辽宁省盘锦市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

辽宁省盘锦市2019-2020学年高考数学二模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一物体作变速直线运动，其v t -
曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2
间的运动路程为（ ）m ．
A ．1
B ．43
C ．494
D ．2 【答案】C
【解析】
【分析】 由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612
()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】
由题中图像可得，
2,01()2,1311,363
t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩
由变速直线运动的路程公式，可得
613111326
21()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 6
1
3221
1231492(m)64t t t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭． 所以物体在
1s~6s 2间的运动路程是49m 4
． 故选：C
【点睛】 本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 2．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时
间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小
张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）
A ．58
B ．25
C ．35
D ．78
【答案】D
【解析】
【分析】
这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.
【详解】
解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：
()1111722218
P A -⨯⨯== 故选：D
【点睛】
考查几何概型，是基础题. 3．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．512
B ．13
C ．14
D ．12
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积.
【详解】
封闭图形的面积为
)
1331412000215||3412x x dx x x =-=⎰.选A. 【点睛】
本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.
4．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数sin y x =π和12(1)y x =-
-的图像，sin y x =π和12(1)
y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案.
【详解】 2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)
x x π=--， 画出函数sin y x =π和12(1)
y x =--的图像， 易知：sin y x =π和12(1)
y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点， 故所有解之和等于428⨯=.
故选：C .
【点睛】
本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.
5．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是
A ．(,1)-∞-
B ．(,1]-∞
C ．[0,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】B
【分析】
【详解】
方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x =-， 当1a ≤，(,)22x ππ∈-
时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2x π
∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，
∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2π
-上单调递增，
(0,)2
x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ， ∴()0f 'x <，即()f x 在(0,)2π
上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；
当1a >时，存在(0,)2
t π∈使得cos t a =，即'()0g t =， 又21()cos g'x a x =-在(0,)2
π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾．
综上，1a ≤．故选B ．
方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ．
6．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积
2112141222
S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
7．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．b c a >>
D ．b a c >> 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 因为0.080.08
log 0.042log 0.20.20a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，
所以0.20.211log log 0.3a b
==且0.2log y x =在()0,∞+0.3< 所以11a b
>，所以b a >，
又因为
0.21a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >， 所以b a c >>.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.
8．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( )
A ．34
B ．43
C ．-43
D ．-34
【答案】A
【解析】 分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解.
详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,
2z a i =-.
所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数，
所以4a 30-=，即3a 4
=
. 故选A.
点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得 9x =，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图．
10．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22 B ．3C ．23 D 3【答案】D
【解析】
【分析】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12
m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．
【详解】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==，
设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43a n =，
设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切
2QF 于点N ，则2223
a NF MF ==，1QN QF t ==， 由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23a t =，43
a PQ m t ∴=+=， 2243a PF QF ==Q ，所以2PF Q ∆为等边三角形， 所以，34223a c =⋅，解得33
c a =. 因此，该椭圆的离心率为
3. 故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
11．如图，双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π
∠=则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2 B
．3
C
D
【答案】A
【解析】
【分析】 易得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，在1FTB ∆中，利用1
tan 3BT FT π=即可得到,,a b c 的方程.
【详解】 由已知，得(,
)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12
c FT =， 又12,3BF F π∠=
所以1
tan 3BT FT π==
，即22bc b a c a == 所以双曲线C
的离心率2e =. 故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到,,a b c 的方程或不等式，本题属于容易题.
12．复数2(1)41
i z i -+=+的虚部为（ ） A ．—1
B ．—3
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
对复数z 进行化简计算，得到答案.
【详解】 ()()2421(1)44213112
i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3-
故选B 项.
【点睛】
本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为_______. 【答案】5
【解析】
【分析】
根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示2b a =，再由双曲线a ，b ，c 关系表示5c a =，最后结合双曲线离心率公式计算得答案.
【详解】
因为双曲线为22
221(0,0)x y a b a b -=>>，所以该双曲线的渐近线方程为b y x a
=±. 又因为其一条渐近线经过点(1,2)，即2b a
=，则2b a =， 由此可得2255c c a b a e a
=+=⇒==. 故答案为：5.
【点睛】
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.
14．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O .剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________.
【答案】86π
【解析】
【分析】
将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.
【详解】
由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示
4CD =，22OA OC OD ===22226OA OC OD ++= 所以外接球半径为6R =，其体积为3
4863R ππ=. 故答案为：6π.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.
