湖北省武汉市武昌区2020届高三数学调研考试文新人教A版

武昌区2021届高三5月调研考试
文科数学试卷
本试卷共150分，考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
考前须知：
1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回．
2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指
定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．
3．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．
4．非选择题的作答：用毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在指定区域外无效．
参考公
式：
如果事件
互
斥，那么
P
(A
B)P(A
)
P
(B)
．A
如果事件
相互独
立，那么
PAB
P
A
P
B
．A
台体的体
积公式V 1
(
〕h，
其中S
下
分别是台体
的上、下S
上
S上
S下
S
下
3
S
底面面积，h是台体的高．
球的外表
积公式S 4
R
2，球的体
积公式V4
R3，其中R表示球的半
径．
3
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．
1.i是虚数单位，复
数z
2
i2
，
那么z〔〕
开
始i1i
A
.1 B.2
C
.5
D
.
2
2
1
2.a,b为实数，“ab
100〞是
“lga
lgb2〞的
〔〕
3
A.充分而不必
要条件.
必要而不充分条件
C.充分必要条件
D
.
既不充分也不必
要条件是
S10
0?
3．程序框图如右，那么
输出的为否
A．7B．8C．9
D．1
输
出i
S=S
﹡i
结束i i 2
A.
B.
C.4．一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是
厘米，那么
D.该几何体的体积是〔〕
E.12
28
3
36
84
正视图侧视图
4
2
2 4
俯
视图
x y3
5.O为坐标原点，点
A的
坐标是
2,3，点Px,y在不等式组
2x y
6所确
定的区
x
2
y6
域内〔包括边界〕上运动，那么OAOP的范围是〔〕
A.4,10
B. 6,9
C. 6,10
D. 9,10
6.设函数fx sinx cosx，函数hx fxf/x，以下说法正确的选项是
A.yhx在0,单调递增，其图像关于直线x 对称
24
B.yhx在0,
单调递增，其图像关于直线
x
对
称
22
C.yhx在0,
D.yhx在0,
7.E、F分别
棱BB1、AD的中点，那么直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是〔〕
D1
A .2316
B.
6
C
.
D
.
6361
A
〔〕
C
B
E
C1
B1
8．如果方程
x
2y2
1表示双曲线，那么以下椭圆中，与该双曲
线共焦点的是〔〕p q
x
22
1
B
.
x
2y2
A.
p q
2
q
1
2q p x
22
1
D
.
x
2y2
C.
q q
2
p
1
2p p
9.如图，直角三角形
ABC的三边
CB,BA,AC
的长度成等差数
列，点
E为直角边
AB
的中点，点D在斜边AC上，且AD
AC，假
设CE
BD，
那么
A.
7
B
.
89
D
.
1
1
7
C.
1
7
1
7
1
7
D
10.点P在半径为1的半圆周上
沿着A P
B路径运
动，设弧
⌒
的长度为x，
弓形面
A
P
积为fx
〔如下图的阴影局部〕，那么
关于函数
x的有如下结
论：
①函的定义域和值0
；P
数y域都是,
②如果函数y
f
x
的定义域R，那
么函数y
是周期函
数；
B A
O
③如果函数y
fx的定义域R，那
么函数y
是奇函
数；
④函数y
在区
间0,
上是单调递增
函数.
以上结论的正确个
数是〔〕
二、填空题：
本大题共7小题，
每题5分，
共35
分．请将答案填在答题卡对应题号的
位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时
间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的
睡眠
时间为
_______________h．
频率
67时间∕h
1 2.等比数列{a n}
中，a1
2
,a4
16.假设a3,a5分别为等差数列{b n}的第4
项和第
16
项，那么
数列{b n}的前n项和
S n=.
1 3.在
圆x2
y
2
4上，与
直线
l
:4x
3y
12
0的距离最小
值是.
1
4.集合A
x2x
3
1
,x
R，集
合B
xa
x22x0,x R，AC U B，
那么实数a
的范围是.
