点(xi , yi ), i 0,1,2,, n , 不妨设 x0 x1 xn
分段线性插值：把相邻两个插值节点作为一个插值子
区间 [xi , xi1], i 0,1,2,, n 1 , 则插值区间被划分为 n 个 子区间，连接相邻两点 (xi , yi ), (xi1, yi1) 得n条线段, 这
插值多项式，表达式为
P(x)
(x (x2i
x2i1)( x x2i2 ) x2i1)( x2i x2i2
)
y2i
(x ( x 2i 1
x2i x2i
)(x x2i2 ) )( x2i1 x2i2 )
y2i1
(x (x2i2
x2i x2i
)(x x2i1) )( x2i2 x2i1)
322基本概念给定函数未知在观测点观测值寻求一近似函数拟合曲使在所有观测点上观测值与近似函数的计算值之间的误差总体上尽可能接近零即要求尽可能反映给定数据点的总体趋势这就是函数逼近法也称为曲线拟合法称为逼近函数或拟合函数曲线称为拟合曲线
第3章 插值与拟合方法 随着社会的进步和收入水平的提高，汽车进入
家庭已不再是奢望。但伴随而来的就是交通安全。 “珍爱生命，安全出行”，并不仅仅是个口号， 它关系到每个驾驶员的安全，也关系到每个驾驶 员所在家庭的幸福和安定。驾驶时，车速过快、 与前车距离过近，以致来不及刹车或制动距离不 足，是造成绝大部分交通事故的主要原因。
yi1 ,
x [xi , xi1 ]
分段二次插值：若 n 2m, 把相邻三个插值节点组成一个插值
i 子区间
分为 m
[个x2子i , x区2i间2 ],。i 在0第,1,个, m子，1区则间整上个[x插2i 值, x区2i间2 ]，[a共, b有]三被个划
插值节点 (x2i , y2i ), (x2i1, y2i1 ), (x2i2 , y2i2 ) ，P(x) 为一二次
x0 y0
(x x0 ) y1
x x0 x1 x0
y1
1 (x x1 x0
（3.6）
x0 )
则线性插值多项式可重写为 p1(x) y0l0 (x) y1l1(x) （3.7） 注意到l0 (x), l1 (x) 都是线性多项式，二者的线性组合仍然至
多是线性多项式。可以验证，由（3.7）定义的线性插值多项 式一定满足插值条件，即 p1 (x0 ) y0 , p1 (x1 ) y1 。且有
些线段组成一条折线, 这条折线就是我们构造的分段 线性插值函数，记为 P(x) ，它具有如下特点。
（1）在整个插值区间上，P(x) 连续 ,但在插值节点 上不可导；
（2）在第 i 个子区间 [xi , xi1] 上，P(x) 的表达式为
P(x)
x xi1 xi xi1
yi
x xi xi1 xi
y
f (x（) 通常为
未知）在给定的 n 1个互不相同的观测点 x0, x1,, xn
上希的望函寻数 求值 某（ 一通 近常 似为 函实数验(或x)观, 使测满值足）y0 , y1,, yn ，
(xi ) f (xi ) yi , i 0,1,2,, n
（3.1）
则我们称此类问题为插值问题，近似函数 ( x)称为插
组，如下式：
a0 a0
a1x0 a1x1
a2 x02 a2 x12
a0 a1xn a2 xn2
an x0n y0 an x1n y1
an xnn yn
（3.5）
直接解此线性方程组，通常比较麻烦，可通过数学软件(如
Matlab)求解。
(2 2.5)(2 3.1)
(2 1.9)(2 3.1)
(2 1.9)(2 2.5)
p2(2) (1.9 2.5)(1.9 3.1) 2.0 (2.5 1.9)(2.5 3.1) 1.3 (3.11.9)(3.1 2.5) 0.5
=1.8903
值函数，观测点称为插值节点，式（3.1）称为插值条
件，若令 a m0iinn{xi},b m0iaxn{xi} , 则[a,b]称为插值区间。
若(x) 已找到，则在任一点 x （ x [a,b]） 上的函
数值 f (x) 就可以由其插值函数 (x)近似估计。
那么应该如何构造插值函数呢？从中学的解析几何知识，我
3.1.3 Lagrange多项式插值方法
线性插值：任给两个互不相同的观测点，求一个线性次多项
式，使其满足插值条件。线性插值多项式可直接给出，如(3.4)
式，但为了引出Lagrange插值多项式的构造思想，我们把它
p重 合 令1 (x新并) l组前0 (yx合两0) 项 yxx，x110整xyxx理0101 (后x 得x0lp1)1((xx)y)0xxx1xy00xxx0x10x111
显然，实际观测没有针对这两个点的观测结果，
这就需要我们根据已有的观测数据进行估算。进一 步地，若要估算车速在区间[20,80]（英里/小时）内 任意一点的反应距离、制动距离和刹车距离，应如 何估算。
处理此类问题，插值方法与数据拟合方法是两 类常见的建模方法
3.1 插值法
3.1.1 问题的提出 插值问题的一般描述：若已知函数
们知道：给定平面上两个互不相同的点可以确定一条直线，
给定三个互不相同的点可以确定一条抛物线多项式，依此类
推。这启示我们用多项式作为插值函数是一个很好的选择。
事实上，多项式插值由于其易求导、求积分和足够的光滑性，
在很多领域都有广泛的应用。
设(xi , yi )(i 0,1,2,, n) 是 n 1个互不相同的观测点，要求一 个次数不超过 n 的代数多项式
统计上，刹车距离由反应距离和制动距离两 部分组成，即 刹车距离为反应距离与制动距离之
和。前者指从司机发现问题决定刹车到制动器开 始起作用汽车行驶的距离，后者指从制动器开始 起作用到汽车完全停止行驶的距离.