15．在ABC V 中，内角、、A B C 的对边长分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且sin cosC 3cos sin A A C =，则b =_________．
【答案】4
【解析】
∵sin cos 3cos sin A C A C = ∴根据正弦定理与余弦定理可得：222222
322a b c b c a a c ab bc
+-+-⨯=⨯⨯，即22222c a b =- ∵222a c b -=
∴24b b =
∵0b ≠
∴4b =
故答案为4
16．已知α，3,4πβπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 【答案】3365
-
【解析】
【分析】 由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得()sin αβ+，sin 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，由两角差的正弦公式即可
计算得sin 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值. 【详解】
Q α，3,4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
3,22παβπ⎛⎫
∴+∈ ⎪⎝⎭
，3,
424πππβ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
， ()()23
sin 1cos 5
αβαβ∴+=--+=-，
212sin 1cos 4413ππββ⎛⎫⎛
⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()sin sin 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫∴+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣
⎦()()3541233sin cos cos sin 4451351365ππαββαββ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭.
故答案为：3365
- 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形//AB DC ，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2CD =，PC ⊥底面ABCD ，且2PC =
，E 为CD 的中点.
（1）证明：BE AP ⊥；
（2）设点M 是线段BP 上的动点，当直线AM 与直线DP 所成的角最小时，求三棱锥P CDM -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）2
9
. 【解析】 【分析】
（1）要证明BE AP ⊥，只需证明BE ⊥平面PAC 即可；
（2）以C 为原点，分别以,,CD CB CP u u u r u u u r u u u r
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用
向量法求cos ,AM DP <>u u u u r u u u r
，并求其最大值从而确定出1
3
BM BP =u u u u r u u u r 使问题得到解决.
【详解】
（1）连结AC 、AE ，由已知，四边形ABCE 为正方形，则AC BE ⊥①，因为PC ⊥底面
ABCD ，则PC BE ⊥②，由①②知BE ⊥平面PAC ，所以BE AP ⊥.
（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(1,1,0)A ，(0,1,0)B ，(2,0,0)D ，
2)P ，所以(1,0,0)AB =-u u u r ，(0,2)BP =-u u u r ，(2)DP =-u u u r ，设BM BP λ=u u u u r u u u r
，
(01)λ≤≤，则(1,2)AM AB BM λλ=+=--u u u u r u u u r u u u u r ，所以cos ,AM DP <>=u u u u r u u u r ||||AM DP
AM DP ⋅=u u u u r u u u r
u u u u
r u u u r 226136
13λλ
=
+⋅+1[1,2]t λ+=∈2213364t t λ==+-+ 2211462333()24
t t t =
-+-+232t =，即43t =时，cos ,AM DP <>u u u u r u u u r 取最大值， 从而,AM DP <>u u u u r u u u r
取最小值，即直线AM 与直线DP 所成的角最小，此时113
t λ=-=
， 则13
BM BP =u u u u r u u u r
，因为BC CD ⊥，BC CP ⊥，则BC ⊥平面PDC ，从而M 到平面PDC 的
距离22
33h BC =
=，所以11222323P CDM M PCD V V --==⨯⨯=29
. 【点睛】
本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
18．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121()n n a S n N *
+=+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1
{}n
d 的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
【答案】（Ⅰ）13-=n n a ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）121n n a S +=+，121(2)n n a S n -=+…
，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，可得1
1111
23n n n n n n d a a -+++==-g ，利用错位相减法即可得出． 【详解】
解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，故121(2)n n a S n -=+≥，两式相减可得，
112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，故13(2)n n a a n +=≥，
因为{}n a 是等比数列，∴213a a =，又2121a a =+，所以11321a a =+， 故11a =，所以13-=n n a ；
（Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，所以1
111123n n n n n n d a a -+++==-⋅， 所以213411232323
n n n T -+=+
+++⋅⋅⋅L ，① 则211131
33232323
n n n
n n T -+=++++⋅⋅⋅L ，② ①－②得：2121111
1323232323n n n
n T -+=+++-⋅⋅⋅⋅L ，
111(1)
1233112313
n n n --+⋅=+-⋅-
所以115251528838
n n n T -+=
-<<⋅，得证. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】 (Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()3
4
E X = ；(Ⅲ)4 【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m
⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，解得答案. 【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：
2
50520
⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.
()25285014C p X C ===，()11
532815128C C p X C ===，()23283
328
C p X C ===
. 故分布列为：
X
1 2 p
514
15
28
328
()0121428284
E X =⨯
+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m
⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，故4m ≥.
故m 的最小值为4. 【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，
的距离小1.
（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；
（2）若点P 是圆()()22
2221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.
【答案】（1）2
8x y =；（2）13,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程； （2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得
4
AB m k =
，结合点()P m n ,满足()()22
221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围. 【详解】
（1）设点(),M x y ，
∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +，
∴
11y +=，化简得2
8x y =，
∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.
（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ， 设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，
联立()2
8y k x m n x y ⎧=-+⎨=⎩
，化简可得28880x kx km n -+-=， ∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=
，122
n
k k =.
由28x y =，求得导函数4
x y '=
， ∴114x k =，22
11128
x y k ==，2
222228x y k ==，
∴2
22121212121224424
AB
y y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()2
2
221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，
∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.