15.如果复数z
c
os
isin
，
,，记nnN
个z的积为z n，通
过验证
2
n2,n3,n
4
,
，的结果z n，推
测z n.〔结果用,n,i表示〕
16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，
且最大角是最小角
的两倍，
该
三角形
的周长
是．
17.x,a
R,a1，直线
y
x与函数
fx
log a x有且仅有一个公
共点，
那么a；公共点坐标是.
1
标是e,e，所以两空分别填a e e，e,e.
三、解答题：本大题共 6小题，共 75分． 解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
〔此题总分值12分〕〔课本必修4第60页例1改编〕
武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数
yAsinx
b 〔如下图，单
位:
摄氏温度,A0, 0
,0
〕.
〔Ⅰ〕写出这段曲线的函数解析式；
T/℃
〔Ⅱ〕求出一天〔t
0,24 ，单位小时〕
温度的变化在20,25
时的时间. 30
10 O
6
14
t/h
〔此题总分值12分〕
某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一
名研究人员，是本科生概率是
2，
是
1
.
3
本科〔单位：名〕研究生〔单
位：名〕
35岁以下的研究生
概率是
35岁
以下3y
6
〔Ⅰ〕求出表格中的x和y的值；
35—
50岁32
〔Ⅱ〕设“从数学教研组任选两名
50岁
以上x0
教师，本科一名，研究生一名，5 0
岁以上本科生和35岁以下的研
究
生不全选中〞的事件为A，求事件A概率PA.
20. 〔本小题总分值13分〕平面PAD 平面ABCD,PA PD 2,矩形ABCD的边
长ABDC2
，ADBC22.
〔Ⅰ〕证明：直线
AD//平面PBC ；
〔Ⅱ〕求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小.
D C
A B
21.〔此题总分值14分〕
函数f(x)ax 3
b
x 2
3x(a,bR)，在点(1,f(1))处的切线方程为y
20
．
〔1〕求函数f(x)的解析式；
〔2〕假设对于区间[2,2]上任意两个自变量的值
x 1,x 2，都有|f(x 1)
f(x 2)| c ，求实
数c 的最小值；
m 的取值范围．
〔3〕假设过点M(2,m)(m2)
，可作曲线y f(x)的三条切线，求实数
〔本小题总分值14分〕
椭圆C:x2
y
2
1(ab0)的离心率
为
1，点
M(2,3)，
a2
b
22
N(2,3)为C上两点，斜率为
1的直线与椭圆C交于点A，B〔A，B 在
直线MN两
侧〕．
2
〔I〕求四边形MANB面积的最大值；
〔II〕设直线AM，BM的斜率为k1,k2，试判断k1
k2是否为定值．假设
是，求出这个定值；假设不是，说明理由．
武昌区2021届高三5月调研考试
文科数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．
1.i是虚数单位，复
数z12
i2
，
那么z〔〕
2i
1 i
A. 1
B
.2
C
.5
D
.22
【答案】C.
【解析】z
12i2i21i
5
i
21
i
1
2i
，z
5应
选C.
22
i
2
1
2
i
252
【命题意图】考查复数的运算法那么和模的定义及运算.
2.a,b为实数，“ab
1
00〞是“lgalgb2〞的〔〕
A.充分而不必B必要而不
要条件.充分条件
C.充分必要条件
D
.
既不充分也不
必要条件
【答案】B.
【解析】ab
100，
lga
l
gb
2不一定成
立，例如a
5
,b
20，有
ab
10
0，
但是lgalgb2不成立；反之，
l
ga
l
gb
2，那
么a
0,b0，根据对数的运算
法那么，
lgab 2 ab 100，所以ab 100一定成立，应选 B.
【命题意图】考查对数的运算法那么，充要必要条件内容的考查.
开始
3．程序框图如右，那么输出的i为
A．7 B ．8 C ．9 D ．10
S 1
i 3
是
【答案】C.