为了了解刹车距离与车速的关系，美国交通部门进行了一系 列刹车实验，实验结果见表3-1所示。
问若车速分别为37、72英里/小时(分别约 60、115 Km/h)， 问刹车距离是多少？保持多大车距才是安全的？
l2
(x)
(x (x2
x0 x0
)( x x1 ) )( x2 x1 )
进而，Lagrange二次插值（抛物型）多项式可表述为
p2 (x) y0l0 (x) y1l1 (x) y2l2 (x)
y0
(x (x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
y2i2 ,
例1 已知某函数的函数表如下：
用线性插值法估算
y x11.5
的近似值.
解：由于 x 11.5在插值节点 x0 11, x1 12之间，
故依此二点构造Lagrange线性插值多项式，并代
入 x 11.5 得
p1
(11.5)
11.5 12 11 12
2.3979
l2 (x0 ) 0, l2 (x1 ) 0, l2 (x2 ) 1
首先确定l0 (x,) 由于是二次多项式，且l0 (x1 ) 0,l0 (x2 ) 0 ,则易知 x1, x2
是二次多项式 l0 (x) 的根，因此其表达式一定可写为
l0 (x) c(x x1 )( x x2 )
分段低次多项式插值方法：
在实际问题观测中，一般会得到很多个观测点的 观测结果，采用插值方法近似时，一般采取分段 插值的方法。基本思想是： （1）把插值区间划分成若干个小区间； （2）在每一小区间上用低次多项式进行插值； （3）在整个插值区间上就得到一个分段插值函数.
的形式，其中c 为待定系数。又由 l0 (x0 ) 1 , 代入上式得
Hale Waihona Puke c1(x0 x1 )( x0 x2 )
于是，可得
l0
(x)
(x (x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地，可得
l1 (x)
(x ( x1
x0 x0
)( x x2 ) )( x1 x2 )
3.2 曲线拟合 3.2.1 问题提出
利用插值方法求多项式函数作为未知函数的近似时， 要求
1、所有插值节点互不相同，否则不可解； 2、近似函数曲线必须通过所有观测点。 在实际观测或实验中，一般存在以下问题 1、为了得到更加准确、合理的观测结果，经常进行多 次重复观测，插值节点互不相同的要求已不成立； 2、由于在观测过程中，常存在许多随机因素，如身高、 体重的测量，受测量设备精度、发型、服装、站立方式等影 响，测量结果不可避免地存在误差，甚至由于某些因素，误 差很大。因此在考虑观测误差的因素下，要求近似函数曲线 一定通过观测点已显得没有必要。 因此，只要要求近似函数在观测点上近似地满足插值 条件，并使它们的整体误差最小就可以了。
y1
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
y2
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
（3.8） 且也可以很容易地验证上式满足所要求的插值条件。
利用构造插值基函数的思想，可非常方便地给出 n 次
Lagrange插值多项式的表达式，有兴趣的同学不妨试一下。 理论上，只要给出足够多的观测点，就可以构造任意次插值
求一线性多项式 p1 (x) a0 a1x
(x0 , y0 )
和
(x1, y1 ),
使其通过这两个观测点，即 p1(x0 ) y0 , p1(x1 ) y1 。显然p1 (x) 是平面上的一条直线，其表达式可采用两点式或点斜式直接
给 当出然，，即也可p以1(x利) 用 代y0数方yx11程组xy的00 (方x 法x求0 )出待定参（数3a.40）, a1 .