21．某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
（1）求 a ，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a
c b
d -=
++++ 【答案】（1）20,35a d ==, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出a , d ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X 服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可. 【详解】
（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%， 所以=6040=20a -，40535d =-= 文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 （2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为
，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大， 故X 服从二项分布， 即
从而X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
X 的数学期望为
【点睛】
本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题. 22．设函数()()
()1ln 10x f x x x
++=>.
（1）若()1
k
f x x >
+恒成立，求整数k 的最大值； （2）求证：()()()23
11212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦L .
【答案】（1）整数k 的最大值为3；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）将不等式()1k f x x >
+变形为()()()11ln 1x x x k x
++++<，构造函数
()()()()11ln 1x x x h x x
++++=
，利用导数研究函数()y h x =的单调性并确定其最值，从而得到正整数
k 的最大值；
（2）根据（1）的结论得到()()31
1ln 1122311n n n n n n ⎛⎫++>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
，利用不等式的基本性质可
证得结论. 【详解】 （1）由()()11ln 1x f k
x x x +>=
++得()()()11ln 1x x x k x
++++<
， 令()()()()11ln 1x x x h x x
++++=
，()()
2
1ln 1x x h x x
--+'
=
， 令()()1ln 1g x x x =--+，()1
101
g x x '∴=-
>+对0x ∀>恒成立， 所以，函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，
()010g =-<Q ，()10g <，()20g <，()30g >，
故存在()02,3x ∈使得()00g x =，即()001ln 1x x -=+，
从而当0x x >时，有()()00g x g x >=，()0h x '>，所以，函数()y h x =在()0,x +∞上单调递增； 当0x x <时，有()()00g x g x <=，()0h x '<，所以，函数()y h x =在()00,x 上单调递减. 所以，()()()()()()()()()00000000
min 0
11ln 111113,4x x x x x x h x h x x
x x +++++++==
==∈-+，
3k ∴≤，因此，整数k 的最大值为3；
（2）由（1）知
()1ln 13
1
x x x ++>
+恒成立，()333ln 112211x x x x x ∴+>-=->-++， 令()()1x n n n N *
=+∈则()()31
1ln 1122311n n n n n n ⎛⎫++>-
=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
，
()1ln 1122312⎛⎫∴+⨯>-- ⎪⎝⎭，()11ln 1232323⎛⎫+⨯>-- ⎪⎝⎭，L ，()1
1ln 11231n n n n ⎛⎫++>--⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭， 上述等式全部相加得()()()1ln 112ln 123ln 11231231n n n n n ⎛
⎫+⨯++⨯++++>-->-⎡⎤ ⎪⎣
⎦+⎝⎭
L L ， 所以，()()()()
ln 1121231123n n n ⎡⎤+⨯+⨯++>-⎣⎦L L ，
因此，()()()23
11212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦L
【点睛】
本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．
23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点，已知2,23,4,4,3BD BC CD DP DM =====.
（Ⅰ）证明:平面PBC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）求二面角A BM C --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13.
【解析】 【分析】
(Ⅰ) 先证明BC PD ⊥ ，再证明BC ⊥平面PBD ，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证； (Ⅱ)根据题意以,,DA DC DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM 和平面BMC 的向量，利用公式即可求解. 【详解】
(Ⅰ)证：由已知得222BD BC CD BC BD +=∴⊥
又PD ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂Q 平面ABCD ，BC PD ∴⊥， 而PD BD D ⋂=故，BC ⊥平面PBD
BC ⊂Q 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD
(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC BD ⊥，推理知梯形中//AB CD ，AD AB ⊥，AD DC ⊥， 有90ADB BDC ∠+∠=o ，又90BCD BDC ∠+∠=o ，故ADB BCD ∠=∠ 所以ABD ∆相似BDC ∆，故有
AB BD BD DC =，即2
124
AB AB =⇒= 2222213AD BD AB ∴=-=-所以，以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r
为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
则(0,0,0),(3,0,0),(3,1,0),(0,4,0),(0,0,3)D A B C M
(0,1,0)AB =u u u r ，(3,3,0)BC =u u u r ，(3,1,3)BM =--u u u u v
，设平面ABM 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，则
1111110
00330
y n AB n BM x y z =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u v u u u v
u v u u u u v 令13x =，则13z =(13n ∴=u r
是平面AMB 的一个法向量
设平面BMC 的一个法向量为2222(,,),n x y z =u u r
222222233000330x y n BC n BM x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨⋅=⎪-+=⎪⎩⎩
u u v u u u v
u u v u u u u v 令23x =，则23y =24333n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭
u u r ， 是平面BMC 的一个法向量 12
122
12
2
2
2243
3)3,3
cos ,4333
333n n n n n n ⋅⋅<>==
⎛⎫+++ ⎪
⎝⎭
u r u u r
u r u u r u r u u r 13
又二面角A BM C --为钝二面角，其余弦值为13.
【点睛】
本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.。