【解析】由程序框图可得
i 3,5,7时，S 3,15,105，故输出的i为9，
应选C.
【命题意图】考查程序框图的根本内容，考查
简单的逻辑推理能力.
4．一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是〔〕
12
28
C .
3
6
3
D .
8
4
正视图侧视图
【答
案】B.
4
【解析】由图可知，该几何体是上
下底2
面试正方形，高度是3的
四棱台，
24根据台体的体积
公式
V 1hS
1
S
1S2
S2
得：
俯
视图3
V1
3
4
4
16
1
6
2
8，应选B.
3
.【命题意图】考查三视图和简单几何体的根本概念，台体的体积计
算公式和运算能力
x y3
5.O为坐标原点，点
A的坐标
是2,3
，点Px,y在不等
式组
2
x y6所确定的区
x
2
y6
域内〔包括边界〕上运动，那么
OAOP的范围
是〕
y
A .4
,10
B
.
6
,9
C
.
6,1
D
.
9
,10
【答案】C.
【解析】先求出
三条直线x y 3
,
C
〔0，3〕
B
〔2,2〕
2 x
6
,x
2
y
6的交点，交
点分别是
A
〔3,0〕
A3,0、B2,2
、
C
0,3，可
行域是O x
如下图的ABC区域〔包括边界〕，因为
OAOP2x3y，令z
2
x3y，如图平行
移动直线z 2x 3y，当直线z 2x 3y过A3,0时，z取得最小值6，当直线
z2x3y过B2,2
时，z取得
最大值
10
，6OAOP10，应选C.
【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域，
简单的线性规划问题和向量的数量积.
6.设函数fxsinx
cosx，函
数hx
f
x
f/x，以下说法正
确的选项是〔〕
A .y
h
x
在
0,
单调递增，其图像关
于直线x
对
称24
B .hx在
0,
单调递增，其图像
关于直线
对
称22
C .hx在
0,
单调递减，其图像
关于直线
对
称24
D .hx在
0,
单调递减，其图像
关于直线
对
称22
【答案】D.
【解析】解法一：h
x cosxsinxcosxsinx
cos2x.所以
f(x)
在
0,
单
调
2
递减，其图像关于直线x 对称，应选 D.
2
解法二：直接验证由选项知0, 不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端
2
点值，知递减，显然x 不会是对称轴应选 D.
4
【命题意图】此题考查三角函数图像和性质，属于中等题.
7.E、F分别是正方体AB
CD A1B1C1D1
D C
F
棱BB1、AD的中点，那么直线EF和平面BDB1D1所成
的
A B
角的正弦
值是〔〕
D1
E 2316
A.
B
.
C
. D.
6636A1
B
1
【答案】B.
【解析】[方法一]设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长
为
2，由于E、F分别是正
方体
ABCD A1B1C1D1棱BB1、AD的中点，连接BD，AE，过F作BD交BD于H，那么FH⊥BDB1D1，
因为FH 2AF1,AE 5,EF 6，直线EF和平面BDB1D1所成的
2
角的正弦值是3，应选B.
6
[方法二]建立空间直角坐标系，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，那么【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系，简单的空间直角坐标系数.
8．如果方程
x
22
〕1表示双曲线，那么以下椭圆中，与该双曲线共焦
点的是〔
q
A .22
B.
x22 p
1
2
q
2
q q p
C .22
D.
x22 q
1
2
p
2
p q p
【答
案】D
解析：由条件可知
p
q
0，那
么pq
0，当
p0,q0时，方程x2
y
2
1
为
p q
y 2x
2
，表示焦点在
y轴的双曲线，
半焦距为
pq，此时B和D选项不是
椭
q p
圆，而A和C选项中均表x轴上得椭圆，矛00时，方
1
示焦点在盾；当p,q程x22
pq
为x2
y
2
1，表示焦点在x轴的双曲线，
半焦距为
q，此时A和C选
项不
是椭圆，B 选项
x
2
y
21
为
x2
y
21，D
选项
x2
y
21
为2
q p p2qp2pq p
x 2
y
2
1均表
示焦点在
x轴上得椭
圆，只有
D选项的半焦距为
c p
q
，
2
p
因此选D．
【命题意图】考察圆锥曲线的根本概念、圆锥曲线的标准方程以及分类与整合的数学思想.