求一个次数不超过2次的多项式 p2 (x) ，使其满足插值条件：
p2 (xi ) yi , i 0,1,2
受Lagrange 线性插值构造思想启发，我们类似地构造对应于插
值节点 x0 , x1, x2 的二次插值基函数 l0 (x), l1(x), l2 (x) ，使其满足
l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0, l0 (x2 ) 0 l1 (x0 ) 0, l1 (x1 ) 1, l1 (x2 ) 0
使其通过这三个观测点。求解方法与线性插值完全类似，此处
不再累述。二次插值又称抛物型插值。
n 次插值多项式：当 n 大于或等于2时，采用上述方法无法直 接给出多项式的表达式，需要求解线性方程组。对 n次插值多 项式的确定，由于多项式中含有 n +1 个待定系数，通常需要 给定 n +1个互不相同的观测点，由此可建立 n +1元线性方程
由插值条件aa，00p1(x)aa通11 xx过10这两个yy1观0 测点，故有
解此线性方程组，可采用消元法，也可以采用矩阵方法直接
求解. 详见3.1.3.
二次插值：给定三个互不相同的观测点，(x0 , y0 ) , (x1, y1 ) 和 (，x2 y2 )
求一个次数不超过2次的多项式 p2 (x) a0 a1x a2 x 2
11.5 11 12 11
2.4849
2.4414
即y x11.5 的近似估计值为2.4414.
例2 已知观测数据如表3-3所示
试用二次插值方法求 x 2 处的插值.
解： 取包含 x 2 的三个观测点x0 1.9, x1 2.5, x2 3.1
作为插值节点，作二次插值，并令 x 2 ,由(3.8)式，可得
l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0 l1(x0 ) 0,l1 (x1 ) 1 称 l0 (x), l1 (x)为分别对
应于插值节点 x0 , x1 的Lagrange线性插值基函数。
抛物型插值：给定三个互不相同的观测点，(x0 , y0 ) , (x1, y1 )和(x2 , y2，)
pn (x) a0 a1x an x n
使其在插值节点上，满足
（3.2）
则p此n (类x插i ) 值 问yi题, i称为0,1代,2数,插n值. 问题（，3称.3）pn (x) 为 n 次插值
多项式。
3.1.2 插值多项式的求法
1 一般方法
线性插值：给定两个互不相同的观测点
假定给出 n 1 个互不相同的观测点(xi , yi ), i 0,1,2,, n , 不妨设 x0 x1 xn
分段线性插值：把相邻两个插值节点作为一个插值子
区间 [xi , xi1], i 0,1,2,, n 1 , 则插值区间被划分为 n 个 子区间，连接相邻两点 (xi , yi ), (xi1, yi1) 得n条线段, 这
插值多项式，表达式为
P(x)
(x (x2i
x2i1)( x x2i2 ) x2i1)( x2i x2i2
)
y2i
(x ( x 2i 1
x2i x2i
)(x x2i2 ) )( x2i1 x2i2 )
y2i1
(x (x2i2
x2i x2i
)(x x2i1) )( x2i2 x2i1)
322基本概念给定函数未知在观测点观测值寻求一近似函数拟合曲使在所有观测点上观测值与近似函数的计算值之间的误差总体上尽可能接近零即要求尽可能反映给定数据点的总体趋势这就是函数逼近法也称为曲线拟合法称为逼近函数或拟合函数曲线称为拟合曲线
第3章 插值与拟合方法 随着社会的进步和收入水平的提高，汽车进入
家庭已不再是奢望。但伴随而来的就是交通安全。 “珍爱生命，安全出行”，并不仅仅是个口号， 它关系到每个驾驶员的安全，也关系到每个驾驶 员所在家庭的幸福和安定。驾驶时，车速过快、 与前车距离过近，以致来不及刹车或制动距离不 足，是造成绝大部分交通事故的主要原因。
yi1 ,
x [xi , xi1 ]
分段二次插值：若 n 2m, 把相邻三个插值节点组成一个插值
i 子区间
分为 m
[个x2子i , x区2i间2 ],。i 在0第,1,个, m子，1区则间整上个[x插2i 值, x区2i间2 ]，[a共, b有]三被个划
插值节点 (x2i , y2i ), (x2i1, y2i1 ), (x2i2 , y2i2 ) ，P(x) 为一二次
x0 y0
(x x0 ) y1
x x0 x1 x0
y1
1 (x x1 x0
（3.6）
x0 )
则线性插值多项式可重写为 p1(x) y0l0 (x) y1l1(x) （3.7） 注意到l0 (x), l1 (x) 都是线性多项式，二者的线性组合仍然至