9.如图，直角三角形ABC的三边CB,BA,AC的长度成等差数列，点E为直角边AB
的中点，点D在斜边AC上，且AD AC，假设CE BD，那么
7
B
.89
1
A. C. D.A
171
7
1
7
1
7
【答
案】B.
【解析】三边CB,BA,AC的长度成等差数
列，设为E a d,a,a d a 0,d 0,a d 0，那么
d 2
a
2
d
2
B
a a
，
那么a
4d，不
妨令d1
因此三边长分别为
C
B
3
,BA
4
,AC5，
C E
1A
B
BC,B
D
B
A
A
D
B
A
A
C1
B
A
B
C.
0，即11
由CE
BD
得：CE
B
D
2
B
C
2
819
，
A
B
，
8
2
所以
，因此
选B.
1
7
【命题意图】考查向量的运算法那么，数量积和
解决问题的能力.
10.点P在半径为1的半圆周
上沿着A P
B路径运
动，设弧
⌒
的长度为x，弓形
面
A P
积为f
x〔如下图的阴影局部〕，那么关于
函数y
f
x
的有如下
结论：
①
函数y x 的定义域和
值域都是
,；P
②如果函数y
的定义域R，那
么函数y
是周期
函数；
B A
O
③如果函数y
的定义域R，那
么函数y
是奇函
数；
④
函数y x 在区
间0,
上是单调递增函数.
以上结论的正确个
数是〔〕
【答
案】B.
【解析】因
为S扇形11x1x，S OAP
1
1
si
nx1sinx，所以
2222
y
S
扇
形
SO
AP
1
x
1sinx，它的定义
域是0,，f/x1
1co
sx
，
222
y
在区
间0,
上是增函
数，0f x
，显然该函数不是周期函
数，如果函数
y
的定义域R，那
么函数y f x
是奇函数，故①、②不正确，③和④正
确，选 B.
【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数的根本性质.
二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的
位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时
间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h．
频率
6 7 时间∕h
【答案】h.
【解析】.
【命题意图】考查直方图的根本概念，考查解决实际问题的能力.
12.等比数列{a n}中，a1
2
,a4
16.假设a3,a5分别为等差数列{b n}的第4项和第
16项，那么
数列{b n}的前n项和
S n=.
【答案】n2
n .
【解析】设{a n}的公比为q,由得16
2q3，解
得q
2
.
又a12
，所以a
a
q
1
2
n
1
2 1
那么a2
8
，a5
32，
那么b4
8
，b16
3
2.
设{b n}的公差为d，那么有
b
1
3
d
8
,12, b13解 2.
15d2,得
那么数列{b}的前
n项
和S
n
b
n
(n
1
)d
2
n
n(
n1)
2n
2n.
n1
22
【命题意图】考查等数列和等比数列的根本概念，考查等数列和等比数列通项与求和方法，考查学生的计算能力.
13.〔在圆x2
y
2
4上，与直线
l:4x
3
y
1
2
0的距离最小
值是.
【答
案】2.
5
【解析】圆的半径是
2，圆心O0,0到
l:4x
3
y
120的距离是
d
1
212
4
2
3
25
所以圆x2
y
2
4上，与直线
l:4x3y
1
2
0的距离最小值
是d
1
222
，
所以
55
5
【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.
14.集合A
x
2x3
1
,x
R，集
合B
xax2
2x0,xR，AC U B，
那么实数a
的范围是.
【答案】
, 1
【解析】A
1
,2
，由于
AC U B
，
那么A
B
，
当a 0
时，B
xx0,
x
,
，满
足A
B
；
当a 0
时，B
x
xx
0,x
R
2
,
，
满足A B；
,
a
当a 0
时，B
x
xx
0,x
R0,2，假设A
B，那
么2
2，即
0a
1
；
a a
综合以上讨论，实数a的范围
是
,
1.
【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.
15.如果复数zcos
isin
，
,，记nnN
个z的积为z n，通
过验证
2
n2,n3,n 4
,
，的结果z n，推
测z n.〔结果用,n,i表示〕
【答案】z n
c
osn isinn.
由条件
z 1c
os
i sin
z 2c
os
i
sin
，
c
os2
s
in2
2isinco
s cos2isin2；
z 3c
os
i
sin
3
c
os2
is
in2
c
os
i
sin c
os2
c
os
sin2s
in
i
sin2
c
os
c
os
2
sin c
os3
isin 3；
推测z n
cos
n
i
sinn
【命题意图】考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学
知识解决问题的能力.
16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两
倍，
该三
角形
的
周长是．
【答
案】15.
【解析】设三角形的三边长分别是n1,n,n1n2,nN
，三个角分别是
3
,
2
n1n1
，所以
cos
n1
．由正弦定理
得，
s
in2
2
n
，由余弦定
理得，
s
in1
n 1
2n
1
2
n
22n1n n1
，
即n2
5
n
，n
5
，n
0〔舍
去〕，
2
n1
所以三边分别是4,5,6，周长为15，答案填15.
【命题意图】考查利用根本不等式求最值的技能，考查不等式使用的条件和解题技巧.
17.x,a
R
,a
1，直
线y
x与函
数f x
l
og a
x有且仅有一个公
共点，
那
么
a；公共点坐标是.
1
【答
案】a e e，e,e.
【解析】构造新函数
g
x
l
og a
x，
g/x1
1
，令110
x
lna
x
lna
有x
1 ，因为a 1，当0
1 时，g /
0；当
x
1 时，g /
x 0
lna
l
na
l
na
所以，gx
l og a x
x 在x
处有
最大值
g 1，
当g
1
0时，直线yx
l
na l na
lna
与函数f x log a x 有且仅有一个公共
点，即
l og a
1
1，log a l
na 1
ln
a
l
na
l na
lnl na
1
1
1
1
l nlna
1，lna a e e
，那么y
x e
,即公共
点坐
l
na ln
a
e
1
lne e
1
标是e,e ，所以两空分别填
a e e ，
e,e.
【命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问
题的能力，
考查学生创新意识、运用
数学知
识解决问题的能力和计算能力.
三、解答题：本大题共
6小题，共
75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
〔此题总分值12分〕〔课本必修4第60页例1改编〕
武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数
yAsinx
b 〔如下图，单
位:
摄氏温度,A0, 0,0
〕.
〔Ⅰ〕写出这段曲线的函数解析式；
T/℃
〔Ⅱ〕求出一天〔t
0,24 ，单位小时〕
30
10
温度的化在20,25的. 解：〔Ⅰ〕由条件可知
A b 3
0,解
得A
1 0,
A b 1
0.b 2
0.
因12
1
4
6
，所以.
所
以y
1
0sin x
2
0.
28
将点6
,10
代入上式，
得
3.从而解析
式是y
1
0sin x
3
20.⋯⋯⋯⋯⋯⋯
44
8
〔6分〕
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，令
2
1
0sin x
3
20
25
，
4
8
得0s
in
31 x
82
所以2k
2
k，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①8
x
46
或
53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
2k
6
2
k
84
由①，
得16k6x 1
6k6
.
取k
1，得
10x
1
1.
222
由②，得16k
1
6k2
.
取k x
2
；取k
1
，得
1
6
3
，
得x18.