多是线性多项式。可以验证，由（3.7）定义的线性插值多项 式一定满足插值条件，即 p1 (x0 ) y0 , p1 (x1 ) y1 。且有
些线段组成一条折线, 这条折线就是我们构造的分段 线性插值函数，记为 P(x) ，它具有如下特点。
（1）在整个插值区间上，P(x) 连续 ,但在插值节点 上不可导；
（2）在第 i 个子区间 [xi , xi1] 上，P(x) 的表达式为
P(x)
x xi1 xi xi1
yi
x xi xi1 xi
y
f (x（) 通常为
未知）在给定的 n 1个互不相同的观测点 x0, x1,, xn
上希的望函寻数 求值 某（ 一通 近常 似为 函实数验(或x)观, 使测满值足）y0 , y1,, yn ，
(xi ) f (xi ) yi , i 0,1,2,, n
（3.1）
则我们称此类问题为插值问题，近似函数 ( x)称为插
组，如下式：
a0 a0
a1x0 a1x1
a2 x02 a2 x12
a0 a1xn a2 xn2
an x0n y0 an x1n y1
an xnn yn
（3.5）
直接解此线性方程组，通常比较麻烦，可通过数学软件(如
Matlab)求解。
(2 2.5)(2 3.1)
(2 1.9)(2 3.1)
(2 1.9)(2 2.5)
p2(2) (1.9 2.5)(1.9 3.1) 2.0 (2.5 1.9)(2.5 3.1) 1.3 (3.11.9)(3.1 2.5) 0.5
=1.8903
值函数，观测点称为插值节点，式（3.1）称为插值条
件，若令 a m0iinn{xi},b m0iaxn{xi} , 则[a,b]称为插值区间。
若(x) 已找到，则在任一点 x （ x [a,b]） 上的函
数值 f (x) 就可以由其插值函数 (x)近似估计。
那么应该如何构造插值函数呢？从中学的解析几何知识，我
3.1.3 Lagrange多项式插值方法
线性插值：任给两个互不相同的观测点，求一个线性次多项
式，使其满足插值条件。线性插值多项式可直接给出，如(3.4)
式，但为了引出Lagrange插值多项式的构造思想，我们把它
p重 合 令1 (x新并) l组前0 (yx合两0) 项 yxx，x110整xyxx理0101 (后x 得x0lp1)1((xx)y)0xxx1xy00xxx0x10x111
显然，实际观测没有针对这两个点的观测结果，
这就需要我们根据已有的观测数据进行估算。进一 步地，若要估算车速在区间[20,80]（英里/小时）内 任意一点的反应距离、制动距离和刹车距离，应如 何估算。
处理此类问题，插值方法与数据拟合方法是两 类常见的建模方法
3.1 插值法
3.1.1 问题的提出 插值问题的一般描述：若已知函数
们知道：给定平面上两个互不相同的点可以确定一条直线，
给定三个互不相同的点可以确定一条抛物线多项式，依此类
推。这启示我们用多项式作为插值函数是一个很好的选择。
事实上，多项式插值由于其易求导、求积分和足够的光滑性，
在很多领域都有广泛的应用。
设(xi , yi )(i 0,1,2,, n) 是 n 1个互不相同的观测点，要求一 个次数不超过 n 的代数多项式
统计上，刹车距离由反应距离和制动距离两 部分组成，即 刹车距离为反应距离与制动距离之
和。前者指从司机发现问题决定刹车到制动器开 始起作用汽车行驶的距离，后者指从制动器开始 起作用到汽车完全停止行驶的距离.
为了了解刹车距离与车速的关系，美国交通部门进行了一系 列刹车实验，实验结果见表3-1所示。
问若车速分别为37、72英里/小时(分别约 60、115 Km/h)， 问刹车距离是多少？保持多大车距才是安全的？
l2
(x)
(x (x2
x0 x0
)( x x1 ) )( x2 x1 )
进而，Lagrange二次插值（抛物型）多项式可表述为
p2 (x) y0l0 (x) y1l1 (x) y2l2 (x)
y0
(x (x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
y2i2 ,
例1 已知某函数的函数表如下：
用线性插值法估算
y x11.5
的近似值.
解：由于 x 11.5在插值节点 x0 11, x1 12之间，
故依此二点构造Lagrange线性插值多项式，并代
入 x 11.5 得
p1
(11.5)
11.5 12 11 12
2.3979
l2 (x0 ) 0, l2 (x1 ) 0, l2 (x2 ) 1
首先确定l0 (x,) 由于是二次多项式，且l0 (x1 ) 0,l0 (x2 ) 0 ,则易知 x1, x2
是二次多项式 l0 (x) 的根，因此其表达式一定可写为
l0 (x) c(x x1 )( x x2 )