20,25的是
33
即一天温度的
化在
0:40~2:
00，，
10:00~11:2
16:40~18:0
三个
段，共4小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔
12分〕
〔本分12分〕
某科研所研究人都具有本科和研究生两学，年段和学如下表，从科研所任一
名研究人，是本科生概率是
2，
是35
以下的研究生概
率是1.
36
〔Ⅰ〕求出表格中的x和y的；
本科〔位：名〕研究生
〔位：名〕
35以
下y
〔Ⅱ〕“从数学教研任
两名
35—
502
教，本科一名，研究生一名，
5
50以
上0
以上本科生和35以下的研究
生不全中〞的事件A，求事件A概率PA.
【解析】〔Ⅰ〕从科研所任一名研究人，是本科生概率是
2
，是
35以下的研
究生概
率是1
3 .
6
33x2
所
以8x y3，解得x2,y2
1
8x y6
因此科研所的研究人共有
12
名，其中
50以上的具有本科学
的
2名，35以
下具
有研究生学的2
名；
〔Ⅱ〕具有本科学的研究人分B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8，其中B7,B8是
50以上本科生，研究生分Y1,Y2,Y3,
Y4,35以下的研究生分Y1,Y2，
事件A的根本领件是共有
32种：
B1,Y1，B2,Y1
，
B3,Y1
，
B4,Y1
，
B5,Y1
，
B6,Y1
，
B7,Y1，B8,Y1，
B1,Y2，B2,Y2
，
B3,Y2
，
B4,Y2
，
B5,Y2
，
B6,Y2
，
B7,Y2
，
B8,Y2，
B1,Y3，B2,Y3
，
B3,Y3
，
B4,Y3
，
B5,Y3
，
B6,Y3
，
B7,Y3
，
B8,Y3，
B1,Y4，B2,Y4
，
B3,Y4
，
B4,Y4
，
B5,Y4
，
B6,Y4
，
B7,Y4
，
B8,Y4，
50以上的具有本科学和35以下具有研究生学的研究人全部被上的有B7,Y1，B，，有4种，所以
47
8,Y1B7,Y2B8,Y2PA1
8
32
【命意】考古典概型根本知和解决概率根本方法，考学生用数学知解决的能力、推理能力和算能力.
20.〔本小分
13分〕平
面
P
AD平面ABCD,PAPD2,矩形ABCD的
A
B DC2，AD BC2
2 .
〔Ⅰ〕明：直
A
D//
平面
PBC；P
〔Ⅱ〕求直PC和底面
ABCD所成角的大小.
【解析】〔Ⅰ〕因四形
ABCD是矩形
AD//BC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
又
BC平面PBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
A
D平面PBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
A B
所以直AD//平面PBC⋯⋯⋯⋯⋯6分
〔Ⅱ〕由条件平面
PA
D
平面
ABCD
平面PAD
平面
ABCD AD
点P作
PE AD，⋯⋯⋯⋯⋯
7分
又因CD AD P
根据平面和平面垂直的性
定理得
PE平面ABCD,CD平面PAD⋯⋯⋯⋯⋯9分
所以，直EC是直PC在平面ABCD内的射
影
PCE直PC和底面ABCD所成角，D
且
CD PD⋯⋯⋯⋯⋯
10分
在RtPCD中，PC P
D2
C
D2
2
2E
因
PA PD
2,
所以PE
P
D
2E
D
2
2
A B
在RtPCE 中，
sinPCE
P
E21
P
C
，
222
P
CE300⋯⋯⋯⋯11分
3
00
直PC和底面ABCD所成角的大小.⋯⋯⋯⋯12
分21. 〔本分14分〕
函数f(x)ax3
b 3x(a,bR)，在点(1,f(1))的切方程y
20
x2．〔1〕求函数f(x)的解析式；
〔2〕假设于区[2,2]上任意两个自量的
x1,x2，都有
|f(x1)
f(
x2)|
c，
求
数c的最小；
〔3〕假设点M(2,m)(m
2)，可作曲
y
f(x)的三条切，
求数
m的取
范．
【解析】〔1〕f(x) 3ax22bx 3 ⋯⋯⋯⋯1分
f (1)2
,
即
a
b
3
2
,
根据意，得
0 ,
3
a
2
b3
,
f (1)
a 1
,
f (x)
x
3
3
x.
⋯⋯⋯⋯3
分
解
得
.b
〔2〕令f
(
x)
3
x2
Q f(
1
)
2,
f(1)当
x[2
,2]，30，解得
x1
2，f(
2
)
2,
f(2)2
f(x )max
2,f(x)mi
n
2
.
⋯⋯⋯⋯5
分
于区[-2，2]上任意两个自
量的x1,x2，都有
|f (x1)
f(x
2)||
f(
x)max
f(x)min
|4
所以c
4.所以c的最小
4。

⋯⋯⋯⋯6
分
〔Ⅲ〕切点(x0,y0),那么y0x03
3 x0
Qf(x0)3x023，切的斜
率
3
x02
3
.
3x02
3x 03
3x 0
m
x
2
即2x 03
6x02
6m 0
， ⋯⋯⋯⋯8分
因点M(2,m)(m
) ，可作曲
y
f(x)的三条切
所以方程2x 03
6x 02
6m 0有三个不同的数解
即函数g(x)
2x 3 6x 2
6
m 有三个不同的零
点， ⋯⋯⋯⋯9分
g(x)6x 2
12x.
令
g(x)
0,解得x 0或x2.
x (,0) 0
〔0， 2〕
2
〔2，
+∞〕
g(x ) + 0 —
0 +
g(x )
极大
极小
10分
g (0)
6m 0
⋯⋯⋯⋯12
分
g (2)
即
m 2，∴6m2
0 0
〔本小分14分〕
C:
x2
y 2
1(a b
0)的离心
率 1
，点M(2,3)，
a
2
b
2
2
N(2,3)C 上两点，斜率
1
的直与C 交于点A ，B 〔A ，B 在
直MN 两〕．
〔I 〕求四形MANB 面的最大；
〔II
〕直AM ，BM 的斜率k 1,k 2，判断k 1 k 2是否认．假设
是，求出个定；假设不是，明理由．
【解析】〔I 〕e
1
x
2
1，将点M(2,3)代入，得c 2
，
，
4
c 2
3c 2
2
所以C 的方程x2
y
2
1
⋯⋯⋯⋯2分
16 12
直的方程y
1
m(m R)，A(x 1,y 1),B(x 2,x 2)
x
x
2
y 2 2
1
16
12
2
1
2
，得x
m
x
1
xm
2 x 1 x 2
m,x 1x 2
m 2
12ww
⋯⋯⋯⋯4分
又S MANB
1|MN||
x1
x
2|
1|MN|(x
1x2)
2
4
x1x2 22
=
4
8
3
m2
然当
m,S MANB=1
23⋯⋯⋯⋯6分
〔II〕直MA、MB的方程分y
k1(
x2)
3
〔5〕y
k2(x
2)
3
〔k1,2
R
〕
将〔5〕代入〔4〕得：(16k121
2)x2
(
96k1
6
4k1
2
)x
6
4k12192k1480
6 4k1
1
92k1
4
8
x
1
8
k12
2
4k16
⋯⋯⋯⋯8
分
2x1
1 2
4
k123
1 6k1
A(8 k12
2
4k1
6
,
1
2k12
1
2k1
9
)
同理：
B(8k2
2
4k2
6,1
2k22
12k2
9) 4
k123
4
k123
4
k223
4
k223 1
2k12
1
2k19
1
2k2
1
2k29
y
12
4
k123
4
k2231
⋯⋯⋯⋯10分
kA B
2
8
k12
2
4k16
8
k22
2
4k22 x
1
4
k13
4
k223
化
得：k12
Q
k1
k
2
k
1
k
2
即0
⋯⋯⋯⋯12分
k1k2定。